Как упростить рациональное выражение

Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры

Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.

Определение и примеры рациональных выражений

Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.

То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.

Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.

Основные виды преобразований рациональных выражений

Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.

Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что

Представление в виде рациональной дроби

Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.

Следует начать с умножения, тогда получим, что

Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что

Теперь выполняем вычитание:

После деления придем к рациональной дроби вида

Можно решить это иначе.

Источник

Грамотное преобразование рациональных выражений

Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.

В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.

Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:

Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».

Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.

Сокращение простых рациональных дробей

Задача № 1

Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:

Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:

Задача № 2

Переходим ко второй задаче:

Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?

Мы можем переписать трехчлен следующим образом:

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

\[\left( x-y \right)\left( x+6y \right)\]

Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:

\[6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\]

Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:

Источник

Как упростить выражение (ЕГЭ 2022)

Хочешь узнать, что такое ДОСАДА?

Это когда на ЕГЭ ты увидишь, что знаешь, как решить неравенство, но не сможешь его упростить.

И «проедешь мимо кассы».

Чтобы этого не случилось, нужно освоить преобразование алгебраических выражений.

Приведение подобных, разложение на множители, сокращение, сложение и вычитание, деление и умножение дробей – вот это вот всё…

Кстати, от 30 до 40% ошибок на ЕГЭ – это ошибки именно в подобных простых вещах.

Отнесись к ним серьезно!

Как упростить алгебраическое выражение — коротко о главном

Базовые операции упрощения

Приведение подобных: чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.

Сокращение дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.

ВАЖНО: сокращать можно только множители!

Сложение и вычитание дробей:

Умножение и деление дробей:

Как упростить выражение — подробно

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.

Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа −1.

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Освежи эти темы, если подзабыл.

Вспомнил? А сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них – это…

Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.

Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.

Например, в сумме \( \displaystyle 2ab+3ab+b\) подобные слагаемые – это \( \displaystyle 2ab\) и \( \displaystyle 3ab\).

Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.

Например, буква \( \displaystyle a\) – это стул. Тогда чему равно выражение \( \displaystyle 2a+3a\)?

Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, \( \displaystyle 5\) стульев: \( \displaystyle 2a+3a=5a\).

А теперь попробуй такое выражение: \( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a\).

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.

Например, \( \displaystyle a\) – это (как обычно) стул, а \( \displaystyle b\) – это стол.

\( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2\)стула\( \displaystyle+3\)стола\( \displaystyle-\)стул\( \displaystyle+8\)столов\( \displaystyle +7\)стульев\( \displaystyle=8\)стульев\( \displaystyle +11\)столов\( \displaystyle=8a+11b\)

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.

Итак, правило приведения подобных:

Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.

Потренируйтесь приводить подобные на следующих примерах:

Примеры.

Ответы:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.

После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.

Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.

Для этого реши несколько примеров (разложить на множители).

Примеры

Ответы:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Сокращение дроби

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим (или умножаем) на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

Примеры

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Сокращать можно только множители.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить \( \displaystyle \frac<<^<2>>+2x+3><<^<2>>+2x-3>\).

Некоторые делают так: \( \displaystyle \frac<<^<2>>+2x+3><<^<2>>+2x-3>=-1\), что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить \( \displaystyle \frac<<^<2>>+xy+1><<^<2>>+xy+1>\).

«Самые умные» сделают так:

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: \( \left( x+y \right)\) – это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: \( \displaystyle \left( x+y \right)\) – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример: \( \frac<5ac>\).

\( \displaystyle \frac<5\cdot a\cdot c>\) – это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на \( a\), а потом и на \( c\):

Можно и сразу поделить на \( ac\):

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров.

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать \( <^<2>>\) и \( x\)? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю

Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

3) \( \displaystyle 3\frac<4><7>-1\frac<2><3>\)

Ответы:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

Теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Примеры:

Ответы:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

Пример: \( \displaystyle \frac<1><12>+\frac<1><30>\).

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

\( \displaystyle 12=2\cdot 2\cdot 3\);

\( \displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5\).

\( \displaystyle 12=\underline<2>\cdot 2\cdot \underline<\underline<3>>\);

\( \displaystyle 30=\underline<2>\cdot \underline<\underline<3>>\cdot 5\).

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

\( \displaystyle \underline<\text<2>>\cdot \underline<\underline<\text<3>>>\cdot \text<2>\cdot \text<5>=60\) – это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

Итак, по порядку (и полезная хитрость!):

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

А вот и полезная хитрость:

Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

\( \displaystyle x\) в степени \( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle b\) в степени \( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle y\) в степени \( \displaystyle 4\).

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из \( \displaystyle x\) единицу, то ты очень и очень неправ!

Давай вспомним основное свойство дроби:

Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить \( \displaystyle x\), чтобы получить \( \displaystyle x+1\)?

Вот на \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) и домножай. А \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) домножай на \( \displaystyle x\):

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, \( \displaystyle x\) – это элементарный множитель. \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) – тоже. А вот \( \displaystyle <^<2>>\) – нет: он раскладывается на множители \( \displaystyle <^<2>>=x\cdot x\).

Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц.

Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов.

Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов.

А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.

Что скажешь насчет выражения \( \displaystyle <^<2>>-1\)? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители: \( \displaystyle <^<2>>-1=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\)

(О разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Решим несколько примеров

Пример №1:

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель \( \displaystyle \left( x-1 \right)\). Он пойдет в общий знаменатель в степени \( \displaystyle 2\) (помнишь, почему?).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №2

Прежже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:

\( \displaystyle <^<2>>-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\);

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №3

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки \( \displaystyle x\); во втором – разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то \( \displaystyle \left( y-2x \right)\) и \( \displaystyle \left( 2x-y \right)\) так похожи… И правда:

\( \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)\).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример № 4

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Пример №5

Пример №6

Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения – разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: \( \displaystyle <<\left( x+2 \right)>^<2>>=<^<2>>+4x+4\).

А \( \displaystyle <^<2>>+2x+4=<^<2>>+2\cdot x+<<2>^<2>>\) – это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем – это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение.

Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложении разности кубов:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписываем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

9) \( \displaystyle 2-\frac<1><<^<2>>-1>-\frac\).

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл).

И нет ничего проще, чем разделить число на \( \displaystyle 1\). При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Умножение и деление дробей

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Первым делом вычисляется степень.

Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой:

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое!

Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее.

Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение \( \displaystyle \left( \frac-\frac \right)\cdot \frac<5xy>\).

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс:

Напоследок дам тебе два полезных совета:

Разберем 4 примера

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

Вебинар: Выделение полного квадрата

Выделение полного квадрата — самый главный навык, относящийся к формулам сокращенного умножения.

Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.

В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык.

Берите тетрадку, ручку и смотрите видео. Алексей разберет 8 примеров! Слушайте условие, ставьте на паузу, решайте и потом сравнивайте с тем, как решил Алексей.

Кстати, само видео — это отрывок из вебинара, целиком посвященного формулам сокращенного умножения (решено 119 задач). Его можно посмотреть чуть ниже.

Вебинар: Формулы сокращенного умножения. Разбор 119 задач

Зачем нужны формулы сокращенного умножения и где они применяются.

Эти формулы нужны для задачи №9 – на преобразование выражений. Также они нужны для решения уравнений и неравенств, очень часто пригождаются в задачах №13 и 15.

А в 18 задаче без них вообще нечего делать.

Цель этого видео в том, чтобы вы тему «Формулы сокращенного умножения» закрыли полностью, чтобы научились решать любую задачу на ЕГЭ. Для этого вы вместе с репетитором Алексеем Шевчуком решите 119 задач.

Какие формулы сокращенного умножения вы научитесь применять, посмотрев это видео? Да все… 🙂

Источник