Как упрощать корневые выражения

17.12.202319.09.2023 admin 0 Comments

Корень и его свойства

Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.

Определение «Корень»

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √ 64 = 8 (√ 64 равно числу 8).

Формула: √ a 2 = a

Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.

Извлечение корней: примеры

Найти корень из числа можно одним из следующих способов:

Приведение корней с разными показателями

Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.

Например, есть квадратный корень (второй степени √ 2 ) и кубический корень (третьей степени 3 √ 3 ).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = n √ a n : √ 2 = 2 √ 2 = 6 √ 2 3 = 6 √ 8 ; 3 √ 3 = 6 √ 3 2 = 6 √ 9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.

Корень: сложение и вычитание корней

Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Примеры:
2√ 3 + 3√ 3 = 5√ 3
2√ 3 + 2√ 4 – не выполняется.

Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Корень: умножение

Умножение корней без множителей

Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√ a*b =√ a *√ b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√ 2 х √ 3 = √ 6
√ 6 х √ 3 = √ 18 = √ 3х3х2 = 3√ 2

Умножение корней с множителями

При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√ 2 х √ 5 = (3х1) √ (2*5) = 3√ 10
4√ 2 х 3√ 3 = (3х4) √ (2х3) = 12√ 6

Корень: деление

Основной правило деления — подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√ a:b =√ a :√ b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.

Деление корней без множителей

Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √ 21 :√ 3 =√ 21:3 =√ 7

Деление квадратных корней с множителями

Примеры для практики

Чтобы попрактиковаться решать примеры на вычисление квадратный корней, можно скачать программу «Корни квадратные«

Источник

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени, полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например:

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например:

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

Ответ: 42.

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Источник

Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

Что такое иррациональные выражения?

При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

Основные виды преобразований иррациональных выражений

При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что

Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим

Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.

Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

Преобразование подкоренного выражения

Использование свойств корней

Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Внесение множителя под знак корня

Вынесение множителя из-под знака корня

Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

Преобразование дробей, содержащих корни

Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Переход от корней к степеням

Источник

Как упростить подкоренное выражение

Подкоренное выражение — это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 — 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:

Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.

Если нужно, вспомните правила выполнения операций с корнями и степенями (запомните: подкоренное выражение — это выражение с дробным показателем степени), потому что такие правила понадобятся в дальнейшем. Более того, вспомните правила обращения и упрощения многочленов и рациональных выражений.

Избавление от полных квадратов и полных кубов

Упростите подкоренное выражение, которое является полным квадратом. Полный квадрат представляет собой число, которое является квадратом некоторого целого числа, например, 81 — это полный квадрат, потому что 9^2 = 9 х 9 = 81. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным квадратом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в квадрат получится подкоренное выражение).

Упростите подкоренное выражение, которое является полным кубом. Полный куб представляет собой число, которое является кубом некоторого целого числа, например, 27 — это полный куб, потому что 3^3 = 3 х 3 X 3 = 27. Чтобы упростить подкоренное выражение, которое является полным кубом, просто избавьтесь от знака корня и запишите целое число (при возведении которого в куб получится подкоренное выражение).

Избавление от выражения с дробным показателем

Преобразуйте выражение с дробным показателем в подкоренное выражение. Или, если нужно, преобразуйте подкоренное выражение в выражение с дробным показателем, но никогда не смешивайте такие выражения в одном уравнении, например, так: √5 + 5^(3/2). Допустим, вы решили работать с корнями; квадратный корень из n будем обозначать как √n, а кубический корень из n как куб√n.

Найдите выражение с дробным показателем и преобразуйте его в подкоренное выражение: х^(a/b) = корень b-й степени из x^a.

Преобразуйте выражение с отрицательным показателем в соответствующее дробное выражение: х^(-y) = 1/х^у.

Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.

Избавление от дробей под знаком корня

Согласно канонической форме записи корень из дроби нужно представить в виде деления корней из целых чисел.

Посмотрите на подкоренное выражение. Если оно представляет собой дробь, перейдите к следующему шагу.

Замените корень из дроби отношением двух корней согласно следующему тождеству: √(a/b) = √a/√b.

Упростите полные квадраты (если они есть). Например, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Выполните другие упрощения, например, упростите составные дроби, приведите подобные члены и так далее.

Избавление от операции умножения корней

Если в уравнении присутствует операция умножения корня на корень, объедините два подкоренных выражения под одним знаком корня согласно тождеству: √а * √b = √(ab). Например, √2 * √6 = √12.

Избавление от множителей, которые являются полными квадратами

Разложите подкоренное число на множители. Множители — это некоторые числа, при перемножении которых получается исходное число. Например, 5 и 4 являются двумя множителями числа 20. Если из подкоренного числа нельзя извлечь целочисленный корень, разложите такое число на возможные множители и найдите среди них полный квадрат.

Вынесите за знак корня множитель, который является полным квадратом. 9 представляет собой полный квадрат, потому что 3 х 3 = 9. Избавьтесь от 9 под знаком корня и запишите 3 перед знаком корня; под знаком корня останется 5. Если вы внесете число 3 под знак корня, оно будет умножено на себя и на число 5, то есть 3 х 3 х 5 = 9 х 5 = 45. Таким образом, 3√ 5 — это упрощенная форма записи √45.

Найдите полный квадрат в подкоренном выражении с переменной. Запомните: √(a^2) = |а|. Такое выражение можно упростить до «а», но только если переменная принимает положительные значения. √(a^3) можно разложить на √а * √(а^2), потому что при перемножении одинаковых переменных их показатели складываются (а * а^2 = а^3).

Вынесите за знак корня переменную, которая является полным квадратом. Избавьтесь от a^2 под знаком корня и запишите «а» перед знаком корня. Таким образом, √(а^3) = а√а.

Приведите подобные члены и упростите любые рациональные выражения.

Избавление от корней в знаменателе (рационализация знаменателя)

Согласно канонической форме знаменатель, если возможно, должен включать только целые числа (или многочлен в случае присутствия переменной).

Упростите числитель после того, как вы избавились от корней в знаменателе. В числителе находится произведение исходного выражения и сопряженного выражения. Раскройте скобки, перемножив соответствующие члены. Приведите подобные члены и, если можно, упростите полученное выражение.

Советы

Об этой статье

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества. Количество просмотров этой статьи: 112 594.

Эту страницу просматривали 112 594 раза.

Была ли эта статья полезной?

Как упростить квадратный корень

Упростить квадратный корень вовсе не так сложно, как может показаться. Нужно просто разложить число на множители и извлечь из-под знака корня полные квадраты. Запомнив несколько самых распространенных квадратов и научившись раскладывать число на множители, вы сможете запросто упрощать квадратные корни.

Разложение на множители

Цель упрощения квадратного корня — это переписать его в такой форме, которую проще использовать в вычислениях. Разложение числа на множители — это нахождение двух или нескольких чисел, которые при перемножении дадут исходное число, например, 3 х 3 = 9. Найдя множители, вы сможете упростить квадратный корень или вообще избавиться от него. Например, √9 = √(3×3) = 3.[1]

Если подкоренное число четное, разделите его на 2. Если подкоренное число нечетное, попробуйте разделить его на 3 (если число на 3 не делится, делите его на 5, 7 и так далее по списку простых чисел). Делите подкоренное число исключительно на простые числа, так как любое число можно разложить на простые множители. Например, вам не нужно делить подкоренное число на 4, так как 4 делится на 2, а вы уже разделили подкоренное число на 2.[2]

Перепишите задачу как корень из произведения двух чисел. Например, упростим √98: 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите задачу так: √98 = √(2 x 49).[3]

Продолжайте разложение чисел до тех пор, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел. Это имеет смысл, если задуматься о смысле квадратного корня: √(2 х 2) равен числу, которое, будучи умноженным само на себя, будет равно 2 х 2. Очевидно, что это число 2! Повторите описанные выше действия для нашего примера: √(2 х 49).

Упростите квадратный корень. Так как под корнем находится произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), вы можете вынести такое число за знак корня. В нашем примере: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).[4]

Некоторые корни можно упрощать многократно. В этом случае числа, выносимые из-под знака корня, и числа, стоящие перед корнем, перемножаются. Например:

Если вы не можете получить два одинаковых числа под знаком корня, то такой корень упростить нельзя. Если вы разложили подкоренное выражение на произведение простых множителей и среди них нет двух одинаковых чисел, то такой корень упростить нельзя. Например, попробуем упростить √70:[5]

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел. Квадрат числа получается при его возведении во вторую степень, то есть умножении на само себя. Например, 25 — полный квадрат, потому что 5 x 5 (52) = 25. Запомнив хотя бы десяток полных квадратов, вы сможете быстро упрощать корни. Вот первые десять полных квадратов:

Если под знаком квадратного корня вы видите полный квадрат, то избавьтесь от знака корня (√) и запишите квадратный корень этого полного квадрата. Например, если под знаком квадратного корня находится число 25, то такой корень равен 5, так как 25 является полным квадратом.

Разложите число под знаком корня на произведение полного квадрата и другого числа. Если вы заметили, что подкоренное выражение можно разложить на произведение полного квадрата и какого-то числа, то вы сэкономите время и усилия. Вот несколько примеров:[6]

Разложите подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов. В этом случае вынесите их из-под знака корня и перемножьте. Например:

Терминология

√ — это знак квадратного корня. Например, в √25, «√» — это знак квадратного корня.[7]

Под знаком корня записывается подкоренное выражение. Например, «25» — это подкоренное выражение (число) в √25.[8]

Коэффициент — это число, стоящее перед знаком корня (слева от него). Это число, на которое умножается квадратный корень; оно записывается слева от знака √. Например, «7» — это коэффициент в 7√2.

Множитель — целое число, получаемое при делении другого числа. 2 — множитель 8, так как 8 ÷ 4 = 2, а 3 не является множителем 8, так как 8 на 3 не делится (нацело). 5 — множитель 25, так как 5 x 5 = 25.

Поймите смысл упрощения квадратного корня. Упрощение квадратного корня — это нахождение среди множителей подкоренного выражения полных квадратов и их извлечение из-под корня. Если число является полным квадратом, то знак корня исчезнет, как только вы запишете его корень. Например, √98 может быть упрощен до 7√2.

Источник

Преобразования иррациональных выражений

Иррациональные выражения и их преобразования

Этот урок будет продолжением предыдущего и будет посвящён преобразованиям самых разных выражений, содержащих всевозможные корни. Такие выражения называются иррациональными. Здесь появятся и выражения с буквами, и дополнительные условия, и избавление от иррациональности в дробях, и некоторые продвинутые приёмы в работе с корнями. Те приёмы, которые будут рассматриваться в данном уроке, станут хорошей базой для решения задач ЕГЭ (и не только) практически любого уровня сложности. Итак, давайте приступим.

Прежде всего я продублирую здесь основные формулы и свойства корней. Чтобы не скакать из темы в тему. Вот они:

при

Формулы эти надо обязательно знать и уметь применять. Причём в обе стороны — как слева направо, так и справа налево. Именно на них и основывается решение большинства заданий с корнями любой степени сложности. Начнём пока с самого простого — с прямого применения формул или их комбинаций.

Простое применение формул

Вычислить:

Даже в таком простеньком примере возможны несколько путей к ответу.

Первый — просто перемножить корни по первому свойству и извлечь корень из результата:

Решать можно как больше нравится. В любом из вариантов ответ получается один — восьмёрка. Мне, например, проще перемножить 4 и 128 и получить 512, а из этого числа отлично извлекается кубический корень. Если кто-то не помнит, что 512 — это 8 в кубе, то не беда: можно записать 512 как 2 9 (первые 10 степеней двойки, я надеюсь, помните?) и по формуле корня из степени:

Вычислить: .

Если работать по первому свойству (всё загнать под один корень), то получится здоровенное число, из которого корень потом извлекать — тоже не сахар. Да и не факт, что он извлечётся ровно.) Поэтому здесь полезно в числе вынести множители из-под корня. Причём вынести по максимуму:

И теперь всё наладилось:

Осталось восьмёрку и двойку записать под одним корнем (по первому свойству) и — готово дело. 🙂

Добавим теперь немного дробей.

Пример совсем примитивный, однако и в нём имеются варианты. Можно с помощью вынесения множителя преобразовать числитель и сократить со знаменателем:

А можно сразу воспользоваться формулой деления корней:

Как видим, и так, и сяк — всяко правильно.) Если не споткнуться на полпути и не ошибиться. Хотя где тут ошибаться-то…

Разберём теперь самый последний пример из домашнего задания прошлого урока:

Совершенно немыслимый набор корней, да ещё и вложенных. Как быть? Главное — не бояться! Здесь мы первым делом замечаем под корнями числа 2, 4 и 32 — степени двойки. Первое что нужно сделать — привести все числа к двойкам: всё-таки чем больше одинаковых чисел в примере и меньше разных, тем проще.) Начнём отдельно с первого множителя:

Число можно упростить, сократив двойку под корнем с четвёркой в показателе корня:

Теперь, согласно корню из произведения:

В числе выносим двойку за знак корня:

А с выражением расправляемся по формуле корня из корня:

Значит, первый множитель запишется вот так:

Вложенные корни исчезли, числа стали поменьше, что уже радует. Вот только корни разные, но пока так и оставим. Надо будет — преобразуем к одинаковым. Берёмся за второй множитель.)

Второй множитель преобразовываем аналогично, по формуле корня из произведения и корня из корня. Где надо — сокращаем показатели по пятой формуле:

Вставляем всё в исходный пример и получаем:

Получили произведение целой кучи совершенно разных корней. Неплохо было бы привести их все к одному показателю, а там — видно будет. Что ж, это вполне возможно. Наибольший из показателей корней равен 12, а все остальные — 2, 3, 4, 6 — делители числа 12. Поэтому будем приводить все корни по пятому свойству к одному показателю — к 12:

Считаем и получаем:

Красивого числа не получили, ну и ладно. Нас просили упростить выражение, а не посчитать. Упростили? Конечно! А вид ответа (целое число или нет) здесь уже не играет никакой роли.

Немного сложения / вычитания и формул сокращённого умножения

К сожалению, общих формул для сложения и вычитания корней в математике нету. Однако, в заданиях сплошь и рядом встречаются эти действия с корнями. Здесь необходимо понимать, что любые корни — это точно такие же математические значки, как и буквы в алгебре.) И к корням применимы те же самые приёмы и правила, что и к буквам — раскрытие скобок, приведение подобных, формулы сокращённого умножения и т.п.

Например, каждому ясно, что . Точно так же одинаковые корни можно совершенно спокойно между собой складывать/вычитать:

Если корни разные, то ищем способ сделать их одинаковыми — внесением/вынесением множителя или же по пятому свойству. Если ну никак не упрощается, то, возможно, преобразования более хитрые.

Смотрим первый пример.

Найти значение выражения: .

Все три корня хоть и кубические, но из разных чисел. Чисто не извлекаются и между собой складываются/вычитаются. Стало быть, применение общих формул здесь не катит. Как быть? А вынесем-ка множители в каждом корне. Хуже в любом случае не будет.) Тем более что других вариантов, собственно, и нету:

Стало быть, .

Вот и всё решение. Здесь мы от разных корней перешли к одинаковым с помощью вынесения множителя из-под корня. А затем просто привели подобные.) Решаем дальше.

Найти значение выражения:

С корнем из семнадцати точно ничего не поделаешь. Работаем по первому свойству — делаем из произведения двух корней один корень:

А теперь присмотримся повнимательнее. Что у нас под большим кубическим корнем? Разность ква.. Ну, конечно! Разность квадратов:

Теперь осталось только извлечь корень: .

Дальше очень похожий пример, но посложнее.

Вычислить:

Здесь придётся проявить математическую смекалку.) Мыслим примерно следующим образом: «Так, в примере произведение корней. Под одним корнем разность, а под другим — сумма. Очень похоже на формулу разности квадратов. Но… Корни — разные! Первый квадратный, а второй — четвёртой степени… Хорошо бы сделать их одинаковыми. По пятому свойству можно легко из квадратного корня сделать корень четвёртой степени. Для этого достаточно подкоренное выражение возвести в квадрат.»

Если вы мыслили примерно так же, то вы — на полпути к успеху. Совершенно верно! Превратим первый множитель в корень четвёртой степени. Вот так:

Теперь, ничего не поделать, но придётся вспомнить формулу квадрата разности. Только в применении к корням. Ну и что? Чем корни хуже других чисел или выражений?! Возводим:

«Хм, ну возвели и что? Хрен редьки не слаще. Стоп! А если вынести четвёрку под корнем? Тогда выплывет то же самое выражение, что и под вторым корнем, только с минусом, а ведь именно этого мы и добиваемся!»

Верно! Выносим четвёрку:

А теперь — дело техники:

Вот так распутываются сложные примеры. ) Теперь пора потренироваться с дробями.

Ясно, что надо преобразовывать числитель. Как? По формуле квадрата суммы, разумеется. У нас есть ещё варианты разве? 🙂 Возводим в квадрат, выносим множители, сокращаем показатели (где надо):

Во как! Получили в точности знаменатель нашей дроби. ) Значит, вся дробь, очевидно, равна единице:

Ещё пример. Только теперь на другую формулу сокращённого умножения.)

Выносим множители из-под корней:

Следовательно,

Теперь всё нехорошее великолепно сокращается и получается:

Что ж, поднимаемся на следующий уровень. 🙂

Буквы и дополнительные условия

Буквенные выражения с корнями — штука более хитрая, чем числовые выражения, и является неиссякаемым источником досадных и очень грубых ошибок. Перекроем этот источник.) Ошибки всплывают из-за того, что частенько таких заданиях фигурируют отрицательные числа и выражения. Они либо даны нам прямо в задании, либо спрятаны в буквах и дополнительных условиях. А нам в процессе работы с корнями постоянно надо помнить, что в корнях чётной степени как под самим корнем, так и в результате извлечения корня должно быть неотрицательное выражение. Ключевой формулой в задачах этого пункта будет четвёртая формула:

С корнями нечётной степени вопросов никаких — там всегда всё извлекается что с плюсом, что с минусом. И минус, если что, выносится вперёд. Будем сразу разбираться с корнями чётных степеней.) Например, такое коротенькое задание.

Упростить: , если .

Казалось бы, всё просто. Получится просто икс. ) Но зачем же тогда дополнительное условие ? В таких случаях полезно прикинуть на числах. Чисто для себя.) Если , то икс — заведомо отрицательное число. Минус три, например. Или минус сорок. Пусть . Можно минус три возвести в четвёртую степень? Конечно! Получится 81. Можно из 81 извлечь корень четвёртой степени? А почему нет? Можно! Получится тройка. Теперь проанализируем всю нашу цепочку:

Что мы видим? На входе было отрицательное число, а на выходе — уже положительное. Было минус три, стало плюс три.) Возвращаемся к буквам. Вне всяких сомнений, по модулю это будет точно икс, но только сам икс у нас с минусом (по условию!), а результат извлечения (в силу арифметического корня!) должен быть с плюсом. Как получить плюс? Очень просто! Для этого достаточно перед заведомо отрицательным числом поставить минус.) И правильное решение выглядит так:

Кстати сказать, если бы мы воспользовались формулой , то, вспомнив определение модуля, сразу получили бы верный ответ. Поскольку

Вынести множитель за знак корня: , где .

Первый взгляд — на подкоренное выражение. Тут всё ОК. При любом раскладе оно будет неотрицательным. Начинаем извлекать. По формуле корня из произведения, извлекаем корень из каждого множителя:

Откуда взялись модули, объяснять, думаю, уже не надо.) А теперь анализируем каждый из модулей.

А теперь — обратная задача. Не самая простая, сразу предупреждаю!

Внести множитель под знак корня: .

Если вы сразу запишете решение вот так

то вы попали в ловушку. Это неверное решение! В чём же дело?

Давайте вглядимся в выражение под корнем . Под корнем четвёртой степени, как мы знаем, должно находиться неотрицательное выражение. Иначе корень смысла не имеет.) Поэтому А это, в свою очередь, значит, что и, следовательно, само также неположительно: .

И ошибка здесь состоит в том, что мы вносим под корень неположительное число : четвёртая степень превращает его в неотрицательное и получается неверный результат — слева заведомый минус, а справа уже плюс. А вносить под корень чётной степени мы имеем право только неотрицательные числа или выражения. А минус, если есть, оставлять перед корнем.) Как же нам выделить неотрицательный множитель в числе , зная, что оно само стопудово отрицательное? Да точно так же! Поставить минус.) А чтобы ничего не поменялось, скомпенсировать его ещё одним минусом. Вот так:

И теперь уже неотрицательное число (-b) спокойно вносим под корень по всем правилам:

Этот пример наглядно показывает, что, в отличие от других разделов математики, в корнях правильный ответ далеко не всегда вытекает автоматически из формул. Необходимо подумать и лично принять верное решение.) Особенно следует быть внимательнее со знаками в иррациональных уравнениях и неравенствах.

Разбираемся со следующим важным приёмом в работе с корнями — избавлением от иррациональности.

Избавление от иррациональности в дробях

Если в выражении присутствуют корни, то, напомню, такое выражение называется выражением с иррациональностью. В некоторых случаях бывает полезно от этой самой иррациональности (т.е. корней) избавиться. Как можно ликвидировать корень? Корень у нас пропадает при… возведении в степень. С показателем либо равным показателю корня, либо кратным ему. Но, если мы возведём корень в степень (т.е. помножим корень сам на себя нужное число раз), то выражение от этого поменяется. Нехорошо.) Однако в математике бывают темы, где умножение вполне себе безболезненно. В дробях, к примеру. Согласно основному свойству дроби, если числитель и знаменатель умножить (разделить) на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Допустим, нам дана вот такая дробь:

Можно ли избавиться от корня в знаменателе? Можно! Для этого корень надо возвести в куб. Чего нам не хватает в знаменателе для полного куба? Нам не хватает множителя , т.е. . Вот и домножаем числитель и знаменатель дроби на

Корень в знаменателе исчез. Но… он появился в числителе. Ничего не поделать, такова судьба.) Нам это уже не важно: нас просили знаменатель от корней освободить. Освободили? Безусловно.)

Кстати, те, кто уже в ладах с тригонометрией, возможно, обращали внимание на то, что в некоторых учебниках и таблицах, к примеру, обозначают по-разному: где-то , а где-то . Вопрос — что правильно? Ответ: всё правильно! ) Если догадаться, что – это просто результат освобождения от иррациональности в знаменателе дроби . 🙂

Зачем нам освобождаться от иррациональности в дробях? Какая разница — в числителе корень сидит или в знаменателе? Калькулятор всё равно всё посчитает.) Ну, для тех, кто не расстаётся с калькулятором, разницы действительно практически никакой… Но, даже считая на калькуляторе, можно обратить внимание на то, что делить на целое число всегда удобнее и быстрее, чем на иррациональное. А уж про деление в столбик вообще умолчу.)

Следующий пример только подтвердит мои слова.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Как здесь ликвидировать квадратный корень в знаменателе? Если числитель и знаменатель помножить на выражение , то в знаменателе получится квадрат суммы. Сумма квадратов первого и второго чисел дадут нам просто числа безо всяких корней, что очень радует. Однако… всплывёт удвоенное произведение первого числа на второе, где корень из трёх всё равно останется. Не канает. Как быть? Вспомнить другую замечательную формулу сокращённого умножения! Где никаких удвоенных произведений, а только квадраты:

Такое выражение, которое при домножении какой-то суммы (или разности) выводит на разность квадратов, ещё называют сопряжённым выражением. В нашем примере сопряжённым выражением будет служить разность . Вот и домножаем на эту разность числитель и знаменатель:

Что тут можно сказать? В результате наших манипуляций не то что корень из знаменателя исчез — вообще дробь исчезла! 🙂 Даже с калькулятором отнять корень из трёх от тройки проще, чем считать дробь с корнем в знаменателе. Ещё пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Как здесь выкручиваться? Формулы сокращённого умножения с квадратами сразу не катят — не получится полной ликвидации корней из-за того, что корень у нас в этот раз не квадратный, а кубический. Надо, чтобы корень как-то возвёлся в куб. Стало быть, применять надо какую-то из формул с кубами. Какую? Давайте подумаем. В знаменателе — сумма . Как нам добиться возведения корня в куб? Домножить на неполный квадрат разности! Значит, применять будем формулу суммы кубов. Вот эту:

В качестве a у нас тройка, а в качестве b — корень кубический из пяти:

И снова дробь исчезла.) Такие ситуации, когда при освобождении от иррациональности в знаменателе дроби у нас вместе с корнями полностью исчезает сама дробь, встречаются очень часто. Как вам вот такой примерчик!

Попробуйте просто сложить эти три дроби! Без ошибок! 🙂 Один общий знаменатель чего стоит. А что, если попробовать освободиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби? Что ж, пробуем:

Ух ты, как интересно! Все дроби пропали! Напрочь. И теперь пример решается в два счёта:

Просто и элегантно. И без долгих и утомительных вычислений. 🙂

Именно поэтому операцию освобождения от иррациональности в дробях надо уметь делать. В подобных навороченных примерах только она и спасает, да.) Разумеется, внимательность никто не отменял. Бывают задания, где просят избавиться от иррациональности в числителе. Эти задания ничем от рассмотренных не отличаются, только от корней очищается числитель.)

Более сложные примеры

Осталось рассмотреть некоторые специальные приёмы в работе с корнями и потренироваться распутывать не самые простые примеры. И тогда полученной информации уже будет достаточно для решения заданий с корнями любого уровня сложности. Итак — вперёд.) Для начала разберёмся, что делать со вложенными корнями, когда формула корня из корня не работает. Например, вот такой примерчик.

Вычислить:

Корень под корнем… К тому же под корнями сумма или разность. Стало быть, формула корня из корня (с перемножением показателей) здесь не действует. Значит, надо что-то делать с подкоренными выражениями: у нас просто нету других вариантов. В таких примерах чаще всего под большим корнем зашифрован полный квадрат какой-нибудь суммы. Или разности. А корень из квадрата уже отлично извлекается! И теперь наша задача — его расшифровать.) Такая расшифровка красиво делается через систему уравнений. Сейчас всё сами увидите.)

Итак, под первым корнем у нас вот такое выражение:

А вдруг, не угадали? Проверим! Возводим в квадрат по формуле квадрата суммы:

Всё верно.) Но… Откуда я взял это выражение ? С неба?

Нет.) Мы его чуть ниже получим честно. Просто по данному выражению я показываю, как именно составители заданий шифруют такие квадраты. 🙂 Что такое 54? Это сумма квадратов первого и второго чисел. Причём, обратите внимание, уже без корней! А корень остаётся в удвоенном произведении, которое в нашем случае равно . Поэтому распутывание подобных примеров начинается с поиска удвоенного произведения. Если распутывать обычным подбором. И, кстати, о знаках. Тут всё просто. Если перед удвоенным плюс, то квадрат суммы. Если минус, то разности.) У нас плюс — значит, квадрат суммы.) А теперь — обещанный аналитический способ расшифровки. Через систему.)

Теперь удвоенное произведение. Оно у нас . Так и записываем:

Получили вот такую системку:

Решаем обычным методом подстановки. Выражаем из второго уравнения, например, и подставляем в первое:

Решим первое уравнение:

И тут вопрос — а какое из решений нам подходит? Давайте подумаем. Отрицательные решения можно сразу отбросить: при возведении в квадрат минусы «сгорят», и всё подкоренное выражение в целом не изменится.) Остаются первые два варианта. Выбрать их можно совершенно произвольно: от перестановки слагаемых сумма всё равно не меняется.) Пусть, например, , а .

Итого получили под корнем квадрат вот такой суммы:

Я не зря так детально описываю ход решения. Чтобы было понятно, как происходит расшифровка.) Но есть одна проблемка. Аналитический способ расшифровки хоть и надёжный, но весьма длинный и громоздкий: приходится решать биквадратное уравнение, получать четыре решения системы и потом ещё думать, какие из них выбрать… Хлопотно? Согласен, хлопотно. Этот способ безотказно работает в большинстве подобных примеров. Однако очень часто можно здорово сократить себе работу и найти оба числа творчески. Подбором.) Да-да! Сейчас, на примере второго слагаемого (второго корня), я покажу более лёгкий и быстрый способ выделения полного квадрата под корнем.

Итак, теперь у нас вот такой корень: .

Получилось! Значит, наше подкоренное выражение — это на самом деле квадрат разности:

Вот такой вот способ-лайт, чтобы не связываться с системой. Не всегда работает, но во многих таких примерах его вполне достаточно. Итак, под корнями — полные квадраты. Осталось только правильно извлечь корни, да досчитать пример:

А теперь разберём ещё более нестандартное задание на корни.)

Докажите, что число A – целое, если .

Впрямую ничего не извлекается, корни вложенные, да ещё и разных степеней… Кошмар! Однако, задание имеет смысл.) Стало быть, ключ к его решению имеется.) А ключ здесь такой. Рассмотрим наше равенство

как уравнение относительно A. Да-да! Хорошо бы избавиться от корней. Корни у нас кубические, поэтому возведём-ка обе части равенства в куб. По формуле куба суммы:

Кубы и корни кубические друг друга компенсируют, а под каждым большим корнем забираем одну скобку у квадрата и сворачиваем произведение разности и суммы в разность квадратов:

Отдельно сосчитаем разность квадратов под корнями:

Отлично! Значит, всё наше равенство ещё сильнее упростится:

А теперь делаем финт ушами — заменяем сумму корней в скобках на A (согласно условию примера!).

Получаем кубическое уравнение или .

Здесь как раз тот случай, когда один из корней легко угадывается — это . Значит, наш многочлен можно разложить как

Как разложить? Либо по схеме Горнера, либо делением «уголком» на скобку (A-4), либо даже группировкой (если представить -3A как -16A+13A). Объяснять подробно деление уголком или схему Горнера в теме про корни — уже совсем отклоняться от курса.) Кто в теме — и так поймёт.

А теперь легко заметить, что квадратный трёхчлен во вторых скобках имеет отрицательный дискриминант, а значит, наше уравнение имеет единственный действительный корень . И поэтому наша страшная сумма корней в действительности равна просто 4. То есть, явно целому числу. Что и требовалось доказать.)

А теперь — поупрощаем некоторые дробные выражения с корнями. От простого — к сложному. Здесь всё точно так же, как и с многочленами. Только в применении к корням.) Я же говорил, что действия с корнями ничем не отличаются от таковых с буквами. И к корням с таким же успехом применима вся алгебра седьмого класса — формулы сокращённого умножения, разложение на множители, приведение подобных и т.п.

Например, такое задание.

Пример явно намекает на применение формулы разности квадратов:

Спрашивается, а где же здесь квадраты? Сплошные корни… Сейчас покажу. 🙂

Берём числитель нашей дробушки: .

Что такое ? По свойству корня из степени, мы можем вынести квадрат наружу. Вот так:

Хорошо, а из как квадрат сделать? Не вопрос! По пятому свойству, домножаем на двойку показатели корня и подкоренного выражения:

По такой технологии, между прочим, можно совершенно любой корень превратить в совершенно любую степень. Какую хотим. 🙂 Как, например, представить в виде 4-й степени? Нет проблем:

Хотим из степеней корни делаем, хотим — наоборот, степени из корней. Что хотим, то и творим. Математика, однако! 🙂

Итак, весь наш числитель можно представить как разность квадратов:

А дальше никаких проблем — раскладываем числитель на множители и сокращаем:

Действуем аналогично. Раскладываем на множители и сокращаем. 🙂 В числителе применяем группировку. Например, вот такую:

А в знаменателе просто выносим общий множитель :

Подставляем всё в нашу дробь и сокращаем:

Как видим, разложение на множители очень популярно в теме с корнями. Очень! И особенно — формула разности квадратов. Именно поэтому формулы сокращённого умножения так важно знать и уметь применять. 🙂

Ну и на десерт распутаем что-нибудь навороченное. )

Чтобы не запутаться и не наляпать ошибок, будем действовать по порядку. При взгляде на любой пример всегда задаём сами себе вопрос: «Что в примере мне больше всего не нравится?» В данном примере большинство скажет: «Числитель первой дроби!» Верно! Вот и упростим его отдельно: остальная часть примера от этого никак не пострадает.) Итак,

Вместо знака деления удобно использовать черту дроби. Вот так:

Сначала упростим дробь. Как? Попробуем сократить.) Для этого, ясное дело, надо разложить на множители числитель и знаменатель, да… Берём отдельно числитель . Можно его разложить на множители? Можно! Для этого из a надо сделать корень. Вот так: