Как узнать площадь параллелограмма
Площади фигур. Площадь параллелограмма.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей
одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь
будет равна числу этих квадратов.
Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и
лежат на параллельных прямых.
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус
Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади параллелограмма.
Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.
Формулы для определения площади параллелограмма:
1. Площадь параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону
2. Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
3. Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними.
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
Параллелограмм – это геометрическая фигура; четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма находится путем умножения длин его обеих сторон и синуса угла между ними:
S = a ⋅ b ⋅ sin α
По двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна одной второй произведения длин его диагоналей, умноженного на синус угла между ними:
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь параллелограмма, если длина его стороны равняется 7 см, а высоты – 4 см.
Задание 2
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см, а угол между ними – 30°.
Задание 3
Найдите площадь параллелограмма с диагоналями, равными 4 и 6 см. Угол между ними составляет 90°.
Как найти площадь параллелограмма
Онлайн калькулятор
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны друг другу.
Узнать чему равна площадь параллелограмма (S) можно зная (либо-либо):
Подставьте значения в соответствующие поля и получите результат.
Зная длину стороны a и длину высоты h
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длина стороны a и длина высоты h, проведенной к этой стороне?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, а высота h = 4 см, то:
Зная длины сторон a и b, и угол α
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними α?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠α = 50° то:
S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin 50 = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см 2
Зная длины сторон a и b, и угол β
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и угол между ними β?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а ∠β = 130° то:
S = 8 ⋅ 5 ⋅ sin(180-130) = 40 ⋅ 0.766 ≈ 30.64 см 2
Зная длины сторон a и b, и длину диагонали (d1 или d2)
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины сторон a и b, и длина любой из диагоналей d?
Формула
Пример
Если сторона параллелограмма a = 8 см, сторона b = 5 см, а диагональ d = 11 см то:
S = 2 √ 12⋅(12-8)⋅(12-5)⋅(12-11) = 2⋅ √ 12⋅4⋅7⋅1 = 2⋅ √ 336 = 36.66 см 2
Зная длины диагоналей d1 и d2, и угол между ними γ
Чему равна площадь параллелограмма S если известны длины диагоналей d1 и d2, и угол между ними γ?
Формула
Пример
Если диагональ параллелограмма d1 = 11 см, диагональ d2 = 7 см, а ∠γ = 45° то:
S = ½ ⋅ 11 ⋅ 7 ⋅ sin 45 = 38.5 ⋅ 0.7071 ≈ 27.22 см 2
Площадь параллелограмма
Для начала, чтобы узнать и найти площадь
параллелограмма. Дадим определения
некоторым важным понятиям, связанными так
или иначе с параллелограммом. Это понятие
высоты в параллелограмме и его основания.
Основание параллелограмма — это прямая, на которую
можно опустить перпендикуляр из любой точки
с противоположной стороны параллелограмма.
Высота в параллелограмме — это отрезок, являющийся
перпендикуляром, который связывает два основания.
Грубо говоря, если с какой-то из сторон параллелограмма
можно опустить перпендикуляр на противоположную сторону, то
сторона на которую упадет перпендикуляр будет являться
основанием, а сам перпендикуляр — высотой.
Чтобы выразить площадь параллелограмма, нужно
внимательно рассмотреть его. Рассматривая
произвольный параллелограмм, можно заметить,
что он состоит из двух прямоугольных треугольников
и одного прямоугольника. Так, что можно смело заявить:
площадь параллелограмма — это площадь
прямоугольника + площадь двух треугольников.
На рисунке 1 изображен параллелограмм ABCD. Площадь S
параллелограмма ABCD, с высотами BH и DF,
равна BF*BH + ½BH*AH + ½FC*FD. Но это очень громоздкая
формула. Математики сократили её и получили современную
формулу площади параллелограмма через высоту и основание.
Площадь S параллелограмма ABCD, с основанием AD
и высотой BH равна AD*BH.
Площадь параллелограмма — это площадь фигур,
на которые можно разбить параллелограмм.
Площадь параллелограмма численно равна
произведению его основания на высоту.
Теперь, если вы поняли как методом рассмотрения геометрической фигуры,
мы получили площадь параллелограмма, вы сможете найти площадь
большинства других геометрических фигур!
Площадь параллелограмма — формула, методика и примеры вычисления
Задачи на нахождение площади параллелограмма довольно часто встречаются в геометрии при выполнении контрольных работ, написании зачетов и решении практических заданий экзаменационных билетов. Для получения отличных оценок необходимо знать доказательства теорем, основные соотношения и методику их нахождения, а также уметь применять знания, полученные в процессе обучения, на практике.
Общие сведения
Перед обучением решению задач специалисты рекомендуют изучить теорию и разобраться в ней. Параллелограмм — геометрическая фигура, состоящая из четырех вершин и взаимно-параллельными, а также равными между собой противоположными сторонами. Высота — часть прямой (отрезок), исходящая из вершины на противоположную сторону и образующая с последней прямой угол.
Диагонали не равны между собой. Для удобства их обозначают литерами F и f (большая и малая соответственно). Однако у квадрата и прямоугольника они эквивалентны. Специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения правильно определять геометрическую фигуру. Для этой цели существуют признаки параллелограмма.
Признаки параллелограмма
Признаки — набор критериев и правил, при помощи которых определяется тип геометрического тела. В некоторых задачах с повышенной сложностью дается четырехугольник с определенными исходными данными. Далее необходимо найти один из его параметров по формуле. Для этого следует правильно идентифицировать фигуру, чтобы воспользоваться необходимым соотношением.
Вот на этом этапе будут полезны признаки, позволяющие отнести геометрическое тело к классу параллелограммов. К ним относятся следующие:
Следует отметить, что при выполнении одного условия фигура принадлежит к классу параллелограммов.
Свойства фигуры
Свойства — утверждения, доказанные математиками. Они применяются для доказательств теорем, решения диофантовых (линейных) систем уравнений на нахождение двух неизвестных величин, вычисления параметров фигуры, а также для проектирования деталей. Для этих целей можно применять такие утверждения:
После свойств математики рекомендуют ознакомиться с некоторыми теоремами, позволяющими выводить формулу площади параллелограмма.
Теоремы о площади
Формулы площади — базовые соотношения, позволяющие найти другие параметры параллелограмма. Однако начинающему математику рекомендуется посмотреть, каким образом они доказываются. В отличие от прямоугольника величина рассчитывается немного иначе. Формулы — математическая запись определенной теоремы про площадь. Их всего три:
Однако для удобства доказательства утверждений следует ввести обозначения основных параметров фигуры:
Следует отметить, что специалисты при решении любой задачи или доказательстве геометрических тождеств рекомендуют использовать сокращенные записи. Этот подход является признаком мастерства и правилом хорошего тона в точных науках.
Сторона и высота
Первую теорему можно сформулировать следующим образом: площадь параллелограмма равна произведению большей стороны на значение высоты. Доказывается утверждение довольно просто по такому алгоритму:
Следующая теорема имеет такую формулировку: при известных сторонах параллелограмма и размерности угла между ними его площадь эквивалентна произведению первых двух на синус третьего, то есть S=k*l*sin (∠v). Доказывается утверждение по такой методике:
Утверждение доказано. Следует отметить, что в геометрии очень часто одна теорема используется для доказательства другой.
Величины диагоналей
Третья теорема определения величины площади параллелограмма через диагонали имеет следующую формулировку: размерность эквивалентна произведению диагоналей на острый угол между ними (S=F*f*sin (∠z)). Доказывается утверждение по такому алгоритму:
Следует отметить, что результирующая формула с подстановкой всех величин имеет следующий вид: S=[(Ff/2)]*sin (∠z). Однако для решения задач возможно использовать еще один параметр, который называется периметром.
Информация о периметре
Периметр или поверхность плоского геометрического тела — алгебраическая сумма сторон параллелограмма. Он обозначается литерой «Р». Базовое соотношение имеет следующий вид: S=MN+NO+OP+MP=2 (k+l). Кроме того, существуют другие соотношения для определения Р:
Следует отметить, что из этих соотношений можно найти стороны, высоту и углы. Кроме того, последнее соотношение можно записать в другом виде: P=2[k+H/sin (z)]=2[l+H/cos (v)]. Эти формулы строятся на основании теорем о площади параллелограмма, в которых стороны и другие параметры выражаются через S треугольников. Специалисты рекомендуют после изученного материала переходить к рассмотрению других соотношений.
Другие параметры
Определение сторон и диагоналей осуществляется посредством следствий из теорем. Математики рекомендуют воспользоваться готовыми формулами, но не стоит забывать и о тренировках. Последние реализуются при помощи самостоятельного выражения одной величины через другую. Стороны можно найти, когда известны следующие параметры:
Для нахождения диагонали специалисты рекомендуют также воспользоваться следствием из последней теоремы. Кроме того, возможности расчетов расширяются при использовании и других соотношений:
Для практического применения знаний специалисты рекомендуют переходить к заданиям по геометрии.
Пример решения
Для закрепления теоретических знаний рекомендуется постоянно решать задачи. Условие одной из них имеет следующий вид:
Необходимо найти площадь (S), высоту (H). Вычисляются необходимые параметры по следующему алгоритму:
Задачу можно решать при помощи других соотношений. Однако это приведет к увеличению количества вычислений, в результате которых могут возникнуть ошибки.
Таким образом, для нахождения площади параллелограмма нужно знать признаки фигуры, свойства, теоремы, формулы и соотношения, а также чаще решать различные задачи.