такое значение признака которое наблюдалось наибольшее число раз

Пример. Построить полигон, гистограмму и кумулянту по вариационному и интервальному ряду из примера 1

Построить полигон, гистограмму и кумулянту по вариационному и интервальному ряду из примера 1.

Полигон для вариационного ряда

Полигон для интервального ряда

	[2; 6)	[6; 10)	[10; 14)	[14; 18)	[18; 22)

Гистограмма для интервального ряда:

Кумулянта для вариационного ряда:

Кумулянта для интервального ряда:

§ 2. Выборочные характеристики

В этом параграфе мы рассмотрим ряд числовых параметров, которые характеризуют выборку.

Размахом вариации R называется разность между наибольшим и наименьшим значениями вариант: .

Медианой М_В называется значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.

Пусть проведено четное число наблюдений, т.е. n = 2q, тогда на середину ранжированного ряда приходится два значения x_(q) и x_(q+1). В этом случае за медиану принимают их среднее арифметическое, т.е. .

Модой М_О называется такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ею является значение, которому соответствует наибольшая частота.

Выборочной средней называется величина

где n – объем выборки. Эту величину называют средней арифметической.

Если учесть частоты n_i появления признака x_i, то получим формулу

.

Эту величину называют средней взвешенной.

Геометрически выборочная средняя – это центр распределения.

Выборочной дисперсией (вариацией) называется величина

,

где n – объем выборки.

Если учесть частоты n_i появления признака x_i, то получим формулу

,

где n – объем выборки.

Геометрически дисперсия является мерой рассеивания относительно средней (центра), но так как размерность дисперсии не совпадает с размерностью выборочной средней, используется корень из дисперсии, который называется стандартным отклонением или средним квадратическим отклонением .

Источник

С использованием ППП Microsoft Excel

Корреляционный и регрессионный анализ

ДЛЯ РАБОТЫ СО СТАТИСТИЧЕСКИМИ ДАННЫМИ можно воспользоваться в Microsoft Excel встроенным Пакетом анализа. Если этот пункт в данном меню Сервис отсутствует, необходимо его включить, используя пункт меню Надстройки (рис. 6):

Поставьте флажок в Надстройках в строке Пакет анализа (рис.7), нажмите клавишу ОК.

После этого шага в меню Сервис появится строка Анализ данных (рис.8).

После активизации Анализ данных, выберите модуль Описательная статистика (рис. 9) нажмите кнопку ОК.

После этого появится диалоговое окно Описательная статистика, в котором нужно определить Входной интервал, поставить флажок Метки в первой строке, если вместе с входными данными были выделены заголовки, задать параметры вывода (рис. 10).

В параметрах вывода по умолчанию указано, что результаты будут размещаться на Новом рабочем листе. Поставьте флажок в строке Итоговая статистика. Затем, нажмите кнопку ОК.

Рассмотрим более подробно элементы Диалогового окна Описательная статистика и операции в этом окне. Окно содержит (рис. 10):

1) Входной диапазон. Ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные. Ссылка должна состоять не менее чем из двух смежных диапазонов данных, данные в которых расположены по строкам или столбцам.

2) Группирование. Установите переключатель в положение По столбцам или По строкам в зависимости от расположения данных во входном диапазоне.

3) Метки в первой строке/Метки в первом столбце. Если первая строка исходного диапазона содержит названия столбцов, установите переключатель в положение Метки в первой строке. Если названия строк находятся в первом столбце входного диапазона, установите переключатель в положение Метки в первом столбце. Если входной диапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в выходном диапазоне будут созданы автоматически.

4) Уровень надежности. Установите флажок, если в выходную таблицу необходимо включить строку для уровня надежности. В поле введите требуемое значение. Например, значение 95% вычисляет уровень надежности среднего со значимостью 0.05.

5) К-ый наибольший. Установите флажок, если в выходную таблицу необходимо включить строку для k-го наибольшего значения для каждого диапазона данных. В соответствующем окне введите число k. Если k равно 1, эта строка будет содержать максимум из набора данных.

6) К-ый наименьший. Установите флажок, если в выходную таблицу необходимо включить строку для k-го наименьшего значения для каждого диапазона данных. В соответствующем окне введите число k. Если k равно 1, эта строка будет содержать минимум из набора данных.

7) Выходной диапазон. Введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Этот инструмент анализа выводит два столбца сведений для каждого набора данных. Левый столбец содержит метки статистических данных; правый столбец содержит статистические данные. Состоящий их двух столбцов диапазон статистических данных будет выведен для каждого столбца или для каждой строки входного диапазона в зависимости от положения переключателя Группирование.

8) Новый лист. Установите переключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа, начиная с ячейки A1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа в поле, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.

9) Новая книга. Установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результаты анализа в ячейку A1 на первом листе в этой книге.

10) Итоговая статистика. Установите флажок, если в выходном диапазоне необходимо получить по одному полю для каждого из следующих видов статистических данных: Среднее, Стандартная ошибка (среднего), Медиана, Мода, Стандартное отклонение, Дисперсия выборки, Эксцесс, Асимметричность, Интервал, Минимум, Максимум, Сумма, Счет, Наибольшее (#), Наименьшее (#), Уровень надежности.

В результате Вы получите статистические показатели, такие, как среднее, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и т.д. (рис. 11).

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПИСАТЕЛЬНЫХ СТАТИСТИК

Рассмотрим определения описательных статистик для их дальнейшего использования. Наряду со средними величинами в качестве описательных характеристик выборочных данных применяют моду и медиану.

Медианой называют значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Модой называют такое значение признака, которое наблюдалось наибольшее число раз.

Средние величины, характеризующие ряд числом, не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, т.е. вариацию. Простейший показатель вариации – вариационных размах, равный разности между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. Вариационный размах – приближенный показатель вариации, так как не зависит от изменения вариантов, а крайние варианты, которые используются для его вычисления, как правило, ненадежны. Более правильно использовать меру рассеяния наблюдений вокруг средних величин: это выборочные дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Выборочная дисперсия находится по формуле:

,

а выборочное среднее квадратическое отклонение равно арифметическому значению корня квадратного из дисперсии и имеет ту же размерность, что и значение признака.

Выборочным коэффициентом ассиметрии называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднеквадратического отклонения. Если в выборочном ряду преобладают варианты меньше , то выборочный коэффициент ассиметрии отрицателен, в этом случае имеет место левосторонняя ассиметрия.

Если преобладают варианты, большие , то выборочный коэффициент ассиметрии положителен, в этом случае имеет место правосторонняя ассиметрия. Выборочный коэффициент ассиметрии не имеет верхней или нижней границы, что снижает его ценность как меры ассиметрии. Практически коэффициент ассиметрии редко бывает особенно велик, а для умеренно ассиметричных рядов он обычно меньше 1.

Выборочный эксцесс – это уменьшенное на 3 единицы отношение центрального момента четвертого порядка к четвертой степени среднеквадратического отклонения. За стандартное значение эксцесса принимают нуль-эксцесс нормальной кривой. Кривые, у которых эксцесс отрицателен по сравнению с нормальной кривой, менее крутые, имеют более плоскую вершину и называются плосковершинными.

Рассмотрим отличие функции распределения данного ряда наблюдений от нормального распределения.

1. Коэффициенты ассиметрии и эксцесса для нормального распределения равны 0. Коэффициент ассиметрии характеризует скошенность распределения по отношению к математическому ожиданию.

2. Наряду со средним значением в качестве показателя центра группирования используется медиана. Для нормального распределения медиана и среднее совпадают.

3. Для нормального распределения мода и среднее должны совпадать.

ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЯ КОРРЕЛЯЦИИ можно воспользоваться мастером ДИАГРАММ.

Сначала выделите курсором исходные данные, для которых будете строить Поле корреляции (рис. 12).

Затем, выберите : ВСТАВКА Диаграмма или на панели инструментов воспользуйтесь значком Мастер диаграмм После этого появится диалоговое окно Мастер диаграмм (Шаг 1 из 4) (рис.13). Выберите Точечную Диаграмму и нажмите Далее.

Если перед вызовом Мастера диаграмм Вы выделили Диапазон исходных данных, для которого хотите построить диаграмму, то в следующем диалоговом окне Мастер диаграмм (Шаг 2 из 4) Вы увидите Поле корреляции для выделенных исходных данных (рис. 14). На рис.12 выделенные ряды исходных данных Себестоимость и Выпуск продукции.

Если исходные данные не были выделены перед началом работы Мастера диаграмм, то в следующем диалоговом окне Мастер диаграмм (Шаг 2 из 4) в пунктах меню Диапазон данных или Ряды, можно задать исходные данные. Если исходные данные располагаются в смежных столбцах, то следует воспользоваться пунктом меню Диапазон данных.

Если данные для построения графика находятся не в смежных столбцах, то выберите МенюРядыи, установив курсор сначала в окно Значения Х, выделите курсором мыши на рабочем листе соответствующие значения X, а затем, установив курсор в окно Значения Y, выделите на рабочем листе соответствующие значения Y (рис.14).

После чего, нажмите кнопку Далее. Появится диалоговое окно Мастер диаграмм (шаг 3 из 4). В этом окне можно задать Параметры диаграммы, например,подписи данных, названия для осей координат и т.д.

Послешага 2 можно сразу перейти на шаг 4, выполнив команду Готово. В этом случае Вы сразу перейдете в диалоговое окно Мастер диаграмм (шаг 4 из 4). В этом окне выберите месторасположение Поля корреляции: на листе, где находятся исходные данные (текущем), или на новом. После выполнения команды Готово на заданном листе будет нарисована диаграмма рассеяния переменных (Поле корреляции) (рис.15).

В ЕXCEL ПАРНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ с помощью встроенных статистических функций КОРРЕЛ и ПИРСОН.

Для этого надо выбрать:

Функции

отметив в качестве массивов 1 и 2 столбцы интересующих переменных.

Расчет матрицы выборочных парных коэффициентов корреляции осуществляется с помощью Пакета анализа. Выбираем в меню Сервис — Анализ данных — Корреляция.

Диалоговое окно «Корреляция» (рис. 16) содержит:

Входной диапазон.Необходимо указать массив исходных показателей (выделив мышкой все значения исследуемых переменных)

Группирование.В зависимости от расположения данных (в нашем случае по столбцам), необходимо установить переключатель в положение По столбцам или По строкам.

Метки в первой строке/Метки в первом столбце.Если первая строка исходного диапазона данных содержит названия столбцов, установите переключатель. Если входной диапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в выходном диапазоне будут созданы автоматически.

Выходной интервал.Можно указать ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона.

Новый лист. Если в этом есть необходимость, то можно установить переключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа, начиная с ячейка А1.

Рассмотрим пример, в котором исследуется линейная зависимость между переменными Y, X₁, X₂, X₃ (рис.17).

После нажатия на кнопку «ОК» на новом рабочем листе появится корреляционная матрица (рис. 18).

Источник

Биоиндикационные методы наблюдений как элемент геоэкологического мониторинга зон влияния горнодобывающих предприятий

Результаты экспериментальных исследований В ходе обработки материала были подсчитаны средние коэффициенты асимметрии по 100 точкам (табл. 1). Минимальное значение 69,76, максимальное 96,52, средне значение 85,15. Также была подсчитана мода, т.е. такое значение признака, которое наблюдается большее число раз. Для данного дискретного вариационного ряда мода равна 80,4. Это значение показателя соответствует зоне экологического бедствия.

По полученным коэффициентам асимметрии были построены графики (кривые) распределения. Распределением случайных величин будем считать всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующим им вероятностям. При графическом изображении распределения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие вероятности, или иными словами, количество попаданий в значение данной случайной величины. Затем строятся точки (xi, pi) и соединяются в кривую. Расстояние между точками (xi-1, xi) их значений называют карманами (или шагом) распределения, задаются в каждом случае конкретно (табл. 2).

Были построены 3 графика распределения. По оси абсцисс откладываются значения Ка от 68 до 98 (близкие целые значения к min и max) (рисунок).

математический смысл на примере кармана 2 будет следующий:

от 68 до 70 – 0 значений Ка;

от 70 до 72 – 1 значений Ка;

от 72 до 74 – 0 значений Ка и т.д.

Наиболее четко распределение отражает комулятивная кривая №2 (с карманом 4), которая дает более объемное изображение ситуации. При более дробных карманах (1, 2) картина представляется нечетко(ряд 1, ряд 3).

Распределение в нашем случае подчиняется закону нормального распределения (с максимумом значения в вершине кривой и симметричности данной кривой относительно прямой, проходит через этот максимум).

Отклонения от значения симметрии вызываются многими факторами, более или менее независимыми друг от друга (естественными и техногенными). Однако, наибольшее отклонение фиксируют максимальные техногенные влияния (естественные. факторы не меняются в течение длительного времени, в то время как техногенные влияния усиливаются на протяжении разработки месторождения).

Учитывая вышеприведенные данные, можно сделать вывод о состоянии геологической среды в зоне воздействия Михайловского ГОКа как зоны экологического кризиса (Ка 85-90%).

Следует отметить частичное отклонение кривой распределения от нормального распределения (значение абсциссы 68-78). Это интерпретируется как тяготение дискретных случайных величин к значениям зоны экологического бедствия (Ка<85%).

Заключение Биоиндикационные методы в целом применяются при изучении эколого-геологических систем как определенного объема литосферы и геологического компонента природной среды с находящейся в ней и на ней биотой [3]. Применение биоиндикационных методов обосновано тем, что они способны дать общую информацию об экологическом состоянии системы.

Эколого-геологические объекты горнодобывающего класса являются областью наиболее эффективного применения этих методов. Поскольку горнодобывающие объекты максимально преобразуют ресурсную, геохимическую, геодинамическую функции литосферы, важно изучение взаимосвязи компонентов литосферы и биоты между собой, выявление принципиальных особенностей технологий и разработок без нарушения целостности геологической среды.

Полезные статьи

Источник

Средние величины и показатели вариации

Средние величины и общие принципы их вычисления

Средние величины относятся к обобщающим статистическим показателям, которые дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Для выяснения сущности средней величины необходимо рассмотреть особенности формирования значений признаков тех явлений, по данным которых исчисляют среднюю величину.

Известно, что единицы каждого массового явления обладают многочисленными признаками. Какой бы из этих признаков мы ни взяли, его значения у отдельных единиц будут различными, они изменяются, или, как говорят в статистике, варьируют от одной единицы к другой. Так, например, заработная плата работника определяется его квалификацией, характером труда, стажем работы и целым рядом других факторов, поэтому изменяется в весьма широких пределах. Совокупное влияние всех факторов определяет размер заработка каждого работника, тем не менее можно говорить о среднемесячной заработной плате работников разных отраслей экономики. Здесь мы оперируем типичным, характерным значением варьирующего признака, отнесенным к единице многочисленной совокупности.

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. В то же время она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака отдельных единиц совокупности, как бы взаимно погашая их. Уровень (или размер) любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов. Одни из них являются общими и главными, постоянно действующими, тесно связанными с природой изучаемого явления или процесса, и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине. Другие являются индивидуальными, их действие выражено слабее и носит эпизодический, случайный характер. Они действуют в обратном направлении, обусловливают различия между количественными признаками отдельных единиц совокупности, стремясь изменить постоянную величину изучаемых признаков. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный закон больших чисел.

В совокупности индивидуальные значения признаков сливаются в общую массу и как бы растворяются. Отсюда и средняя величина выступает как «обезличенная», которая может отклоняться от индивидуальных значений признаков, не совпадая количественно ни с одним из них. Средняя величина отражает общее, характерное и типичное для всей совокупности благодаря взаимопогашению в ней случайных, нетипичных различий между признаками отдельных ее единиц, так как ее величина определяется как бы общей равнодействующей из всех причин.

Однако для того, чтобы средняя величина отражала наиболее типичное значение признака, она должна определяться не для любых совокупностей, а только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. Это требование является основным условием научно обоснованного применения средних величин и предполагает тесную связь метода средних величин и метода группировок в анализе социально-экономических явлений. Следовательно, средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Определяя, таким образом, сущность средних величин, необходимо подчеркнуть, что правильное исчисление любой средней величины предполагает выполнение следующих требований:

Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т. п. Связь между определяющим показателем и средней величиной выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить средним значением, то их сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя. На основе этой связи определяющего показателя со средней величиной строят исходное количественное отношение для непосредственного расчета средней величины. Способность средних величин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющим свойством.

Средняя величина, рассчитанная в целом по совокупности, называется общей средней; средние величины, рассчитанные для каждой группы, – групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Способы расчета могут быть разные, поэтому в статистике различают несколько видов средней величины, основными из которых являются средняя арифметическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

В экономическом анализе использование средних величин является основным инструментом для оценки результатов научно-технического прогресса, социальных мероприятий, поиска резервов развития экономики. В то же время следует помнить о том, что чрезмерное увлечение средними показателями может привести к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины, будучи обобщающими показателями, погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Виды средних величин

В статистике используют различные виды средних величин, которые делятся на два больших класса:

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения, поэтому их называют структурными, позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Самый распространенный вид средней величины – средняя арифметическая. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. Вычисление данной величины сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности. Например, пять рабочих выполняли заказ на изготовление деталей, при этом первый изготовил 5 деталей, второй – 7, третий – 4, четвертый – 10, пятый– 12. Поскольку в исходных данных значение каждого варианта встречалось только один раз, для определения средней выработки одного рабочего следует применить формулу простой средней арифметической:

т. е. в нашем примере средняя выработка одного рабочего равна

Наряду с простой средней арифметической изучают среднюю арифметическую взвешенную. Например, рассчитаем средний возраст студентов в группе из 20 человек, возраст которых варьируется от 18 до 22 лет, где xi – варианты осредняемого признака, fi – частота, которая показывает, сколько раз встречается i-е значение в совокупности (табл. 5.1).

Средний возраст студентов

Применяя формулу средней арифметической взвешенной, получаем:

Для выбора средней арифметической взвешенной существует определенное правило: если имеется ряд данных по двум показателям, для одного из которых надо вычислить

среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя неизвестны, но могут быть найдены как произведение этих показателей, то средняя величина должна высчитывать-ся по формуле средней арифметической взвешенной.

В некоторых случаях характер исходных статистических данных таков, что расчет средней арифметической теряет смысл и единственным обобщающим показателем может служить только другой вид средней величины – средняя гармоническая. В настоящее время вычислительные свойства средней арифметической потеряли свою актуальность при расчете обобщающих статистических показателей в связи с повсеместным внедрением электронно-вычислительной техники. Большое практическое значение приобрела средняя гармоническая величина, которая тоже бывает простой и взвешенной. Если известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное деление одного показателя на другой, то средняя величина вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Например, пусть известно, что автомобиль прошел первые 210 км со скоростью 70 км/ч, а оставшиеся 150 км со скоростью 75 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути в 360 км, используя формулу средней арифметической, нельзя. Так как вариантами являются скорости на отдельных участках xj = 70 км/ч и Х2 = 75 км/ч, а весами (fi) считаются соответствующие отрезки пути, то произведения вариантов на веса не будут иметь ни физического, ни экономического смысла. В данном случае смысл приобретают частные от деления отрезков пути на соответствующие скорости (варианты xi), т. е. затраты времени на прохождение отдельных участков пути (fi/xi). Если отрезки пути обозначить через fi, то весь путь выразиться как Σfi, а время, затраченное на весь путь, – как Σ fi/xi , Тогда средняя скорость может быть найдена как частное от деления всего пути на общие затраты времени:

В нашем примере получим:

Если при использовании средней гармонической веса всех вариантов (f) равны, то вместо взвешенной можно использовать простую (невзвешенную) среднюю гармоническую:

где xi – отдельные варианты; n – число вариантов осредняемого признака. В примере со скоростью простую среднюю гармоническую можно было бы применить, если бы были равны отрезки пути, пройденные с разной скоростью.

Любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изменялась величина некоторого итогового, обобщающего показателя, который связан с осредняемым показателем. Так, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней величиной (средней скоростью) не должно измениться общее расстояние.

Форма (формула) средней величины определяется характером (механизмом) взаимосвязи этого итогового показателя с осредняемым, поэтому итоговый показатель, величина которого не должна изменяться при замене вариантов их средней величиной, называется определяющим показателем. Для вывода формулы средней нужно составить и решить уравнение, используя взаимосвязь осредняемого показателя с определяющим. Это уравнение строится путем замены вариантов осредняемого признака (показателя) их средней величиной.

Кроме средней арифметической и средней гармонической в статистике используются и другие виды (формы) средней величины. Все они являются частными случаями степенной средней. Если рассчитывать все виды степенных средних величин для одних и тех же данных, то значения

их окажутся одинаковыми, здесь действует правило мажо-рантности средних. С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина. Наиболее часто применяемые в практических исследованиях формулы вычисления различных видов степенных средних величин представлены в табл. 5.2.

Виды степенных средних

Средняя геометрическая применяется, когда имеется n коэффициентов роста, при этом индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста. Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле

Формула средней геометрической взвешенной имеет следующий вид:

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется при текущих коэффициентах или темпах роста, а вторая – при абсолютных значениях уровней ряда.

Средняя квадратическая применяется при расчете с величинами квадратных функций, используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения и вычисляется по формуле

Средняя квадратическая взвешенная рассчитывается по другой формуле:

Средняя кубическая применяется при расчете с величинами кубических функций и вычисляется по формуле

средняя кубическая взвешенная:

Все рассмотренные выше средние величины могут быть представлены в виде общей формулы:

где – средняя величина; – индивидуальное значение; n – число единиц изучаемой совокупности; k – показатель степени, определяющий вид средней.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше k в общей формуле степенной средней, тем больше средняя величина. Из этого следует, что между величинами степенных средних существует закономерное соотношение:

Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние – мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода – величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т. е. вариант, обладающий наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. Она показывает размер признака, свойственный значительной части совокупности, и определяется по формуле

где х0 – нижняя граница интервала; h – величина интервала; fm – частота интервала; fm_1 – частота предшествующего интервала; fm+1 – частота следующего интервала.

Медианой называется вариант, расположенный в центре ранжированного ряда. Медиана делит ряд на две равные части таким образом, что по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. При этом у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше ее. Медиана используется при изучении элемента, значение которого больше или равно или одновременно меньше или равно половине элементов ряда распределения. Медиана дает общее представление о том, где сосредоточены значения признака, иными словами, где находится их центр.

Описательный характер медианы проявляется в том, что она характеризует количественную границу значений варьирующего признака, которыми обладает половина единиц совокупности. Задача нахождения медианы для дискретного вариационного ряда решается просто. Если всем единицам ряда придать порядковые номера, то порядковый номер медианного варианта определяется как (п +1) / 2 с нечетным числом членов п. Если же количество членов ряда является четным числом, то медианой будет являться среднее значение двух вариантов, имеющих порядковые номера n / 2 и n / 2 + 1.

При определении медианы в интервальных вариационных рядах сначала определяется интервал, в котором она находится (медианный интервал). Этот интервал характерен тем, что его накопленная сумма частот равна или превышает полусумму всех частот ряда. Расчет медианы интервального вариационного ряда производится по формуле

где X0 – нижняя граница интервала; h – величина интервала; fm – частота интервала; f– число членов ряда;

∫m-1 – сумма накопленных членов ряда, предшествующих данному.

Наряду с медианой для более полной характеристики структуры изучаемой совокупности применяют и другие значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду вполне определенное положение. К ним относятся квартили и децили. Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили – на 10 равных частей. Квартилей насчитывается три, а децилей – девять.

Медиана и мода в отличие от средней арифметической не погашают индивидуальных различий в значениях варьирующего признака и поэтому являются дополнительными и очень важными характеристиками статистической совокупности. На практике они часто используются вместо средней либо наряду с ней. Особенно целесообразно вычислять медиану и моду в тех случаях, когда изучаемая совокупность содержит некоторое количество единиц с очень большим или очень малым значением варьирующего признака. Эти, не очень характерные для совокупности значения вариантов, влияя на величину средней арифметической, не влияют на значения медианы и моды, что делает последние очень ценными для экономико-статистического анализа показателями.

Показатели вариации

Целью статистического исследования является выявление основных свойств и закономерностей изучаемой статистической совокупности. В процессе сводной обработки данных статистического наблюдения строят ряды распределения. Различают два типа рядов распределения – атрибутивные и вариационные, в зависимости от того, является ли признак, взятый за основу группировки, качественным или количественным.

Вариационными называют ряды распределения, построенные по количественному признаку. Значения количественных признаков у отдельных единиц совокупности не постоянны, более или менее различаются между собой. Такое различие в величине признака носит название вариации. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изучаемой совокупности, называют вариантами значений. Наличие вариации у отдельных единиц совокупности обусловлено влиянием большого числа факторов на формирование уровня признака. Изучение характера и степени вариации признаков у отдельных единиц совокупности является важнейшим вопросом всякого статистического исследования. Для описания меры изменчивости признаков используют показатели вариации.

Другой важной задачей статистического исследования является определение роли отдельных факторов или их групп в вариации тех или иных признаков совокупности. Для решения такой задачи в статистике применяются специальные методы исследования вариации, основанные на использовании системы показателей, с помощью которых измеряется вариация. В практике исследователь сталкивается с достаточно большим количеством вариантов значений признака, что не дает представления о распределении единиц по величине признака в совокупности. Для этого проводят расположение всех вариантов значений признака в возрастающем или убывающем порядке. Этот процесс называют ранжированием ряда. Ранжированный ряд сразу дает общее представление о значениях, которые принимает признак в совокупности.

Недостаточность средней величины для исчерпывающей характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Использование этих показателей вариации дает возможность сделать статистический анализ более полным и содержательным и тем самым глубже понять сущность изучаемых общественных явлений.

Самыми простыми признаками вариации являются минимум и максимум – это наименьшее и наибольшее значение признака в совокупности. Число повторений отдельных вариантов значений признаков называют частотой повторения. Обозначим частоту повторения значения признака fi, сумма частот, равная объему изучаемой совокупности будет:

где k – число вариантов значений признака. Частоты удобно заменять частостями – wi. Частость – относительный показатель частоты – может быть выражен в долях единицы или процентах и позволяет сопоставлять вариационные ряды с различным числом наблюдений. Формально имеем:

Для измерения вариации признака применяются различные абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = Xmax – Xmin. Этот показатель дает лишь самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Он совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, а его зависимость может придавать ему неустойчивый, случайный характер только от крайних значений признака. Размах вариации не дает никакой информации об особенностях исследуемых совокупностей и не позволяет оценить степень типичности полученных средних величин. Область применения этого показателя ограничена достаточно однородными совокупностями, точнее, характеризует вариацию признака показатель, основанный на учете изменчивости всех значений признака.

Для характеристики вариации признака нужно обобщить отклонения всех значений от какой-либо типичной для изучаемой совокупности величины. Такие показатели

вариации, как среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, основаны на рассмотрении отклонений значений признака отдельных единиц совокупности от средней арифметической.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической:

– абсолютное значение (модуль) отклонения варианта от средней арифметической; f– частота.

Первая формула применяется, если каждый из вариантов встречается в совокупности только один раз, а вторая – в рядах с неравными частотами.

Существует и другой способ усреднения отклонений вариантов от средней арифметической. Этот очень распространенный в статистике способ сводится к расчету квадратов отклонений вариантов от средней величины с их последующим усреднением. При этом мы получаем новый показатель вариации – дисперсию.

Дисперсия (σ 2 ) – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины:

Вторая формула применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

В экономико-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение (σ) представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения показывают, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности, и выражаются в тех же единицах измерения, что и варианты.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста персонала и его квалификации, стажа работы и размера заработной платы и т. д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков – среднее линейное и среднее квадртическое отклонение – не пригодны. Нельзя, в самом деле, сравнивать колеблемость стажа работы, выражаемую в годах, с колеблемостью заработной платы, выражаемой в рублях и копейках.

При сравнении изменчивости различных признаков в совокупности удобно применять относительные показатели вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (или медиане). Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, получают относительные показатели колеблемости:

– наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости, характеризующий однородность совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % для распределений, близких к нормальному.

Источник