Как упрощать сумму векторов
Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.
Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.
Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.
Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.
Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.
Сложение двух векторов
Геометрически сложение векторов выглядит так:
— для неколлинеарных векторов:
— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:
Сложение нескольких векторов
Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.
Геометрически оно выглядит следующим образом:
Умножение вектора на число
Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:
Свойства операций над векторами
Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.
Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.
Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.
Операции над векторами с примерами решения и образцами выполнения
Под операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
1). Сложение векторов
Пусть 
и 
— два произвольных вектора.
Сумму векторов можно найти по следующим правилам:
Выберем произвольную точку 
и построим вектор 
. От точки 
отложим вектор 
. Вектор 
, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : 
(рис. 5.5).
Выберем произвольную точку и отложим от нее векторы и 
. Достроим фигуру до параллелограмма. Тогда вектор 
, исходящий из вершины в противоположную вершину 
, является суммой векторов и : 
(рис. 5.6.).
Для нахождения суммы трех и более векторов используют правило многоугольника. Выберем произвольную точку и построим вектор . От конца первого вектора откладываем второй вектор, от конца второго — третий и т.д. Суммой нескольких векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего. Например, на рисунке 5.7. построена сумма трех векторов:
2). Вычитание векторов.
Под разностью векторов и понимается вектор 
, равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору : 
(рис. 5.8.).
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью (рис. 5.9.).
3). Умножение вектора на число.
Произведением вектора на число 
называется вектор 
(или 
), который имеет длину 
, коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если 
и противоположное направление, если 
.
Например, если дан вектор , то векторы 
и 
будут иметь вид (рис. 5.10):
Линейные операции над векторами обладает следующими свойствами:
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Операции над векторами
Величины, значения которых могут быть выражены действительными числами, называются скалярами.
Вектором называется величина, определяемая числовым значением и направлением в пространстве (рис. 1.1).
Обозначается вектор различными способами: 
и т.д.
Длина вектора называется его модулем и обозначается 
Единичным вектором называется вектор, длина которого
равна единице.
Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен
нулю, а направление не определено.
Два вектора называются равными, если равны их модули и
совпадают направления.
Свободные векторы получаются из данного вектора 
путем
параллельного переноса.
Скользящие векторы получаются из данного вектора 
путем
переноса вдоль прямой, на которой лежит вектор .
Связанные векторы — это векторы, которые нельзя переносить,
например, по физическим причинам.
Умножение вектора на скаляр
Сложение векторов
Сумма 
двух векторов и 
является третьим вектором,
получающимся при параллельном переносе вектора так, что его
начало совпадает с концом вектора , начало суммарного вектора
совпадает с началом вектора , а конец суммарного вектора
совпадает с концом вектора (правило треугольника). На рис. 1.3
приведен пример сложения двух векторов.
Сумма нескольких векторов 
является некоторым
вектором 
который замыкает ломаную, состоящую из 
(рис. 1.4).
Разность векторов 
представленная на рис. 1.5 рассматривается как сумма векторов и 
1. 
— переместительный закон.
2. 
— сочетательный закон.
3. 
— сочетательный закон.
4. 
— первый распределительный закон.
5. 
— второй распределительный закон.
6.
Линейная комбинация векторов
Линейной комбинацией векторов 
с действительными
коэффициентами 
называют вектор 
Коллинеарными называют два вектора и , линейная
комбинация которых с некоторыми действительными числами 
и 
принимает вид 
причем и не равны одновременно нулю. Геометрический смысл: векторы 
и параллельны одной прямой.
Компланарными называют три вектора 
и 
линейная
комбинация которых с некоторыми действительными числами 
и 
принимает вид 
причем и не равны
одновременно нулю. Геометрический смысл: векторы и 
параллельны одной плоскости.
Линейно независимыми векторами на плоскости называются два
вектора, если они не коллинеарные, а в трехмерном пространстве —
три вектора, если они не компланарные.
Два или три ортогональных (перпендикулярных) вектора являются линейно независимыми и образуют двойку или тройку
линейно независимых векторов.
Если три единичных взаимно перпендикулярных вектора
и 
образуют правую тройку векторов, то эти векторы
являются базой прямоугольной декартовой системы координат
(рис. 1.6).
Такие векторы называются ортами координат.
Система координат называется правой потому, что векторы
и имеют такую же ориентацию, как соответственно
большой, указательный и средний пальцы правой руки. Для
определения правого направления системы координат может быть
использовано правило правого винта: если винт вкручивается в ось Oz со стороны нуля, то отвертка вращается от х к у.
Вектор в прямоугольной декартовой системе координат
записывается в виде
где 
и 
—- прямоугольные декартовы координаты вектора
или проекции этого вектора на соответствующие оси.
Координаты точки
Дана прямоугольная декартова система координат (рис. 1.7). В этой системе координат каждой точке М однозначно соответствует вектор 
который называется радиусом-вектором точки
М. Декартовы координаты вектора 
отнесенные к и ,
называются декартовыми координатами точки М.
Умножение векторов
Скалярное произведение векторов и , обозначаемое 
есть скаляр 
где 
— угол между векторами и .
Пример:
Определить скалярное произведение векторов и
при 
и 
Решение:
Пример:
Определить скалярное произведение между каждой
из орт и прямоугольной декартовой системы координат.
Решение:
Таким образом, скалярное произведение между каждой из орт и прямоугольной декартовой системы
координат равно нулю. ►
Пример:
Определить скалярное произведение любой из орт
и между собой прямоугольной декартовой системы координат.
Решение:
Для примера рассмотрим орту 
Для остальных орт
результат аналогичен. 
►
Векторное произведение векторов 
и 
обозначаемое 
есть вектор 
имеющий длину 
(площадь параллелограмма, построенного на и 
как на сторонах) и направленный перпендикулярно к и , причем так, что векторы 
образуют правую тройку
векторов (рис. 1.8).
Пример:
Определить векторное произведение между каждой
из орт 
и 
прямоугольной декартовой системы координат.
Решение:
Для примера рассмотрим векторное произведение
между векторами 
и 
Для остальных сочетаний орт результат
аналогичен, 
►
Произведения векторов обладают следующими свойствами:
1. 
—коммутативность;
— антикоммутативность.
2. 
—ассоциативность.
3. 
— дистрибутивность.
4. 
если 
и 
ортогональные; 
если и
коллинеарные.
5. 
6.В общем случае 
Смешанное произведение 
— это скаляр, равный объему
параллелепипеда, построенного на векторах 
и 
как на ребрах.
Пример:
Упростить выражения 
Решение:
Выражения произведений векторов в прямоугольной декартовой системе координат
Пусть даны векторы:
Используя правила умножения векторов, можно показать
справедливость следующих формул:
■ для скалярного произведения
■ для векторного произведения
■ для смешанного произведения
Для векторного и смешанного произведений результаты
представлены в виде определителей.
Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D,
образованное из 
чисел 
(элементов), расположенных в квадратной таблице из n строк и n столбцов следующим образом:
При вычислении определителя 
n-го порядка его можно
разложить на сумму произведений всех элементов какой-либо
строки (или столбца), умноженных на соответствующие им
алгебраические дополнения, по формуле
где 
— элемент i-й строки (столбца) j-го столбца (строки);
— минор порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки (столбца) и j-го столбца (строки);
— алгебраическое дополнение.
Таким образом, определитель 
n-го порядка сводится к определителю (n-1)-го порядка, затем к определителю (n-2)-го порядка и т.д.
Определитель второго порядка вычисляется по формуле
Пример:
Найти скалярное и векторное произведения векторов:
Решение:
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов находим по формуле
Разложим данный определитель по первой строке и найдем
векторное произведение:
Пример:
Найти смешанное произведение векторов:
Решение:
Смешанное произведение находим по формуле
Разложим данный определитель по первой строке и найдем
векторное произведение:
В n-мерной системе координат вектор может быть представлен в виде
где 
— проекции вектора на первую координатную
ось, вторую и т.д.;
— орты первой координатной оси, второй и т.д.
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института