Как узнать период синуса
Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
Как найти период функции
Как найти период функции вида y=Af(kx+b), где A, k и b — некоторые числа? Поможет формула периода функции
где T — период функции y=f(x). Эта формула позволяет быстро найти период тригонометрических функций такого вида. Для функций y=sin x и y=cos x наименьший положительный период T=2п, для y=tg x и y=ctg x T=п. Рассмотрим на конкретных примерах, как найти период функции, используя данную формулу.
Найти период функции:
Здесь А=5, k=3, b=-п/8. Для нахождения периода нам нужно только k — число, стоящее перед иксом. Поскольку период синуса T=2п, то период данной функции
А=2/7, k=-1/11, b=п/5. Поскольку период косинуса T=2п, то
А=0,3, k=5/9, b=п/7. Период тангенса равен п, поэтому период данной функции
А=9, k=0,4, b=-7. Период котангенса равен п, поэтому период данной функции есть
Тригонометрические функции. Понятие периодичности.
Когда точно известно, какой именно угол принимается за единицу измерения, можно говорить об одинаковости масштабов на обеих осях. Тогда число х, измеряющее угол, и число у, выражающее его синус, можно изобразить отрезками, пропорциональными этим числам.
При построении графиков тригонометрических функций обычно принято за единицу измерения угла использовать радиан. Тогда функция у = sin x (под х подразумевается наименование «радианов») изображается графиком, приведенным ниже (масштабы на осях одинаковы). Если за единицу измерения угла принять полрадиана, то, сохраняя те же масштабы, график растянется вдоль оси абсцисс в отношении 2:1.
Линия, являющаяся графиком функции у = sin x, называется синусоидой.
При смещении графика синуса или косинуса на отрезок 2π (вправо или влево) он (график) совмещается сам с собой.
Таким образом, можно сказать, что если график некоторой функции у = f(x) при смещении его на некоторый отрезок вдоль оси абсцисс совмещается сам с собой, то функция называется периодической.
Периодом функции f(x) называется число р, которое измеряет отрезок на оси. Это словесное определение кратко выражается формулой:
Все тригонометрические функции имеют период 2π.
Функции тангенса и котангенса у = tgx и у = ctg х имеют сверх того период π (так как tg (х ± k π) = tg х).
График тангенса у = tg х показан на рисунке.
На рисунке ниже представлен график функции котангенс у = ctg х.
График тангенса неограниченно приближается к прямым, которые параллельны оси ординат и отстоят от нее на расстоянии равном ± π/2, ± 3(π/2), ± 5(π/2) и т.п., но не достигают этих прямых.
Аналогичную роль для графика функции котангенса играют прямые, отстоящие от оси OY на ± π, ±2π, ±3π, и т. д., собственно и сама ось OY.
Периодичность функций y=sinx, y=cosx
Урок 14. Алгебра 10 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Периодичность функций y=sinx, y=cosx»
· познакомиться с понятием периодичности;
· познакомиться с понятием основного периода;
· узнать основные периоды функций y=sin x, y=cos x.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте повторим основные свойства функций y = sin x, y = cos x.
Давайте с вами посмотрим на рисунки.
Что мы там видим? Правильно, одно и тоже дерево, но в разные поры года. А на этом рисунке мы видим рушник с геометрическим орнаментом, а здесь – бьющееся сердце. А еще у нас есть приливы и отливы. Что объединяет все эти рисунки? А объединяет их то, что в каждом из приведенных примером есть повторяющиеся элементы. Так, когда мы смотрим на дерево в разные поры года, то мы знаем, что каждая пора повторяется через девять месяцев. Орнамент состоит из повторяющихся элементов. А биение сердца можно описать как повторяющиеся, через определённое время ритмы, сокращения сердечной мышцы. Приливы и отливы также возникают через одинаковое время.
Все эти примеры являются наглядными примерами периодичности.
Периодичность – это повторяемость (цикличность) явления через определённые промежутки времени.
А теперь давайте вспомним, как мы вводили понятие синуса и косинуса. Эти понятия мы вводили, используя числовую окружность. Мы говорили, что на числовой окружности можно отложить бесконечно точек. Нами было доказано следующее утверждение.
Какую же функцию мы будем называть периодической?
Функцию y = f(x), где x принадлежит множеству X называют периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из множества X выполняется двойное равенство:
Число T, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).
Мы знаем, что для любого x справедливы равенства:
Значит, мы можем сказать, что функции y=sin x, y=cos x – периодические функции, с периодом 2π.
Давайте теперь посмотрим на графики наших функций.
Легко заметить, что для того, чтобы построить график функции, достаточно построить одну волну синусоиды и затем сдвинуть эту волну по оси Ox на 2π влево и на 2π вправо, на 4π и на 4π вправо и так далее. Получается, что, построив одну волну, мы легко построим и весь график. Аналогично и для графика функции y = cos x.
Обобщая, можно сделать следующие выводы.
Рассмотрим ещё один пример.
Заметим, что свойством периодичности обладают все тригонометрические функции.
Функция y = sin x, её свойства и график
п.1. Развертка ординаты движения точки по числовой окружности в функцию от угла
При движении точки по числовой окружности её ордината является синусом соответствующего угла (см. §2 данного справочника).
Рассмотрим, как изменяется синус, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=sinx на этом отрезке.
п.2. Свойства функции y=sinx
2. Функция ограничена сверху и снизу
Область значений \(y\in[-1;1]\)
3. Функция нечётная
4. Функция периодическая с периодом 2π
5. Максимальные значения \(y_
Минимальные значения \(y_
Нули функции \(y_<0>=sinx_0=0\) достигаются в точках \(x_0=\pi k\)
6. Функция возрастает на отрезках
Функция убывает на отрезках
7. Функция непрерывна.
п.3. Примеры
Пример 2. Решите уравнение графически:
a) \(sinx=3x\)
Один корень: x = 0
б) \(sinx=2x-2\pi\)
Один корень: x = π
в) \(sinx-\sqrt
\(sinx=\sqrt
Один корень: x = π
Алгебра
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Синус и косинус угла на единичной окружности
Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:
С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что
ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4
Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:
АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3
Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:
tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)
Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты хА и уА:
Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:
Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле
Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда
АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα
С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате уА. Получается, что уА = АВ = sinα, или
Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:
Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате хА, мы получим следующее:
хА = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα
то есть координата хА равна cos α:
Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.
Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:
Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть