Как упростить рациональную дробь
Грамотное преобразование рациональных выражений
Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.
В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.
Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:
Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.
Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».
Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.
Сокращение простых рациональных дробей
Задача № 1
Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:
Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:
Задача № 2
Переходим ко второй задаче:
Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?
Мы можем переписать трехчлен следующим образом:
Запишем разложение нашей квадратной конструкции:
\[\left( x-y \right)\left( x+6y \right)\]
Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:
Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.
Нюансы решения
Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:
Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.
Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:
\[6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\]
Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:
Упрощения алгебраических выражений
Что значит упростить алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).
Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.
Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.
Правила упрощения алгебраических выражений
Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:
В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:
Приведение подобных
Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.
Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.
В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.
Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.
К примеру, приведем слагаемые:
Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.
Рассмотрим выражение с квадратной степенью:
Здесь число 3 является коэффициентом.
Разложение на множители
Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.
Сокращение дроби
В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.
Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.
Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.
Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».
Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:
a b + c d = a · d + c · b b · d ;
Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:
Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:
В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:
В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:
Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:
Здесь общий множитель равен 12. Тогда:
a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12
Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:
a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12
Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:
Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:
Разложим знаменатели на множители:
a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b
Вычислим единые множители:
a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯
Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:
a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2
1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2
Умножение и деление дробей
Умножение и деление дробей выполняют таким образом:
a b · c d = a · c b · d ;
a b : c d = a · d b · c
Арифметические действия выполняют в следующем порядке:
Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.
Используя правило умножения и деления дробей, получим:
Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.
Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.
Попробуем упростить выражение:
Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:
Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:
Пояснения на примерах
Требуется упростить выражения:
Приведем подобные и упростим выражения:
Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:
В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.
Требуется упростить выражения:
Путем разложения на множители упростим данные выражения:
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
В первую очередь выполним разложение на множители:
Дано выражение, которое требуется упростить:
В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:
Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:
Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:
Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:
Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:
x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2
Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:
Требуется упростить выражения:
Дано выражение, которое требуется упростить:
При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:
a во второй степени;
x в третьей степени;
b в третьей степени;
y в четвертой степени.
В результате получим:
Нужно упростить выражение:
Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.
Выглядит этот алгоритм таким образом:
Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры
Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.
Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.
Определение и примеры рациональных дробей
Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.
Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.
Рассмотрим примеры рациональных дробей.
Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.
Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.
Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида
Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида
Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить
Теперь подходим к произведению многочленов.
Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.
Приведение к новому знаменателю
При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.
Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.
Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.
При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:
Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.
Сокращение рациональных дробей
Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.
При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.
Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.
Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
Теперь выполняем вычитание:
После деления придем к рациональной дроби вида
Можно решить это иначе.
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Понятие рационального выражения
В 5 и 6 классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В 7 классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.
Следующие дроби являются числовыми:
Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:
Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь
бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.
Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь
при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.
Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби
Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство
или равносильное ему равенство
Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.
Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби
Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:
Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому
Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):
По свойству пропорции имеем:
Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.
Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби
Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:
Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение
Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:
Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.
Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.
Пример. Докажите тождество
Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства
(с 3 – 2с 2 + с – 2) = (с – 2)(с 2 + 1)
Раскроем скобки в правой части:
(с – 2)(с 2 + 1) = с 3 – 2с 2 + с – 2
Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.
Теперь сформулируем понятие рационального выражения.
Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.
Приведем примеры целых рациональных выражений:
А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:
Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:
Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.
Пример. Найдите все корни уравнения
Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:
х – 1 = 0 или х + 2 = 0
Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель
2•1 4 – 3•1 3 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0
поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:
2•(– 2) 4 – 3•( – 2) 3 + 5•( – 2) – 4 =
Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).
Сокращение рациональных выражений
Узнав, какие выражения являются рациональными, мы приступим к изучению их преобразований. Напомним главное свойство дроби:
Оно означает, что числитель и знаменатель можно умножить на произвольное число (кроме нуля), то значение дроби останется прежним:
Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел используются переменные величины.
Например, возможны такие преобразования рациональных выражений:
Например, пусть надо привести дробь
6а 2 b 2 = 2а 2 b•3b
Поэтому выражения над и под дробной чертой надо умножить на 3b:
Использованный нами множитель 3b называют дополнительным множителем.
Обратная операция, при которой из знаменателя и числителя убирают совпадающие множители, называется сокращением дроби:
Это тождество означает, что дроби можно сокращать, убирая общий множитель, например:
Аналогичные действия можно совершать не только с числовыми дробями, но и с дробными выражениями:
В последнем примере мы вынесли общие множители за скобки (2х и 7у), чтобы над и под чертой появилась одинаковая сумма х + 3у, которую можно сократить.
Однако при сокращении дробей важно учитывать область ее допустимых значений, ведь из-за изменения знаменателя она может измениться. Например, пусть требуется построить график функции
В числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители:
Казалось бы, мы получили линейную функцию
чей график нам известен – это прямая. Но она определена при всех возможных х, в то время как исходная дробь бессмысленна при х = 2, ведь тогда знаменатель становится равен нулю. Поэтому график функции будет выглядеть как прямая, однако одна из ее точек, с координатами (2; 4), будет «выколотой» точкой, и исключенной:
Данный рисунок означает, что графиком функции – прямая линия, кроме точки (2; 4)
Выколотая точка на графике изображается маленьким незакрашенным кружочком.
Следующее важное свойство дроби связано со знаком минус. Знак, стоящий перед дробью, можно перенести либо в знаменатель, либо в числитель:
Также напомним, что можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое в скобках, если изменить перед ней знак:
Применение этих правил позволяет упрощать некоторые дроби, например:
Более сложный пример:
Рассмотрим такое понятие, как однородный многочлен. Так называют тот полином, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.
Подробнее о степени одночлена можно узнать в этом уроке. Если коротко, то степень одночлена – эта сумма степеней у всех переменных, входящих в его буквенную часть. Например, у следующих мономов степень равна 4:
В отношении однородных полиномов, состоящих из двух переменных, можно применять особый прием. Достаточно поделить его на одну из переменных в степени полинома, и получится выражение, зависящее только от одной дроби. Поясним это на примере. Пусть надо вычислить значение отношения
если известно другое отношение:
В исходной дроби представляет собой отношение двух однородных полиномов третьей степени. Поэтому поделим их на y 3 (можно было делить и на х 3 ). При этом значение дроби не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одинаковый моном:
Получили выражение, которое зависит только от отношения
Попытаемся найти эту величину из условия
Отсюда следует, что
Теперь подставим найденное отношение в формулу(1):
До этого мы рассматривали примеры дробных выражений, состоящие из полиномов с целыми коэффициентами. Если же используются дробные числа, то от них всегда можно избавиться, домножив дробь на какое-нибудь число.
Например, дана дробь
Коэффициенты при у и у 2 дробные. Избавимся от них. Для этого используем дополнительный множитель 12:
Далее рассмотрим сложение и вычитание дробных выражений. Проще всего эту операцию проводить в том случае, когда у дробей совпадают знаменатели. В такой ситуации используются уже нам известные правила:
Сложим две величины:
В их знаменателе стоит одинаковый полином, а потому операция будет выглядеть так:
Здесь мы в числителе использовали формулу квадрата разности.
Теперь вычтем из выражения
У них совпадают знаменатели, поэтому проблем с вычитанием не возникает:
Заметим, что обычно у дробных выражения стараются сокращать до тех пор, пока не получится несократимая дробь.
Если у дробей различные знаменатели, то приводят к общему знаменателю, домножая их на какой-нибудь дополнительный множитель.
Рассмотрим следующий пример:
Есть и более простой способ найти общий знаменатель, для этого достаточно просто перемножить знаменатели дробей-слагаемых. Однако дальнейшие преобразования будут более долгими. Решим таким путем тот же пример:
В числителе возможно вынесение общего множителя 2ху за скобки:
Видно, что конечный результат операции не изменился.
Если в знаменателях складываемых дробей стоят многочлены, то стоит попробовать разложить их на множители. За счет этого порою удается найти более простой общий знаменатель.
Пусть надо сложить выражения
Вынесем в знаменателях за скобки множители х и у:
В знаменателях есть похожие множители, (3х – у) и (у – 3х). Чтобы они оказались одинаковыми, надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое в одних скобках. Для этого перед ними надо добавить знак «минус»:
Общим множителем этих дробей является произведение ху(3х – у):
Осталось разложить числитель, где стоит разность квадратов:
Следующий важный навык, который может потребоваться при работе с рациональными выражениями – это выделение целой части из дроби.
Продемонстрируем эту операцию на примере
Перепишем дробь, поменяв порядок слагаемых в числителе:
И в знаменателе, и в числителе есть сумма х 2 + 1. Теперь можно произвести выделение целой части:
В справедливости данного преобразования можно убедиться, выполнив его «в обратную сторону»:
Любой многочлен можно сделать дробью, если приписать ему числитель, равный 1. Пусть надо упростить формулу
Заменим 2х – 1 на дробь и произведем вычитание:
Упростить далее эту дробь довольно сложно, но всё же возможно. Для этого надо заменить одночлен (– 3х 2 ) на разность (– х 2 – 2х 2 ), а 14х на сумму (6х+8х). Посмотрим, что получится в результате:
Складывать можно и более двух дробей. Пусть надо упростить сумму
Будем складывать слагаемые последовательно, то есть сначала сложим два первых слагаемых, потом к результату добавим третье, а далее и 4-ое слагаемое:
Представление дроби в виде суммы дробей
Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:
Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:
То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,
можно разложить так:
С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:
Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение
Заметим, что знаменатель х 2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):
Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что
Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:
Полученная дробь должна равняться исходной дроби:
У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:
(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6
Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:
Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:
Подставим эту формулу во второе уравнение:
а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5
Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:
Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые уже изучались в 5 классе. Напомним две основные формулы:
Пусть требуется перемножить величины
Эта операция осуществляется так:
Теперь посмотрим, как выполняется деление:
Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:
Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:
При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:
Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:
Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь
Выглядеть это будет так:
Преобразование рациональных выражений
Если у дроби в знаменателе и числителе записаны полиномы, то ее называют рациональной дробью. В виде рациональной дроби можно записать любое рациональное выражение.
Пусть надо записать в виде рациональной дроби выражение
Сначала выполним вычитание в скобках, а потом и деление:
Обратим внимание, что выражение
представляет собой не что иное, как разность квадратов, для которой можно применить формулу сокращенного умножения:
(2а + 1) 2 – (2а – 1) 2 = (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – (2а – 1)) =
= (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – 2а + 1).
Используя это, продолжим работать с дробью:
Однако иногда удобнее не производить вычисления в скобках, а использовать распределительный закон умножения:
Пусть требуется упростить произведение:
Сначала раскроем скобки:
Часто проблемы возникают с так называемыми «многоэтажными» дробями. Так называют дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят другие дробные выражения. Выглядят они внушительно, однако правила работы с ними такие же, как и с другими выражениями. Каждая дробная черта просто означает операцию деления.
Пусть требуется выполнить преобразование дробного рационального выражения
Сначала представим эту дробь как операцию деления:
Теперь в каждой из скобок произведем сложение: