Как узнать площадь шестиугольника
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.
Общая формула вычисления площади
Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:
Формула получена следующим образом:
Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:
Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:
Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).
Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):
Примеры задач
Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.
Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.
Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):
Как найти площадь шестиугольника по формуле?
С вопросом: «Как найти площадь шестиугольника?», можно столкнуться не только на экзамене по геометрии и т.п., эти знания пригодятся и в быту, например, для правильного и точного вычисления площади помещения в процессе ремонта. Подставив в формулу требуемые значения, получится определить нужное количество рулонов обоев, плитки в ванную или на кухню и т.д.
Немного фактов из истории
Геометрия использовалась еще в древнем Вавилоне и прочих государствах, существовавших в одно время с ним. Вычисления помогали при возведении значительных сооружений, так как благодаря ей зодчие знали как выдержать вертикаль, правильно составить план, определить высоту.
Эстетика тоже имела большое значение, и здесь снова шла в ход геометрия. Сегодня этой науки нужны строителю, закройщику, архитектору, да и не специалисту тоже.
Поэтому лучше уметь рассчитывать S фигур, понимать, что формулы могут пригодиться на практике.
Площадь правильного 6-угольника
Итак, у нас шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В повседневности мы часто имеем возможность встретить предметы правильной шестиугольной формы.
Шестиугольная фигура наиболее экономично заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, одна подогнана к другой так, что зазоров не остается.
Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.
Расчет
Требуемое значение можно вычислить, разбив фигуру на шесть треугольников с равными сторонами.
Вычислив S одного из треугольников, нетрудно определить и общую. Простая формула, так как правильный шестиугольник, по сути, является шестью равными треугольниками. Таким образом, для ее расчета найденную площадь одного треугольника умножают на 6.
Если от центра шестиугольника к любой его стороне провести перпендикуляр, получается отрезок – апофема.
Посмотрим, как находить S шестиугольника, если апофема известна:
Подставляем полученные результаты в формулу: S=1/2×периметр×апофема
Считаем:
Упрощаем полученный ответ, чтоб избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150 √3см=259,8с м².
Как находить площадь неправильного шестиугольника
Есть несколько вариантов:
Выбор способа диктуется исходными данными.
Метод трапеции
Шестиугольник делится на отдельные трапеции, после чего вычисляется площадь каждой полученной фигуры.
Использование осей координат
Используем координаты вершин многоугольника:
Разбивка шестиугольника на другие фигуры
Многоугольники разбиваются на другие фигуры: трапеции, треугольники, прямоугольники. Пользуясь формулами вычисления площадей перечисленных фигур, требуемые значения вычисляются и складываются.
Неправильный шестиугольник может состоять из двух параллелограммов. Чтоб вычислить площадь параллелограмма, его длина умножается на его ширину, а далее уже известные две площади складываются.
Площадь равностороннего шестиугольника
У правильного шестиугольника шесть равных сторон. Площадь равносторонней фигуры равна 6S треугольников, на которые разбит правильный шестиугольник. Каждый треугольник в правильном шестиугольнике равен, поэтому для вычисления площади такой фигуры довольно знать площадь хотя б одного треугольника.
Чтоб найти искомое значение пользуются формулой площади правильной фигуры, описанной выше.
Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников. 
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
, где — сторона правильного шестиугольника.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
Калькулятор площади шестиугольника
Шестиугольник или гексагон — это правильный многоугольник, у которого стороны равны между собой, а каждый угол равен строго 120 градусов. Гексагон иногда встречается в человеческой повседневности, поэтому вам может понадобиться вычислить его площадь не только в школьных задачах, но и в реальной жизни.
Выпуклый шестиугольник
Гескагон — это правильный выпуклый многоугольник, соответственно, все его углы равны, все стороны равны, а если провести отрезок через две соседние вершины, то вся фигура окажется по одну сторону от этого отрезка. Как и в любой правильный n-угольник, вокруг гексагона можно описать окружность или вписать ее вовнутрь. Главная особенность шестиугольника заключается в том, что длина радиуса описанной окружности совпадает с длиной стороны многоугольника. Благодаря этому свойству можно легко найти площадь гексагона по формуле:
Кроме того, радиус вписанной окружности соотносится со стороной фигуры как:
Из этого следует, что вычислить площадь шестиугольника можно, оперируя одной из трех переменных на выбор.
Гексаграмма
Звездчатый правильный шестиугольник предстает перед нами в виде шестиконечной звезды. Такая фигура образуется путем наложения друг на друга двух равносторонних треугольников. Самой известной реальной гексаграммой является Звезда Давида — символ еврейского народа.
Шестиугольные числа
В теории чисел существуют фигурные числа, связанные с определенными геометрическими фигурами. Наибольшее применение находят треугольные и квадратные, а также тетраэдрические и пирамидальные числа, используя которые легко выкладывать геометрические фигуры при помощи реальных предметов. Например, пирамидальные числа подскажут вам, как сложить пушечные ядра в устойчивую пирамиду. Существуют также и шестиугольные числа, которые определяют число точек, необходимое для построения гексагона.
Шестиугольник в реальности
Гексагоны часто встречаются в реальной жизни. К примеру, сечения гаек или карандашей имеют шестиугольную форму, благодаря чему обеспечивается удобный обхват предмета. Шестиугольник — это эффективная геометрическая фигура, способная замостить плоскость без пробелов и наложений. Именно поэтому шестиугольную форму часто имеют декоративные отделочные материалы, например, кафельная и тротуарная плитка или гипсокартонные панели.
Эффективность гексагона делает его популярным и в природе. Пчелиные соты обладают именно шестиугольной формой, благодаря которой пространство улья заполняется без пробелов. Еще одним примером гексагонального замощения плоскости является Тропа Великанов — памятник живой природы, сформированный во время извержения вулкана. Вулканический пепел был спрессован в шестиугольные колонны, которые замостили поверхность побережья Северной Ирландии.
Упаковка кругов на плоскости
И еще немного об эффективности гексагона. Упаковка шаров — классическая задача комбинаторной геометрии, которая требует найти оптимальный способ укладки непересекающихся шаров. На практике такая задача превращается в логистическую проблему упаковки апельсинов, яблок, пушечных ядер или любых других шарообразных объектов, которые требуется уложить максимально плотно. Гескагон — решение данной проблемы.
Известно, что наиболее эффективным расположением кругов в двухмерном пространстве является размещение центров окружностей на вершинах шестиугольников, которые заполняют плоскость без пробелов. В трехмерной реальности задача размещения шаров решается путем гексагональной укладки объектов.
При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить площадь правильного шестиугольника, зная его сторону или радиусы соответствующих окружностей. Давайте попробуем вычислить площади гексагонов на реальных примерах.
Примеры из реальной жизни
Гигантский гексагон
Гигантский гексагон — уникальное атмосферное явление на Сатуре, которое выглядит как грандиозный вихрь в форме правильного шестиугольника. Известно, что сторона гигантского гексагона составляет 13 800 км, благодаря чему мы можем определить площадь «облака». Для этого достаточно ввести значение стороны в форму калькулятора и получить результат:
Таким образом, площадь атмосферного вихря на Сатурне приблизительно составляет 494 777 633 квадратных километров. Поистине впечатляет.
Гексагональные шахматы
Мы все привыкли к шахматному полю, разделенному на 64 квадратные ячейки. Однако существуют и гексагональные шахматы, игровое поле которых разделено на 91 правильный шестиугольник. Давайте определим площадь игровой доски для гексагональной версии известной игры. Пусть сторона ячейки составляет 2 сантиметра. Площадь одной игровой клетки составит:
Тогда площадь всей доски будет равна 91 × 10,39 = 945,49 квадратных сантиметров.
Заключение
Шестиугольник часто встречается в реальности, хотя мы и не замечаем этого. Используйте наш онлайн-калькулятор для расчета площадей гексагонов при решении повседневных или школьных задач.
Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?
Умение определять площадь различных фигур играет немалую роль в жизни каждого человека. Рано или поздно приходится иметь дело с этими знаниями. К примеру, в процессе ремонта помещения для определения необходимого количества рулонов обоев, линолеума, паркета, плитки в ванную или на кухню нужно уметь рассчитывать необходимую площадь.
Знаниями в области геометрии пользовались еще в древнем Вавилоне и других странах. На первых шагах к культуре всегда возникала необходимость измерить участок, расстояние. При строительстве первых значительных сооружений требовались умения выдерживать вертикаль, спроектировать план.
Роль эстетических потребностей людей также имела немалое значение. Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение.
Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту.
Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника. Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести.
Площадь правильного шестиугольника
Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.
В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника. Это и металлическая гайка, и ячейки пчелиных сот, и структура снежинки. Шестиугольными фигурами отлично заполняются плоскости. Так, например, при мощении тротуарной плитки мы можем наблюдать, как плитка укладывается одна возле другой, не оставляя пустых мест.
Свойства правильного шестиугольника
Как посчитать площадь правильного шестиугольника?
Площадь правильного шестиугольника можно рассчитать, разбив его на шесть треугольников, каждый из которых будет иметь равные стороны.
Для расчета площади правильного треугольника используется следующая формула:
Зная площадь одного из треугольников, можно легко рассчитать площадь шестиугольника. Формула для ее расчета проста: поскольку правильный шестиугольник — это шесть равных треугольников, следует площадь нашего треугольника умножить на 6.
Если провести от центра фигуры к любой из ее сторон перпендикуляр, получим отрезок, который называется апофема. Рассмотрим, как найти площадь шестиугольника при известной апофеме:
Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах:
½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см²
Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника
Площадь неправильного шестиугольника
Существует несколько вариантов определения площади неправильного шестиугольника:
В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.
Площадь шестиугольника, имеющего произвольную (неправильную) форму, рассчитывается методом трапеции, суть которого состоит в разделении шестиугольника на отдельные трапеции и последующим вычислением площади каждой из них.
Метод с осями координат
Кроме этого, площадь неправильного шестиугольника можно рассчитать при помощи метода расчета площади неправильных многоугольников. Рассмотрим его на следующем примере:
Вычисление будем выполнять методом использования координат вершин многоугольника:
Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры
Каждый многоугольник можно разделить на несколько других фигур. Это могут быть треугольники, трапеции, прямоугольники. Исходя из известных данных, пользуясь формулами определения площадей перечисленных фигур, последовательно вычисляются их площади и затем суммируются.
Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади.
Видео о том, как найти площадь многоугольника
Площадь равностороннего шестиугольника
Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.
Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура.
Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника.
Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.
А Вы знали, как найти площадь шестиугольника? Как думаете, где эти знания пригодятся Вам в жизни? Поделитесь своим мнением в комментариях.