Как узнать полупериметр треугольника
Площадь треугольника через стороны
Площадь треугольника через стороны — это
площадь треугольника, которая выражена через
три стороны треугольника и полупериметр.
Полупериметр — это половина суммы
длин всех сторон треугольника.
Площадь любого треугольника можно рассчитать по
разным формулам. Одна из популярных формул:
С помощью этой формулы можно найти площадь
треугольника зная длину основания и высоту.
Но, иногда требуется найти площадь треугольника,
зная только стороны треугольника. Так, как у
каждого треугольника три стороны, то соответственно
три длины. Но, как же найти площадь?
Площадь треугольника через стороны легко рассчитать
зная Формулу Герона.Герон — греческий математик, в
честь которого и была названа эта формула. В чем суть
формулы Герона? Как найти площадь треугольника через длины сторон?
Площадь произвольного треугольника равна квадратному
корню из произведения полупериметра на разницу
между полупериметром и стороной a, полупериметром
и стороной b, полупериметром и стороной c.
Можно сделать вывод, что, чтобы рассчитать площадь треугольника
по Формуле Герона, нужно знать все стороны данного треугольника.
Формула Герона:
a, b, c — длины сторон треугольника;
p — полупериметр;
S — площадь;
Формула полупериметра:
Обобщение площади треугольника через стороны:
Подставив в вышеперечисленные формулы длины всех сторон,
можно найти площадь любого треугольника. С помощью формулы
площади треугольника через три стороны, можно также
найти не только площадь, но и периметр.
Периметр прямоугольника
Периметр прямоугольника — это сумма
всех сторон прямоугольника.
Периметр прямоугольника можно рассчитать
через четыре стороны, через смежные стороны,
через диагональ, через площадь,
через радиус описанной окружности.
Самый простой способ найти периметр
прямоугольника, это сложить все стороны.
Также, исходя из свойства прямоугольника, — «противоположные
стороны равны и параллельны», можно сказать, что периметр
численно равен удвоенной сумме ширины и высоты — двух
смежных сторон прямоугольника.
Кроме этих двух способов периметр прямоугольника
можно найти через другие величины. Например, через
площадь прямоугольника, диагональ прямоугольника, и так далее.
В прямоугольник невозможно вписать окружность,
поэтому выразить периметр через вписанную
окружность не получится.
Единицы измерения периметра прямоугольника:
км, м, дм, см, мм.
Формулы периметра прямоугольника
b — любая сторона;
R — радиус описанной окружности;
Полупериметр
Полупериметр — это половина периметра.
Обозначается латинской буквой p.
Чтобы найти полупериметр нужно разделить
периметр на два, или домножить периметр на 0.5.
\[ p = \frac
<2>= P \cdot 0.5 \]
Полупериметр применяется в некоторых формулах
нахождения разных величин прямоугольника. Вместо того,
чтобы вычислять периметр, в таких формулах
удобней вычислять полупериметр.
Основные определения и величины
Длина прямоугольника — это длинная сторона
/ наибольшая сторона прямоугольника.
Обозначается латинской буквой a.
Ширина прямоугольника — это широкая сторона
/ наименьшая сторона прямоугольника.
Обозначается латинской буквой b.
Сторона прямоугольника — это ширина или длина прямоугольника,
в зависимости от численного значения длины стороны.
Обозначается латинской буквой a или b.
Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий
противоположные стороны прямоугольника.
Обозначается латинской буквой c или d.
Средняя линия прямоугольника — это отрезок, соединяющий
наименьшие параллельные стороны прямоугольника друг с
другом, причем делящий их пополам на равные отрезки.
Обозначается латинской буквой l.
Радиус описанной окружности прямоугольника — это отрезок,
соединяющий центр описанной около треугольника
окружности и произвольную точку на окружности.
Обозначается латинской буквой R.
Высота прямоугольника — это любая сторона прямоугольника,
а также любой отрезок в прямоугольнике, образующий угол в 90 градусов.
Обозначается латинской буквой h.
Как найти площадь треугольника
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
Бесплатный марафон Как создавать игры и развиваться в том, что нравится
Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.
Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.
Если треугольник прямоугольный
То есть один из его углов равен 90 градусам.
Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.
Если он равнобедренный
То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.
Если он равносторонний
То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:
Если известна сторона и высота
Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.
Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.
Если известны две стороны и градус угла между ними
Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:
Если известны длины трех сторон
Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.
Если известны три стороны и радиус описанной окружности
Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.
Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.
Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.
Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.
Все формулы для треугольника
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
Формулы длины стороны (основания), (b ):
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):