Как узнать угол многоугольника
Правильный многоугольник
Многоугольник представляет плоскую замкнутую геометрическую фигуру, у которой может быть три, четыре и более сторон, пересекающихся в трех, четырех и более точках, называющихся вершинами. Называются они в соответствии с количеством сторон или вершин. Например, многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольник, с шестью — шестиугольник и т. д. Правильным называют многоугольник с равными углами и сторонами. Например, квадрат. Если в задании известна одна из этих величин, несложно узнать остальные. В равностороннем n-угольнике, сумма всех углов рассчитывается как:
(n — 2) 180°
а сумма всех его сторон будет равна:
P = na
P — периметр;
а — сторона;
n — количество сторон.
Определяем угол правильного n-угольника:
А = (n — 2) / n х 180°
a = 2 r · tg · 180° / n
a = 2 r · tg · π / n
Если задан радиус ® описанной окружности, то находим сторону по формуле:
a = 2 R · sin · 180° / n
a = 2 R · sin · π / n
Соответственно, если известна сторона правильного n-угольника, находим r вписанной окружности:
r = a / ( 2 tg · 180° / n)
r = a / ( 2 tg · π / n)
и R описанной окружности n-угольника по его стороне:
R= a / ( 2 sin · 180° / n)
R= a / ( 2 sin · π / n)
Онлайн калькулятор поможет вам быстро и правильно определить число и величину сторон правильного многоугольника, размер его внешнего и внутреннего углов, а также другие показатели.
Углы многоугольника
Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.
Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.
Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.
Сумма внутренних углов
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.
где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.
Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:
Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:
Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.
Сумма внешних углов
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).
где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).
Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:
Правильный многоугольник. Расчет углов правильного многоугольника
Многоугольник представляет плоскую замкнутую геометрическую фигуру, у которой может быть три, четыре и более сторон, пересекающихся в трех, четырех и более точках, называющихся вершинами. Называются они в соответствии с количеством сторон или вершин. Например, многоугольник с пятью сторонами называется пятиугольник, с шестью — шестиугольник и т. д. Правильным называют многоугольник с равными углами и сторонами. Например, квадрат.
Если в задании известна одна из этих величин, несложно узнать остальные. В равностороннем n-угольнике, сумма всех углов рассчитывается как:
а сумма всех его сторон будет равна:
P — периметр;
а — сторона;
n — количество сторон.
Определяем угол правильного n-угольника:
А = (n — 2) / n · х · 180°
Если задан радиус ® описанной окружности, то находим сторону по формуле:
a = 2 R · sin · 180° / n
Соответственно, если известна сторона правильного n-угольника, находим r вписанной окружности:
r = a / (2 tg · 180° / n)
и R описанной окружности n-угольника по его стороне:
R = a / (2 sin · 180° / n)
Онлайн калькулятор поможет вам быстро и правильно определить число и величину сторон правильного многоугольника, размер его внешнего и внутреннего углов, а также другие показатели.
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Свойства правильного многоугольника
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства правильного многоугольника касательно его внутренних углов (в т.ч. их суммы), количества диагоналей, центра описанной и вписанной окружностей. Также рассмотрены формулы для нахождения основных величин (площадь и периметр фигуры, радиусы окружностей).
Примечание: определение правильного многоугольника, его признаки, основные элементы и виды мы рассмотрели в отдельной публикации.
Свойства правильного многоугольника
Свойство 1
Внутренние углы в правильном многоугольнике ( α ) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:
где n – число сторон фигуры.
Свойство 2
Свойство 3
Количество диагоналей (Dn) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:
Свойство 4
В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.
В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.
Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:
Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:
Свойство 5
Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:
1. Площадь (S):
2. Периметр (P):
3. Радиус описанной окружности (R):
4. Радиус вписанной окружности (r):
Свойство 6
Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:
Многоугольник
Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.
Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:
Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.
Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.
    |
На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.
Обозначение многоугольника
Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).
Соседние вершины многоугольника
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
 |
На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)
Смежные стороны многоугольника
Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.
На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)
Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник
Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).
  |
На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.
Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.
 |
На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.
 |
На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.
Правильный многоугольник
Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.
  |
На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.
Звездчатый многоугольник
Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.
 |
На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)
Периметр многоугольника
Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_
Угол многоугольника
Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).
Внешний угол многоугольника
Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.
На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)
Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.
Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:
Сумма углов выпуклого многоугольника
Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_
 |
Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.
Угол правильного многоугольника
Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.