Как узнать коэффициент подобия

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Помогите пожалуйста решить вот такую задачу окруж. пересекает АВ и АС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР если АК=14, а сторона АС в 2 раза больше ВС. Буду очень благодарна. Спасибо

Треугольники AKP,ACB подобны по двум углам.
AK:AC=KP:BС, откуда KP=7.

очень интересная и полезная информация спасибо

Найти отношение периметров подобных треугольников ∆ и ∆,
если = 18, = 6.
Помогите)

Не понятно, что такое 18 и 6…

Найти отношение периметров подобных треугольников ∆ и ∆,
если = 18см, = 6см.

Найти отношение периметров подобных треугольников ∆АВС и ∆КМН,
если ВС = 18, КМ = 6.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Коэффициент подобия в вашем случае, судя по-всему, равен 3.
По хорошему, если BC и KM сходственные стороны, то следовало бы написать вместо ∆KMH – ∆HKM…

В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) BD — биссектриса. Площади треугольников ABD и BCD относятся как 17:8. Найдите синус угла ABC.

Добрый вечер, помогите пожалуйста решить такую задачу:
Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые LM и MN – касательные к окружности, описанной около треугольника KLN/
a) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны

Пусть . Тогда и
Треугольник – равнобедренный.
Но и – равнобедренный, так как вписанный угол опирается на дугу в (подумайте, почему…).
Итак, треугольники указанные подобны, так как оба равнобедренные с равными углами при основании (то есть по двум углам).

Почему треугольник LMN равнобедренный?

Даша, вы про какую задачу

Про эту, конечно же. Которая с трапецией.

Не всегда вижу, к чему идет коммент…
Потому что по условию MN,ML – касательные к окр. По свойству отрезков касательных.

Помогите решить задачу:Стороны прямоугольника пропорциональны числам 3,4,5.Какими будут стороны подобного ему треугольника с периметром 58,5.

Прямоугольник не может быть подобен треугольнику. Видимо, имелось ввиду – Стороны прямоугольного треугольника пропорциональны числам 3,4,5.
Пусть – коэффициент подобия. Тогда стороны второго треугольника –
А поскольку его периметр – то
…

2. Треугольники AOD и COB, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –если я найду k мне еще надо найти сторону то как?

Вопрос неточен… Нет конкретики.

Добрый вечер. Помогите пожалуйста решить эту задачу: в треугольнике АВС угол С – прямой, АС=4. Чему равно расстояние от вершины В до биссектрисы угла А, если расстояние от вершины С до этой биссектрисы равно 2?

Пусть – перпендикуляры к биссектрисе угла .
В треугольнике гипотенуза вдвое больше катета , поэтому
Тогда Стало быть,
В треугольнике также есть угол в 30 градусов. Тогда

Помогите срочно. доказать,что отношение соответствующих биссектрис в подобных треугольниках равно коэффициэнту подобия

В параллелограмме ABCD точка К лежит на стороне AD. Отрезок СК пересекает диагональ BD в точке N. Найдите длину диагонали BD, если известно, что ВС=10см, АК=4см, BN=7см.

Помог ите решить, там через подобие

Треугольники BCN,DKN подобны по двум углам. BN:DN=BC:DK, то есть 7:DN=10:6
Дальше сами…

Помогите пожалуйста решить задачу. Треугольники АВС И EFG подобны, стороны АВ и EF – сходственные, AB:EF = 1:4. Стороны треугольника АВС равны 5,7,9. Найдите наименьшую сторону треугольника EFG.

Стороны треугольника EFG – 20, 28, 36 (каждая сторона в 4 раза больше соответствующей стороны треугольника ABC).
Думаю, наименьшее из трех чисел выбрать не сложно.

Источник

Общие сведения

Специалисты рекомендуют начинать любое обучение с азов. Следует применять принцип, который называется «от простого к сложному». В плоскостной геометрии (Евклида) существует два понятия: аксиомы и теоремы. К первым относятся утверждения, не требующие доказательства. Они являются базовыми элементами науки и позволяют доказывать другие гипотезы или утверждения.

Кроме того, на основании доказанных гипотез можно производить операции по доказательству более сложных теорем. Иными словами, геометрия состоит из базисных элементов — аксиом, при использовании которых можно преобразовывать утверждения в неоспоримые факты, а также при комбинациях появляется возможность доказательства более сложных (составных) элементов. Примером последнего случая является гипотеза Пифагора для прямоугольного треугольника. Чтобы ее доказать, нужно знать аксиомы геометрии, а также теорему об отношении площадей подобных треугольников (S/S’). Далее необходимо разобрать основные объекты геометрии.

Объекты геометрии

Простейшим объектом геометрии является точка. С помощью нее строятся простые фигуры, благодаря которым образуются более сложные формы. К элементарным компонентам можно отнести следующие: прямая, отрезок, луч. Первая состоит из множества точек, соединенных между собой в одной плоскости и находящихся в поперечном сечении, диаметр которого эквивалентен диаметру точек. При соединении простейших объектов получается бесконечная линия без перегибов.

Лучом называется часть прямой, имеющая начальную точку, но у которой нет конечной границы. Еще существует один элемент, у которого присутствуют обе границы (левая и правая). Он называется отрезком. Следует отметить, что луч и отрезок могут лежать на одной прямой, а также последний может являться частью первого.

При комбинации двух лучей, исходящих из одной точки получается плоский угол. Он измеряется в градусах или радианах. Следует отметить, что в геометрии существует понятие «нулевого» угла. Это возможно, когда лучи совпадают. При комбинации трех углов можно получить треугольник. Существует также другое определение этой фигуры: треугольником (Δ) называется фигура, состоящая из трех точек, одна из которых не лежит на одной прямой с остальными.

Треугольники бывают разносторонними, равнобедренными и равносторонними. Кроме того, в зависимости от градусной меры, они делятся на такие классы: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Необходимо также отметить, что сумма углов этой геометрической фигуры эквивалентна 180 градусам.

Нужно обратить внимание на такие термины: высоту, медиану и биссектрису. Первой называется перпендикуляр, проведенный из вершины к противоположной стороне. Медиана — отрезок, проведенный из противоположной вершины к середине стороны. Биссектрисой угла является луч или отрезок, который делит его на два равнозначных по величине. В равнобедренном и равностороннем Δ эти элементы совпадают.

Основные аксиомы Евклида

Аксиомой называется утверждение, не требующее доказательств и воспринимаемое в виде факта. Существуют следующие утверждения, которые можно применять при решении задач:

Следует обратить внимание на последнюю аксиому. Она позволяет строить любые фигуры на плоскости и в пространстве. Математики очень часто применяют такой прием при решении задач и доказательстве некоторых тождеств при помощи создания дополнительных элементов на чертеже.

Например, в некотором упражнении по нахождению отдельных параметров треугольника в условии содержится очень мало данных. Последний можно вписать в окружность или дополнить до квадрата или прямоугольника. Далее следует разобраться в признаках подобия треугольников.

Подобие двух треугольников

Треугольники являются подобными, когда углы одного эквивалентны всем градусным мерам углов другого, а стороны одного равны сторонам другого, с учетом коэффициента гомотетии. Последний называют еще коэффициентом подобия. Он равен отношению сторон подобных треугольников. Например, дано два подобных Δ ABC и A’B’C’ (больший). Коэффициент подобия треугольников обозначается литерой «k». Он больше 0 и вычисляется по такой формуле: k = A’B’ / AB = B’C’ / BC = A’C’ / AC. Подобие фигур обозначается таким образом: ΔABC ∼ ΔA’B’C’.

Не во всех случаях бывают известны углы и стороны фигур. Для этого были сформулированы три признака (условия или критерия), по которым можно определить подобие.

Первое условие

Формулировка первого признака подобия треугольников гласит, что равенство двух углов между собой соответствует подобию двух фигур. Подробнее исходные данные записываются в таком виде: ΔABC ∼ ΔA’B’C’, когда ∠ВАС = ∠B’A’C’ и ∠ABC = ∠A’B’C’. Доказать утверждение довольно просто. Для этого следует рассчитать третий угол у треугольников исходя из того, что сумма трех углов составляет 180 градусов.

Далее необходимо наложить один Δ на другой, чтобы ∠ВАС совпал с ∠B’A’C’. Используя теорему Фалеса для сторон угла, которые делят на отрезки AC / A’C’ = BC / B’C’ вершины малого Δ на пропорциональные части. Аналогично доказывается пропорциональность для двух других сторон. Однако для этого следует наложить уже треугольники таким образом, чтобы совпали другие углы. Такие же действия проделать и для третьего угла. На основании определения о подобии треугольников утверждение доказано. Из доказательства математики получили некоторые следствия, которые будут очень полезны при решении задач:

Равенство AC / A’C’ = BC / B’C’ эквивалентно коэффициенту подобия. Этот факт можно использовать при решении задач и доказательства других геометрических утверждений или тождеств.

Второй критерий

Математики выделяют еще один признак подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Для доказательства следует рассмотреть ΔABC и ΔA’B’C’ со сторонами, связанными таким тождеством: AB / A’B’ = AC / A’C’. Кроме того, углы между ними равны: ∠ВАС = ∠B’A’C’. Далее нужно достроить ΔABC до четырехугольника ABCС». Вершина С» должна располагаться в зеркальном отображении относительно стороны AB. Полученный ΔABC» ∼ ΔA’B’C’ по I признаку, поскольку у них два угла равны. Следовательно, тождество можно править таким образом: AB / A’B’ = AC» / A’C’.

По условию должно выполняться условие AB / A’B’ = AC / A’C’. Тогда AC = AC». На основании этого факта можно сделать вывод о равенстве ΔABC и ΔABC». Следовательно, теорема доказана, поскольку эти треугольники (ΔABC» и ΔA’B’C’) подобны по I признаку.

Третий признак

Третий признак подобия двух треугольников формулируется таким образом: два треугольника являются подобными, когда стороны одного пропорциональны сторонам другой фигуры. Для доказательства необходимо рассмотреть ΔABC и ΔA’B’C’ со сторонами: AB / A’B’ = AC / A’C’ = BC / B’C’.

Математики рекомендуют отметить некоторую точку C» относительно стороны AB. Она не должна лежать на последней. Кроме того, расстояния от C и C» до стороны AB должны быть эквивалентны. Иными словами, следует построить ΔABС», который является «зеркальным» отображением ΔABC относительно его стороны AB. Если AB / A’B’ = AC» / A’C’, то ΔABC» ∼ ΔA’B’C’ по I признаку.

Следующий шаг — доказательство равенства ΔABC и ΔABC». Они равны по двум сторонам AC = AC» и BC = BC». Следовательно, ΔABC ∼ ΔA’B’C’ подобные.

Теорема об отношении площадей

Для решения задач специалисты рекомендуют применять еще теорему об отношении площадей. Обязательным условием ее использования являются ΔABC ∼ ΔA’B’C’ с коэффициентом подобия «k». Ее формулировка имеет такой вид: величина отношения площадей двух подобных треугольников прямо пропорциональна квадрату гомотетии.

Некоторые свойства и следствия

Математики также считают, что используя некоторые свойства и следствия из теорем, можно расширить возможности по решению задач. Свойства подобных треугольников можно применять и к другим плоским или объемным фигурам. Следствия классифицируются на несколько типов:

Пример решения

Существуют множество типов задач, однако наиболее часто попадаются такие, в которых необходимо доказать, что фигуры являются подобными. Стороны ΔABC равны таким значениям: 10, 12 и 25. Кроме того, существует еще ΔA’B’C’ со сторонами 5, 6 и 10. Фигуры не имеют точек пересечения. Необходимо доказать их подобие.

Для решения рисунок чертить необязательно, поскольку для доказательства необходимо применение не геометрического метода, а алгебраического. Следует ввести обозначения для ΔABC: AB = 10, BC = 12 и AC = 25. Аналогичную процедуру необходимо сделать для ΔA’B’C’: сторона A’B’ равна числу 5, B’C’ = 6 и A’C’ = 10.

Далее нужно вычислить коэффициент k для каждой из сторон: k1 = AB / A’B’ = 10 / 5 = 2, k2 = BC / B’C’ = 12 / 6 = 2 и k3 = AC / A’C’ = 25 / 10 = 2,5. Из соотношений следует, что фигуры не являются подобными, поскольку не выполняется такое равенство: k = k1 = k2 = k3. Для наглядности можно построить также таблицу со значениями коэффициентов.

Таким образом, для решения задач по нахождению параметров подобных треугольников необходимо знать признаки подобия, а также некоторые свойства, которые рекомендуют использовать специалисты-математики.

Источник

Подобие треугольников (ЕГЭ — 2022)

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое подобные треугольники? Вроде как «похожие», но как это понимать? И для чего это понимать?

Ну например для решения задание ЕГЭ №16, где подобие треугольников используется для доказательств. Кстати, полностью 16-ю задачу решают менее 1% выпускников!

Читай эту статью, смотри вебинар по 16 задаче и все поймешь!

Подобие треугольников — коротко о главном

Подобные треугольники – это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия \( \displaystyle k\).

\( \angle A = \angle ,\angle B = \angle ,\angle C = \angle \)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \( \displaystyle \frac<<

_>><<

_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=k\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \displaystyle \frac<<_>><<_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=<^<2>>\).

Признаки подобия треугольников:

По двум углам:

По одному углу и отношению заключающих его сторон:

По отношению трех сторон:

Подобные треугольники — подробнее

Мы разобрали подробно все, что касается треугольников в общем. Кроме того мы рассмотрели отдельные темы:

Но что такое подобные треугольники?

Вот, например, такой и такой:

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А вот такой и такой?

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в \( \displaystyle 5\), или, в \( \displaystyle 7\), или в \( \displaystyle 8,21\) (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник \( \displaystyle ABC\) подобен треугольнику \( \displaystyle <_<1>><_<1>><_<1>>\)» с помощью такого значка:

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы \( \displaystyle k\).

\(\angle A = \angle ,\angle B = \angle ,\angle C = \angle \)

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон.

Признак подобия треугольников «по двум углам»

Помнишь еще, что «\( \displaystyle \sim<\ >\)» обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак.

Но есть и еще два. Смотри.

Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Самый главный «секрет» подобия треугольников

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда…

Все элементы одного треугольника ровно в \( \displaystyle 2\) (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

Не только стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников для расчетных задач (не только для доказательств).

Источник