Как узнать площадь равностороннего треугольника

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Источник

Как найти площадь равностороннего треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

Введите их в соответствующие поля и узнаете площадь равностороннего треугольника (S).

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная длину равных сторон

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна длина сторон (a)?

Формула

Пример

Если сторона a = 2 см, то:

S = √3 /₄ ⋅ 2² = 1.732 /₄ ⋅ 4 ≈ 1.732 см 2

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его высоту

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известна его высота (h)?

Формула

Пример

Если высота h = 3 см, то:

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус описанной окружности

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус описанной окружности (R)?

Формула

Пример

Если радиус описанной окружности R = 4 см, то:

S = 3 ⋅ √3 /₄ ⋅ 4² = 3 ⋅ 1.732 /₄ ⋅ 16 = 1.299 ⋅ 16 ≈ 20.784 см 2

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная радиус вписанной окружности

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен радиус вписанной окружности (r)?

Формула

Пример

Если радиус вписанной окружности r = 1 см, то:

S = 3⋅ √ 3 ⋅ 1² = 3 ⋅ 1.732 ⋅ 1 ≈ 5.196 см 2

Как посчитать площадь равностороннего треугольника зная его периметр

Какова площадь равностороннего треугольника (S) если известен его периметр (P)?

Формула

Пример

Если периметр P = 8 см, то:

S = √3 /₃₆ ⋅ 8² = 1.732 /₃₆ ⋅ 64 ≈ 3 см 2

Источник

Как найти площадь треугольника

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Источник

Площадь равностороннего треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь равностороннего треугольника. Для нахождения площади равностороннего треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Пусть в равносторннем треугольнике известна сторона a (a=b=c) (Рис.1):

Найдем площадь треугольника. Поскольку в треугольнике напротив равных сторон расположенные равные углы (см. статью Соотношения между сторонами и углами треугольника), то в равносторннем треугольнике все углы равны. Но сумма всех углов треугольника равна 180°. Следовательно все три угла равностороннего треугольника равны 60°. Для треугольника ABH применим теорему синусов:

Учитывая, что , получим:

Площадь треугольника по основанию и высоте имеет следующий вид:

Подставляя (1) в (2), получим:

Пример 1. Сторона равностороннего треугольника равна a=5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (3). Подставляя значение a=5 в (3), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Пусть в равностороннем треугольнике известна высота h (Рис.1). Найдем площадь треугольника.

Найдем из формулы (1) a и подставим в (2):

Пример 2. Высота равностороннего треугольника равна h=6.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя значение h=6.5 в (4), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус вписанной окружности r (Рис.2):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 2 равносторонний треугольник разделен га 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе (см. статью Прямоугольный треугольник). Тогда:

Чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти площадь одного из прямоугольных треугольников и умножить на 6.

Применим для треугольника OBE теорему синусов:

Найдем a из формулы (6):

,

.

(7)

Подставляя (7) в (5), получим:

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

.

.

(9)

Пример 3. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равна r=7.5. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (9). Подставляя значение r=7.5 в (9), получим:

Ответ:

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Пусть в прямоугольном треугольнике известна радиус описанной окружности R (Рис.3):

Найдем площадь равностороннего треугольника. На рисунке 3 равносторонний треугольник разделен на 6 частей. Полученные 6 прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе. Тогда:

, ,

Чтобы найти площадь треугольника ABC достаточно найти площадь одного из прямоугольных треугольников и умножить на 6.

Применим для треугольника OBE теорему синусов:

Еще раз применим теорему синусов для треугольника OBE :

.

.

(12)

Подставляя (11) и (12) в (10), получим:

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

.

.

(14)

Пример 4. Радиус oписанной окружности равностороннего треугольника равна R=11.2. Найти площадь треугольника.

Решение. Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой (14). Подставляя значение R=11.2 в (14), получим:

Ответ:

Источник

Как найти площадь равностороннего треугольника

Формула

Эту формулу легко получить из общей формулы для площади треугольника

Напомним, что треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Примеры вычисления площади равностороннего треугольника

Решение. Подставив заданное значение в формулу, будем иметь:

Как найти площадь равностороннего треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).

$4 x^<2>-x^<2>=9 \Rightarrow 3 x^<2>=9 \Rightarrow x^<2>=3 \Rightarrow H C=x=\sqrt<3>$ (м)

Отсюда получаем, что

А тогда искомая площадь

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Согласно формуле, по которой вычисляется площадь S треугольника с равными сторонами, она равна:

S = √3/4*а, в которой а – это длина стороны фигуры.

Площадь можно также найти следующим образом:

S = a*h/2, где h – это высота.

Высоту можно вычислить, используя теорему Пифагора:

Обозначим имеющийся треугольник с равными сторонами как АВС. Обозначим длину стороны как а, и получим, что АВ=ВС=АС=а. Среднюю линию обозначим как МК. Тогда Sмвк = 6 см. кв.

В случае с равносторонним треугольником:

Зная свойство средней линии треугольника, можно записать следующее равенство:

В этом случае площадь отсекаемого треугольника равна:

Sмвк = (а/2)²*√3/4 = а²√3/16 см.кв.

В условии дано, что Sмвк = 6 см.кв., тогда:

Площадь равностороннего треугольника:

S = а²√3/4 = (96√3)/(4√3) = 96/4 =24 см.кв.

Найдем сторону равносторонней треугольной фигуры, разделив его периметр на 3:

Тогда площадь этой фигуры равна:

S =1/2a²sin 60° = 1/2*64*√3/2 = 16√3 см.кв.

Принимая во внимание то, что все стороны данной треугольной фигуры равны, то его высоту можно выразить через сторону и вычислить, используя теорему Пифагора:

h² = а²-(а/2)² = h² = а²- а²/4 = 3а²/4

Тогда площадь данной фигуры равна:

S = ½ a* h = ½ a*(а√3)/2 = (a²√3)/4

Для расчета площади треугольника, длины всех сторон которого равны, используется формула:

Перенесем 4 в правую часть равенства:

Если известно, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то его площадь рассчитывается так:

Треугольник имеет два катета – АВ и ВС. Его гипотенуза – ВС. Так как фигура является равносторонней, то АВ = АС.

Требуется доказать, что площадь треугольной фигуры, стороны которой одинаковы, равна произведению длин его катетов, разделенному на два.

Превратим имеющийся треугольник в квадрат, проведя перпендикуляр из его углов, и получим что:

Площадь квадрата равна:

Диагональ квадрата ВС является гипотенузой треугольника, которая делит квадрат на 2 равные части. Из этого следует, что площадь треугольника равна половине площади квадрата. Что и требовалось доказать.

Имеется треугольник АВС с равным сторонами.

Площадь данной фигуры находится по формуле:

в которой АС – основание треугольной фигуре, по длине равное любой из сторон (равносторонний Δ), ВН – высота.

Предположим, что АС = 2а см. Тогда:

Согласно теореме Пифагора:

Переносим а² в правую часть уравнения:

Теперь можно найти площадь:

Известна формула расчета площади треугольника:

Проведем высоту h, которая в равностороннем треугольнике представляет собой также биссектрису и медиану.

Воспользуемся теоремой Пифагора для вычисления высоты:

Доказать, что приведенное в задании утверждение является верным, можно, если превратить имеющуюся треугольную фигуру в параллелограмм/, площадь которого равна произведению длины стороны и высоты.

Параллелограмм состоит из двух треугольников, которые равны. Это значит, что площадь одной из треугольных фигур находится так:

Высоту можно выразить через определение синуса.

Все углы в равносторонней треугольной фигуре равны и составляют 60 градусов (180/3).

Из определения синуса следует:

Известно, что площадь любого треугольника можно найти по формуле:

Доказано, что каждый угол равносторонней треугольной фигуры составляют 60 градусов (sin60 =sqrt(3)/2), а его стороны имеют одинаковые длины. Если подставить эти значения в формулу, то получим:

Площадь треугольника с равными сторонами вычисляется по формуле:

S= √3/4*12²= √3*144 /4*1 = 36√3 ≈ 62,35 см.кв.

Согласно формуле Герона:

Для данного треугольника:

S = √ (18× (18-12)³) = √(18*6³) = √(18×216)=√3888 ≈ 62,35 см. кв.

Площадь треугольника с одинаковыми сторонами считается как:

Радиус r окружности, которая вписана в данный Δ, равен a√3/6. Значит:

Считаем площадь треугольника:

Радиус R окружности, которая описана около правильной треугольной фигуры, равен a/√3. Следовательно, а = R√3.

Площадь треугольника равна:

Если d = 10 см., то r = 10/2 = 5 см.

r = а√3/6, где а – это длина стороны правильного Δ.

SΔ = a²√3/4 =(10√3)³ *√3/4 = 75√3 см. кв.

S = 1/2 * a * a sin 60 = 1/2 * 4 * 4 * √3/2 = 4√3 дм.кв.

Площадь также можно найти так:

S = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 дм.кв.

Длина окружности через радиус находится так:

Имеем правильный треугольник, значит длина его стороны:

S = √3/4a² = √3/43*3 = 3√3 у.е.кв.

В правильном треугольнике длины всех сторон одинаковы. Это значит, что каждую из них можно обозначить как х. Тогда:

Р (периметр) = х + х + х = 3х см.

Площадь будет равна:

S = 1/2 h * x = 14/2*x = 7х см.кв.

Площадь треугольной фигуры с равными сторонами считается как:

Радиус окружности, вписанной в этот Δ, составляет a√3/6. Тогда а = 2√3r.

Находим площадь треугольника:

Радиус R окружности, которая описана около правильного Δ, составляет a/√3. Это означает, что а = R√3.

Теперь можем высчитать площадь треугольника:

Центр правильно треугольной фигуры также является центральной точкой описанной около нее окружности. Ее радиус представляет собой расстояние от центра до вершины фигуры:

Все углы в правильном треугольнике являются одинаковыми и равны по 60 градусов (180/3).

Площадь треугольной фигуры рассчитывается как:

Предположим, что BD = 10 см., а АС = 12 см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся на две равные части, пересекаясь в определенной точке.

ΔАВО: ∠АОВ = 90°, АО = АС/2 = 6, ВО = BD/2 = 5.

Согласно теореме Пифагора:

АВ = √(АО² + ВО²) = √(36 + 25) = √41.

Треугольник имеет равные стороны, длина каждой из которых аналогична длине стороны ромба:

SΔ = a²√3/4 = 41√3/4 см.кв.

Если длина стороны правильного треугольника указана, то его площадь вычисляется следующим образом:

Согласно определению правильного треугольника, длины всех его сторон одинаковые. Исходя из этого можно найти его сторону, разделив периметр на три:

Ищем площадь, подставив в равенство значение а:

S = 2²√3/4 = S 4√3/4 = √3 см.кв.

Площадь треугольника, имеющего стороны одинаковой длины, может быть рассчитана через длину его стороны без применения формулы радиуса окружности, которая вписана в него. Для данной фигуры верно утверждение о том, что высота, биссектриса и медиана делятся в точке пересечения в отношении 2:1. При схематичном изображении можно увидеть, что треугольная фигура АВС включает 6 треугольников с прямыми углами, которые имеют одинаковый катет (R) и гипотенузу (АО=ВО=СО). Следовательно, площадь треугольника АВС будет представлять собой сумму площадей всех 6 треугольников, формирующих его.

Если сказано, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то его площадь можно найти:

Если S=√3/4 а², то в данном случае S=9√3, что означает: 9√3=√3/4 а².

а² = 9√3:√3/4 = 9√3 x 4√3 = 36

Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, то a = 6 см.

Доказано, что равносторонний треугольник имеет равные углы по 60 градусов. Также известна формула вычисления площади данной фигуры путем умножения длин двух его сторон и синуса угла, который они образуют:

S = 1/2*a*a*sin 60 = a²√3/4 см.кв.

Если указано, что длина стороны равностороннего треугольника составляет а, то его площадь равна:

Медиана, проведенная в треугольнике с равными сторонами, также представляет собой его биссектрису и высоту. Из этого следует, что:

Ответ: Площадь треугольника = a²√3/4 см.кв., его медиана = a√3/2 см.

В случае с треугольником с равными сторонами, высота представляет собой также медиану, делящую на две равные части сторону, на которую она опущена. Если применить в данном случае теорему Пифагора, то высота равна:

Теперь есть возможность найти площадь:

S = (1/2)*8√2*4√6 = 32√3 см. кв.

Площадь также можно найти по формуле для треугольника с равными сторонами:

S =(√3/4)*a² или S =(√3/4)*128 = 32√3 см. кв.

Для расчета площади треугольника с равными сторонами есть формула:

Найдем площадь меньшего из треугольников, подставив значение а:

Известно, что площадь второго треугольника больше площади первой фигуры в три раза. Тогда:

Очевидно, что сторона большего треугольника составляет √3 см.

Формула площади для треугольника с равными сторонами:

Источник