Как упрощать рациональные дроби
Грамотное преобразование рациональных выражений
Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.
В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.
Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:
Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню.
Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!».
Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.
Сокращение простых рациональных дробей
Задача № 1
Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:
Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:
Задача № 2
Переходим ко второй задаче:
Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?
Мы можем переписать трехчлен следующим образом:
Запишем разложение нашей квадратной конструкции:
\[\left( x-y \right)\left( x+6y \right)\]
Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:
Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.
Нюансы решения
Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:
Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.
Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.
Решение более сложных примеров
Задача № 1
Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:
\[6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\]
Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:
Упрощения алгебраических выражений
Что значит упростить алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).
Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.
Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.
Правила упрощения алгебраических выражений
Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:
В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:
Приведение подобных
Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.
Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.
В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.
Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.
К примеру, приведем слагаемые:
Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.
Рассмотрим выражение с квадратной степенью:
Здесь число 3 является коэффициентом.
Разложение на множители
Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.
Сокращение дроби
В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.
Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.
Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.
Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».
Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:
a b + c d = a · d + c · b b · d ;
Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:
Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:
В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:
В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:
Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:
Здесь общий множитель равен 12. Тогда:
a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12
Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:
a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12
Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:
Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:
Разложим знаменатели на множители:
a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b
Вычислим единые множители:
a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯
Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:
a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2
1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2
Умножение и деление дробей
Умножение и деление дробей выполняют таким образом:
a b · c d = a · c b · d ;
a b : c d = a · d b · c
Арифметические действия выполняют в следующем порядке:
Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.
Используя правило умножения и деления дробей, получим:
Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.
Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.
Попробуем упростить выражение:
Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:
Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:
Пояснения на примерах
Требуется упростить выражения:
Приведем подобные и упростим выражения:
Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:
В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.
Требуется упростить выражения:
Путем разложения на множители упростим данные выражения:
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
В первую очередь выполним разложение на множители:
Дано выражение, которое требуется упростить:
В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:
Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:
Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:
Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:
Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:
x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2
Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:
Требуется упростить выражения:
Дано выражение, которое требуется упростить:
При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:
a во второй степени;
x в третьей степени;
b в третьей степени;
y в четвертой степени.
В результате получим:
Нужно упростить выражение:
Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.
Выглядит этот алгоритм таким образом:
Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры
Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.
Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.
Определение и примеры рациональных дробей
Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.
Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.
Рассмотрим примеры рациональных дробей.
Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.
Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.
Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида
Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида
Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить
Теперь подходим к произведению многочленов.
Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.
Приведение к новому знаменателю
При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.
Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.
Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.
При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:
Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.
Сокращение рациональных дробей
Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.
При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.
Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.
Преобразование рациональных выражений: виды преобразований, примеры
Статья рассказывает о преобразовании рациональных выражений. Рассмотрим виды рациональных выражений, их преобразования, группировки, вынесения за скобки общего множителя. Научимся представлять дробные рациональные выражения в виде рациональных дробей.
Определение и примеры рациональных выражений
Выражения, которые составлены из чисел, переменных, скобок, степеней с действиями сложения, вычитания, умножения, деления с наличием черты дроби, называют рациональными выражениями.
То есть это такие выражения, которые не имеют деления на выражения с переменными. Изучение рациональных выражений начинается с 8 класса, где их называют дробными рациональными выражениями. Особое внимание уделяют дробям в числителе, которые преобразовывают с помощью правил преобразования.
Это позволяет переходить к преобразованию рациональных дробей произвольного вида. Такое выражение может быть рассмотрено как выражение с наличием рациональных дробей и целых выражений со знаками действий.
Основные виды преобразований рациональных выражений
Рациональные выражения используются для того, чтобы выполнять тождественные преобразования, группировки, приведение подобных, выполнение других действий с числами. Цель таких выражений – это упрощение.
Преобразуем в числителе формулу разности квадратов, тогда получаем, что
Представление в виде рациональной дроби
Алгебраическая дробь чаще всего подвергается упрощению при решении. Каждое рациональное приводится к этому разными способами. Необходимо выполнить все необходимые действия с многочленами для того, чтобы рациональное выражение в итоге смогло дать рациональную дробь.
Следует начать с умножения, тогда получим, что
Производим представление полученного результата с исходное. Получим, что
Теперь выполняем вычитание:
После деления придем к рациональной дроби вида
Можно решить это иначе.
Содержание:
Рациональные выражения
Деление степеней и одночленов
В курсе алгебры 7 класса вы ознакомились с целыми выражениями, научились складывать и вычитать их, умножать и возводить в степень. Теперь рассмотрим, как можно делить выражения. Разделить выражение A на выражение В —означает найти такое выражение X1 при котором X•В = А.
, поскольку
.
Следовательно, если а — отличное от нуля число, 
— натуральные числа, причём 
, то
Ведь по правилу умножения степеней, 
. Из тождества 
следует правило:
при делении степеней с одинаковыми основание оставляют без изменения, а из показателя степени делимого вычитают показатель а степени делителя.
Пользуясь этим правилом, можно записать:
Если 
, то всегда 
. Чтобы тождество а 
было верно и для данного случая, в математике принято считать, что при каждом значении а, отличном от нуля, 
. Запись 0° не имеет смысла.
.
Рассмотрим, как можно делить одночлены.
, поскольку 
,;
Чтобы разделить одночлен на одночлен, необходимо:
Пример:
Надо разделить одночлен 
.
Решение:
Делим 8 на 4, 
— на а, 
— 
и 
— на 
. Имеем, соответственно, 2, 
, 1 и 
. Итак, 
Но, например, одночлен 
с на пс таким способом разделить нельзя. Их частное тождественно не равно некоторому одночлену. Говорят, что во множестве одночленов деление не всегда возможно. Если необходимо разделить и такие одночлены, частное которых не является одночленом, его записывают в виде дроби. Об этом вы узнаете в следующем параграфе.
Хотите знать ещё больше?
Рассмотрим, как можно делить не только одночлены, но и выражения, содержащие степени многочленов. Например,
, 
.
Иногда перед делением надо преобразовать многочлены. Разделим, например, 
: 
Известны и другие способы деления многочленов. В частности, многочлены можно делить «углом», подобно тому, как делят числа. Сравните, например, деление чисел 7488 и 234 и деление многочленов
:
, 
.
Частное от деления многочленов не всегда является многочленом, как и частное от деления двух целых чисел не всегда число целое. То есть во множестве многочленов деление не всегда возможно.
Выполним вместе!
Пример:
Решение:
а) 
; 6) 
.
Ответ. а) 
; б) 
.
Пример:
Проверьте, правильно ли выполнено деление: 
.
Решение:
.
Произведение частного и делителя тождественно равно делимому, следовательно, деление выполнено верно.
Пример:
Упростите выражение: 
.
Решение:
.
Ответ: 
Деление и дроби
Деление двух целых выражений не всегда можно выполнить без остатка. Например, частные 
нельзя записать в виде целых выражений. Деление одночленов нельзя выполнить без остатка, если делитель содержит переменную, которой нет в делимом, либо если показатель степени любой переменной в делителе больше показателя степени этой же переменной в делимом.
Если частное от деления одного выражения на другое не является целым выражением, то его записывают в виде дроби. Например:
,
.
Дробью называют частное от деления двух выражений, записанное с помощью черты дроби.
Подобно другим выражениям дроби бывают числовые и содержащие переменные.
Например, дроби 
, 
, 
— числовые выражения, 
—
выражения, содержащие переменные.
Запись 
— не число, поскольку на 0 делить нельзя. Следовательно, дробь 
при а = 5 не имеет смысла. При всех других значениях а она имеет смысл. Говорят, что для данной дроби допустимы все значения переменной а, кроме а = 5.
Для переменных, входящих в знаменатель дроби, допустимы только те значения, которые не превращают этот знаменатель в нуль.
Рассмотрим две дроби: 
Два выражения, соответствующие значения которых равны при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными, или тождественными.
Это определение отличается от аналогичного определения для целых выражений только словом «допустимых». Говоря только о целых выражениях, это слово ранее мы исключали, поскольку для них все значения переменных допустимы.
Два тождественных выражения, соединённых знаком равенства, образуют тождество. Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием данного выражения.
Хотите знать ещё больше?
Примеры обыкновенных дробей:
;
;
.
Общее понятие дроби довольно широкое. Кроме алгебраических бывают неалгебраические дроби, вам ещё неизвестные, например.
.
Пример:
Какие значения переменных допустимы для дроби: а) 
; б) 
?
Решение:
6) допустимы все значения, кроме х =а и х = -а.
Пример:
Докажите, что дробь 
, имеет смысл при всех значениях 
.
При каждом рациональном значении 
число 
неотрицательное, а 
+ 1 — положительное. Знаменатель данной дроби при каждом значении 
не равен 0.
Следовательно, при каждом значении 
данная дробь имеет смысл, что и требовалось доказать.
Пример:
Тождественны ли выражения:
а) 
б)
?
Решение:
а) Представим дробь 
в виде частного двух одночленов и выполним деление:
. При всех допустимых значениях переменных (
) первое выражение равно второму, поэтому их соответствующие значения равны. Следовательно, выражения 
и 
тождественны.
б) Выполним действия в каждом выражении, используя свойства степеней: 
.
При всех допустимых значениях переменных (
) выражения принимают противоположные значения. Следовательно, они нетождественны.
Ответ. а) Выражения тождественны; 6) выражения нетождественны.
Основное свойство дроби
Вспомните основное свойство обыкновенной дроби. Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получим равную ему дробь. Иными словами, при любых натуральных a, b и 
. Это равенство — тождество. Докажем его для любых рациональных a, b и если б 
и 
.
Пусть 
, где 
— некоторое рациональное число. По определению действия деления,
. Умножив обе части этого равенства на отличное от нуля число 
, получим равенство 
, отсюда 
. Следовательно, если 
и 
, то 
.
Доказанное тождество справедливо для любых дробей и является основным свойством дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же выражение, то получим дробь, которая тождественно равна данной.
.
Здесь под «выражением» понимают выражение с переменными, которое тождественно не равно нулю, либо число, отличное от нуля.
Основное свойство дроби даёт возможность заменить дробь вида
тождественно равной ему дробью в. Такое преобразование называют сокращением дроби. Например,
Первую из этих дробей сократили на 
, вторую — на 
.
Исходя из основного свойства дроби, приходим к следующим выводам.
Если члены дроби — многочлены, то перед сокращением дроби их часто необходимо разложить на множители. Иногда перед сокращением дроби изменяют знак числителя или знаменателя, изменив соответственно и знак перед дробью.
Примеры:
;
.
Примечание. Последнее преобразование и равенство 
справедливы только для 
. Чтобы не усложнять решение упражнений, такие условия можно не указывать. Каждую дробь будем рассматривать только при допустимых значениях её переменных.
Сократить дробь можно делением числителя и знаменателя на их общий делитель, выраженный не только целым выражением, но и дробным. Например, можно записать
Это равенство — тождество, верное при условии 
и 
. Кроме того, имеются дроби, члены которых содержат выражения с модулями, например:
.
Такие дроби не относятся к алгебраическим дробям. Подробнее с ними вы ознакомитесь в старших классах. А теперь рассмотрим наиболее простые случаи. Первую дробь можно сократить на с. Равенство 
верно при любых значениях а и 
.
Решение:
.
Ответ. а) 
; б) 
Пример:
Приведите к общему знаменателю дроби 
.
Решение:
Общий знаменатель — 
.
.
Ответ. 
.
Рациональные выражения
Выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень, называется рациональным.
Примеры рациональных выражений:
Целые выражения — это рациональные выражения, не содержащие действия деления на переменную.
Дробные выражения это рациональные выражения, содержащие действие деления на переменную.
Целые выражения и дроби — простейшие виды рациональных выражений. Другие виды этих выражений связаны между собой, как показано на схеме (рис. 9).
Словом «другие» здесь обозначены дробные рапиональные выражения, которые не являются дробями, например:
.
Уравнение называется рациональным, если его левая и правая части — рациональные выражения.
Рациональное уравнение называется дробным, если его правая или левая части — выражения дробные.
Примеры дробных уравнений:
.
Для того чтобы решать такие уравнения, необходимо знать, как выполняют действия с дробными выражениями. Поэтому в следующих параграфах будем рассматривать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение дробей в степень.
Простейшие дробные уравнения, то есть уравнения, в которых левая часть — это дробь, а правая — нуль, решают пользуясь условием равенства дроби нулю.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.
Например, чтобы решить уравнение 
, нужно приравнять к нулю числитель и решить полученное уравнение:
.
Кроме того, проверить, не равен ли нулю при таком значении х знаменатель:
Следовательно, 
— корень данного уравнения.
Обратите внимание! Условие равенства дроби нулю состоит из двух частей:
Каждая из этих частей условия является одинаково важной.
Хотите знать ещё больше!
В представленной выше схеме словом «дроби» называют только рациональные дроби (часть рациональных выражений). Но дроби бывают не только рациональные, например,
Это также дроби, но нерациональные. Поэтому, забегая немного вперёд, соотношение между разными видами выражений можно представить в виде диаграммы (рис. 10).
Если выражение содержит переменные под знаком модуля, его не считают рациональным При этом многие такие выражения можно заменить двумя, тремя либо большим количеством рациональных выражений. Например, рассмотрим дробь 
.
Если
, то
; если 
, то 
. Поэтому
Пример:
При каких значениях переменной х значение дроби 
равно нулю?
Решение:
Пример:
Имеет ли корни уравнение 
?
Решение:
Ответ. Уравнение корней не имеет.
Сложение и вычитание дробей
Для натуральных чисел а, b, с справедливо равенство
.
и 
. Сложив левые и правые части этих равенств, получим 
.
По определению действия деления, из полученного равенства следует, что
, то есть 
.
Аналогично можно доказать и тождество
Из этих двух тождеств следуют правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же.
На основании этих правил выполняют сложение и вычитание любых дробей с одинаковыми знаменателями:
.
Примеры:
; 
.
Чтобы найти сумму или разность дробей с разными знаменателями, сначала их нужно привести к общему знаменателю, как при сложении и вычитании обыкновенных дробей.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, знаменатель каждой дроби нужно разложить на множители. Если знаменатели дробей не имеют общих множителей, то сложение и вычитание выполняют по формуле:
.
Примеры:
;
.
Иногда нужно найти сумму или разность дроби и целого выражения. Их можно складывать или вычитать, как дроби, записав целое выражение в виде дроби со знаменателем 1.
Пример:
Аналогично упрощают выражения, состоящие из трёх или более дробей, соединённых знаками плюс» или «минус». Например,
Хотите знать ещё больше?
Если рассматривать каждое тождество только при его допустимых значениях переменных, то ость при условии, что левая и правая части имеют смысл, то мы сознательно упрощаем задачу. Доказательство, подтверждаем лишь то. что оно верно на всей области допустимых значений, но не указываем, какая это область.
Чтобы получить исчерпывающее решение такой задачи, необходимс не только убедиться, что тождество правильное для всей области допустимых значений, но и показать, какова эта область. Либо чётко указать, какие из действительных чисел не относятся к этой области. Например, показав, что 
, желательно указать, что доказанное равенство верно, если 
и 
. В ответственных случаях, например в экзаменационных работах, такие уточнения целесообразны.
Выполним вместе!
Пример:
Найдите разность дробей
.
Решение:
.
Пример:
Найдите сумму дробей 
.
Решение:
Общий знаменатель дробей а(а 2 — с). Чтобы привести данные дроби к общему знаменателю, надо умножить первую дробь на а 2 — с, а вторую — на а.
.
Ответ. 
.
Пример:
Выполните действия: 
.
Решение:
.
Умножение дробей
Правило умножения обыкновенных дробей вы уже знаете. Для любых натуральных чисел а, b, с и d справедливо равенство
. Поскольку 
, то из равенства 
, по определению действия деления, имеем: 
, или 
. Из доказанного тождества следует правило умножения дробей.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и отдельно — знаменатели, затем первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.
На основании этого правила выполняют умножение любых дробей:
.
Примеры:
;
.
Поскольку целое выражение можно считать дробью со знаменателем 1, то, по сформулированному правилу, можно перемножать дроби и целые выражения.
Примеры:
;
.
Правило умножения дробей распространяется на произведение трёх множителей и более, например:
. Возвести дробь в n-ную степень означает перемножить n таких дробей:
.
Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель, затем первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби. 
.
Пример:
Возведём дробь 
в пятую степень:
.
Хотите знать ещё больше?
Вы уже знаете, что для умножения многочленов возможно обратное преобразование: разложение многочленов на множители. Существует ли преобразование, обратное умножению дробей?
Любую дробь можно представить как произведение двух, трёх или произвольного количества других дробей, Например,
.
Преобразование, обратное умножению дробей, неоднозначно, неопределенно. Упростим задачу. Представьте дробь 
ввиде произведения двух дробей, одна из которых равна 
. В данном случае ответ подобрать несложно:
.
Решение таких задач в более сложных случаях, как и операций, обратных возведению дробей в степень, рассмотрим позднее.
Выполним вместе!
Пример:
Найдите произведение добей: 
и 
.
Решение:
.
Ответ. 
Пример:
Найдите значение выражения 
.
Решение:
.
Ответ. При каждом значении х, кроме х= 5, значение данного выражения равно 1.
Пример:
Представьте в виде степени дроби выражение 
.
Решение:
.
Ответ. 
.
Деление дробей
Действие деления дробей — обратное умножению:
, поскольку 
.
Аналогично 
, поскольку 
. Выражение 
— произведение дробей 
и 
. Следовательно,
Дробь 
называют обратной дроби 
. Поэтому при делении дробей можно воспользоваться следующим правилом.
Чтобы разделить две дроби, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
Примеры:
;
.
Поскольку целое выражение можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то, согласно сформулированному правилу, дробь можно делить на целое выражение и целое выражение — на дробь:
;
.
Хотите знать ещё больше?
Проанализируем, при каких значениях переменных а, b, с, d значение частного 
существует.
Знаменатели дробей не равны нулю, поэтому 
и 
. Не равно нулю и значение с, поскольку при этом условии значение второй дроби равно О, а на нуль делить нельзя.
Следовательно, данное частное имеет значение только в том случае, если выполняются все три следующих условия: 
, 
и 
.
Рассмотрим, при каких значениях х имеет смысл выражение 
.
Если 
, то 
; в этом случае знаменатель первой дроби равен О, и частного не существует.
Если 
, то 
; в этом случае значение второй дроби равно О, а на нуль
Выполним вместе!
Пример:
Упростите выражение 
.
Решение:
Ответ. 1— с.
Пример:
Найдите частное от деления дроби 
на 
и укажите, при каких значениях переменных частное существует.
Решение:
.
Вторая дробь не имеет смысла, если а 2 (а-1)=0, то есть при а = 0 или а = 1.
При с = 0 значение второй дроби равно 0, а на нуль делить нельзя.
Следовательно, частное этих дробей существует, если 
, 
, 
и 
. Ответ. 
частное существует при , , и
Преобразование рациональных выражений
Вы уже знаете, что любое числовое выражение после выполнения всех действий принимает конкретное значение, выраженное некоторым числом. Преобразования рациональных выражений выполняют так же, как находят значение числового выражения. Заданное выражение заменяют другим, тождественным ему. Такие преобразования называются тождественными преобразованиями.
Тождественные преобразования рациональных выражений выполняют частями или «цепочкой», используя известные вам из предыдущих параграфов правила действий с дробями и целыми выражениями. Если выражение содержит несколько действий разных ступеней, то их выполняют в такой же последовательности, что и преобразования числовых выражений:
Любое рациональное дробное выражение можно представить в виде дроби, а некоторые — даже в виде целого выражения. Рассмотрим, например, выражения:
.
Первое из них можно преобразовать таким образом:
1) 
; 2) 
;
3) 
.
Следовательно, 
.
Аналогичным способом (последовательно) можно упростить и второе выражение. А можно преобразовать и «цепочкой»:
Хотите знать больше?
В математике часто приходится не только упрощать выражения, например сумму нескольких дробей записать одним выражением, но и осуществлять обратные операции.
Задача (О. Коши):
Решение. Пусть 
.
Преобразуем правую часть равенства в дробь:
.
Подставляем это выражение в правую часть (1):
, отсюда 
.
Следовательно, 
.
Ответ. 
.
Рациональные уравнения
Умение преобразовывать дробные выражения необходимо, в частности, для решения дробных уравнений.
Вы уже знаете, что уравнение ‚ называется рациональным, если его левая и правая части — рациональные выражения. Рациональное уравнение называют дробным, если его правая, левая либо правая и левая части — дробные выражения.
Примеры дробных уравнений:
.
При решении целого уравнения его часто стараются заменить равносильным. С дробными уравнениями это возможно лишь в некоторых случаях. Их преимущественно заменяют уравнениями-следствиями.
Уравнения называют следствием данного, если все решения данного уравнения удовлетворяют полученное уравнение.
Уравнение-следствие удовлетворяют все корни данного уравнения, но кроме них оно может иметь и посторонние корни.
Дробные рациональные уравнения можно решать разными способами. В частности:
Рассмотрим на конкретных примерах каждый способ.
Пример:
.
Решение:
Заменим данное уравнение равносильным, в котором правая часть — нуль, а левая — дробь. Для этого дробь перенесём из правой части в левую, изменив знак перед ней на противоположный, и упростим полученное дробное выражение:
,
.
Полученное уравнение равносильно данному. Решить его просто, поскольку дробь равна нулю лишь тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличный от нуля.
Приравняем числитель к нулю: 
, если х = 0 или х=2.
Следовательно, х = 2 не удовлетворяет данное уравнение.
Пример:
Решение:
.
.
Проверка. 
.
Если дробное уравнение имеет вид пропорции либо его можно представить в виде пропорции, то используется основное свойство пропорции. В этом случае также получаем уравнение-следствие.
Известные вам линейные уравнения — это отдельный вид рациональных уравнений. Как именно связаны между собой рациональные уравнения, иллюстрирует рисунок 18. Рациональные уравнения, которые не являются целыми, называют дробно-рациональными. Только некоторые из них сводятся к линейным. Большая часть дробнорациональных уравнений сводится к таким, решать которые вы ещё не умеете. Решение некоторых из них рассмотрим позднее.
Рис. 18
Дробно-рациональными бывают не только уравнения с одной, но и с двумя, тремя и большим количеством переменных, а также системы таких уравнений. Например, решим систему уравнений:
Суммируем левые и правые части этих уравнений и получим:
Подставляем это значение х в первое уравнение: 
, отсюда у=3. Ответ: х = 3, у= 3.
Выполним вместе!
Пример:
Решите уравнение 
.
Решение:
Ответ. Уравнение решений не имеет.
Пример:
Какое число нужно прибавить к членам дроби 
, чтобы получить дробь, равную 
?
Решение:
Обозначим искомое число буквой х. Тогда по условию задачи:
Поверка. 
.
Ответ. Искомое число равно 7.
Степени с целыми показателями
Некоторые дроби часто записывают в виде степеней с отрицательными показателями. Например, вместо
пишут 
.
Вспомните, как делят степени с одинаковыми основаниями:
Рассматривая степени только с положительными показателями, отмечают, что последнее равенство верно только при 
. Если это ограничение снять, то получим: 
.
Поэтому условились, что 
.
.
Следовательно, желательно условиться, что
.
Итак, можно рассматривать степени с произвольными целыми показателями. Объясним кратко смысл этого понятия:
Свойства степеней с целыми показателями такие же, как и степеней с натуральными показателями:
Докажем первое из этих тождеств (его называют основным свойством степеней) для случая, когда 
и 
— целые отрицательные числа. При этом условии 
и 
, где 
— натуральные числа. Поэтому
.
Аналогично можно доказать равенство 
для случая, когда один из показателей и отрицательный, а другой — положительный или равен нулю.
Обратите внимание на степени, в которых основание или показатель равны нулю.
Если а и n не равны нулю, то
Выражение 0° не имеет смысла, это не число, как и выражение 
. Выражения, содержащие степени с целыми показателями, можно преобразовать двумя способами: заменить их дробями либо использовать свойства степеней. Например, упростим выражение 
.
.
.
Выполним вместе!
Пример:
Решение:
а) 
; b)
.
Пример:
Запишите без знаменателя выражение 
.
Решение:
Ответ. 
.
Пример:
Упростите выражение: 
.
Решение:
.
Ответ: 
.
Стандартный вид числа
Как выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде, покажем на примерах.
Обратите внимание!
Числа, записанные в стандартном виде, выражают преимущественно приближённые значения величин. Это объясняется тем, что так часто записывают значения расстояний, площадей, масс, объёмов, скоростей, температур, которые почти всегда приближённые.
Хотите знать ещё больше?
Как следует понимать выражение число х больше, чем у, на порядок? Это означает, что число х больше у приблизительно в 10 раз.
Выполним вместе! Пример:
Запишите в стандартном виде число: а) 320; б) 0,4; в) 1000 000; г) 0,00000027.
Решение:
Пример:
Решение:
Функция y=k/x
Функция 
Вспомните, что такое аргумент функции, её область определения, множество значении, как задают функции
Далее мы рассмотрим функцию, заданную формулой 
, где k — произвольное действительное число, отличное от нуля; аргумент х может принимать не только положительные, но и отрицательные значения.
Например, дана функция 
. Область её определения множество всех действительных чисел, кроме х = О (поскольку на нуль делить нельзя). Составим таблицу значений этой функции для нескольких значений аргумента:
| х | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | -1 | -1.2 | -1.5 | -2 | -3 | -6 | — | 6 | 3 | 2 | 1.5 | 1.2 | 1 |
Обозначим точки, координаты которых приведены в таблице (рис. 23, а). Если бы на этой же координатной плоскости было нанесено больше точек, координаты которых удовлетворяют равенство 
, то они разместились бы так, как показано на рисунке 23, б. Если для каждого действительного значения х, кроме х = 0, по формуле 
— вычислить соответствующее значение у и нанести все точки с полученными координатами на координатную плоскость, то получим график данной функции (рис. 23, в). Такую линию называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
График функции 
— гипербола, симметричная относительно начала координат. Её ветви располагаются в I и III координатных углах. (Оси координат делят координатную плоскость на четыре координатных угла, их также называют координатными четвертями, или квадрантами, и нумеруют, как показано на рисунке 24.).
Если таким способом построить график функции 
, то получим также гиперболу, только её ветви будут располагаться в II и IV координатных углах (рис. 25).
График каждой функции 
, где k — отличное от нуля данное число, — это гипербола, симметричная относительно начала координат. Если k > 0, то ветви такой гиперболы расположены в I и III координатных углах, если k 2 ещё писали bb.
Степени с целыми показателями вводили в математику постепенно. Около 4 тыс. лет тому назад учёные Вавилона рассматривали квадрат и куб числа при вычислении площади квадрата и объёма куба. Донаших дней сохранились глиняные плитки с таблицами квадратов и кубов натуральных чисел, изготовленные древними вавилонянами. Со временем учёные стали рассматривать четвёртую, пятую степени и выше, называя их сначала квадрато-квадратом, кубо-квадратом и т. д.
Степень с нулевым показателем ввели в V в. независимо друг от друга самаркандец ал-Каши и француз Ф. Н. Шюке. Степени с отрицательными показателями Ф. Н. Шюке также использовал. Теорию степеней с отрицательными показателями разработал в ХVII в. английский математик Д. Валлис. Он отождествлял последовательности
,
,
Стандартный вид числа ввели в науку только в ХХ в. с началом использования электронных вычислительных машин (ЭВМ).
ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ
Частное от деления выражения А на выражение В можно записать в виде дроби 
. Дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Алгебраической дробью называют дробь, числитель и знаменатель которой — много-члены. Выражение, представленное переменными и числами с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень с целым показателем, называется рациональным. При любых значениях а, b и с 
(основное свойство дроби). На основании этого свойства дроби можно сокращать или приводить к общему знаменателю.
Действия с любыми дробями можно выполнять так же, как с обыкновенными дробями. Если знаменатели не равны нулю, то всегда
.
Свойства степеней с целыми показателями аналогичны свойствам степеней с натуральными показателями. Если числа m и n — целые, а и b — отличные от нуля, то всегда:
Функция 
определена на множестве всех действительных чисел, за исключением х = 0. Если 
> 0, то она убывающая.
Функция у = х 2
| х | -3 | -2,5 | -2 | -1,5 | -1 | 0 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
| y | 9 | 6,25 | 4 | 2,25 | 1 | 0 | 1 | 2,25 | 4 | 6,25 | 9 |
0
Рис. 36
Рис. 37
, где R — радиус круга, 
= 3,14. Отсюда 
. Путь, пройденный телом при свободном падении, определяем по формуле 
, где t — время, g — постоянное число. Отсюда 
Рассмотрим свойства функции 
.
(рис. 49,б). Этот график — одна ветвь параболы. Она выходит из начала координат и располагается в первом координатном углу. Функция 
Рис. 49
.
и построим в одной системе координат графики функций 
и 
(рис. 50)
Рис. 50
и 
принимают равные значения, то есть число 4 — корень (возможно, приближённый) уравнения 
. Подставляем х = 4 в данное уравнение и убеждаемся, что 4 точный корень. Построенные графики других общих точек не имеют, следовательно, данное уравнение имеет только один корень: х = 4.
не обязательно строить по точкам. Этот график для х > О симметричен графику функции у = x 2 относительно биссектрисы первого координатного угла. Ведь равенства 
и 
при положительном х выражают одну и ту же зависимость между переменными х и у. Если во втором из этих равенств поменять х на у, а у на х, то это равнозначно замене оси х осью у и наоборот. Такие функции, как 
и 
называются обратными. Постройте их графики в одной системе координат и убедитесь, что они симметричны относительно прямой у = х.
виде десятичных дробей. Для этого их числители разделим на знаменатели. Итак, 
В двух последних примерах деление можно продолжать бесконечно (почему?). Полученные доли частного — это бесконечные десятичные дроби, цифры которых периодически повторяются. Это бесконечные периодические десятичные дроби.
, 
, 
, получаем бесконечные непериодические десятичные дроби:
и 
с точностью до тысячных, пишут:
: б) 
; в) 
.
при 
не имеет смысла, то есть числового значения этого выражения при 
это выражение имеет смысл.
являются все числа, кроме 1.
. Так, рациональные выражения 
являются примерами рациональных дробей.
имеет смысл при всех значениях 
кроме 
а дробь 
имеет смысл при всех значениях 
кроме 
является тождеством, так как оно выполняется при любых значениях 
также естественно считать тождеством. Но оно выполняется не при любых значениях 
При 
рациональные дроби, входящие в данное равенство, не имеют смысла.
является тождеством, поскольку оно выполняется при всех допустимых значениях 
то есть при всех 
кроме 
и 
— некоторые числа, причем 
и 
и 
— многочлены, причем многочлены 
и 
ненулевые.
можно заменить на тождественно равную ему дробь 
Такое тождественное преобразование называют сокращением дроби на множитель 
и 
имеют общий множитель 
Тогда
получаем:
и можно записать в виде выражения 
к знаменателю 
к знаменателю 
к знаменателю 
то новый знаменатель отличается от знаменателя данной дроби множителем 
Следовательно, числитель и знаменатель данной дроби надо умножить на дополнительный множитель 
Имеем:
Однако удобнее в качестве общего знаменателя взять одночлен 
сконструированный таким образом: его коэффициент 18 является наименьшим общим кратным коэффициентов 9 и 6 знаменателей данных дробей, а каждая из переменных 
и 
взята в степени с наибольшим показателем степени из тех, с которыми она входит в знаменатели данных дробей.
то дополнительным множителем для дроби 
является одночлен 
Учитывая, что 
получаем, что дополнительным множителем для дроби 
является одночлен 
кроме 1. Имеем:
за исключением одной точки, абсцисса которой равна 1 (рис. 2).
решите уравнение 
и рассмотрим три случая.
которое не имеет корней.
корнем которого является любое число.
то уравнение не имеет корней; если 
то корнем является любое число; если 
и 
то 
Найдите значение выражения 
то 
Следовательно, 
при которых значение выражения 
является целым числом.
принимает натуральные значения при любом натуральном 
Поэтому выражение 
принимает целые значения, если значения выражения 
являются целыми числами. Это возможно только при следующих натуральных значениях 
или 
или 
или 
и 
в виде дроби со знаменателем 1, получаем:
в виде дроби со знаменателем 1, получаем:
имеем:
договорились, что 
— натуральное число.
не зависит от значения 
значение данного выражения равно 3.
и 
Очевидно, что каждое из них имеет одни и те же корни: 
Говорят, что уравнения 
и 
равносильны. Приведем еще примеры пар равносильных уравнений:
и 
и 
Каждое из этих уравнений не имеет корней. Такие уравнения также принято считать равносильными.
и 
Однако эти уравнения не являются равносильными, так как первое уравнение имеет еще один корень, равный —1, который не является корнем второго уравнения.
км/ч — искомая скорость. Тогда скорость автомобиля на второй части пути равна 
км/ч. Автомобиль преодолел первую часть пути за 
ч, а вторую — за 
ч.
является математической моделью рассмотренной реальной ситуации. Обе части полученного уравнения являются рациональными выражениями.
является рациональным.
где 
и 
— многочлены.
нужно потребовать одновременного выполнения двух условий: 
и 
Это значит, что при решении уравнений указанного вида следует руководствоваться таким алгоритмом:
Корнями этого уравнения являются числа —1 и 1.
При 
получаем, что 
При 
получаем, что 
сводится к решению уравнения 
и проверке условия 
равносильно системе 
равносильно системе 
Именно так мы и поступили, решая уравнение 
Представив левую часть этого уравнения в виде рациональной дроби, получим:
км/ч. Тогда ее скорость по течению реки составляет 
км/ч, а против течения 
км/ч. Турист проплыл 3 км по течению за 
а 2 км против течения — 
Поскольку весь путь был пройден за 
то 
или 
км. Масса Солнца равна 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг, или 
кг.
и 
соответственно 
и 
, то для рассмотренных величин получим «одноэтажную» форму записи:
не равного нулю, и натурального числа 
не равного нулю, 
при целых 
меньших или равных нулю, не имеет смысла.
и делом 
числа 
и 
являются взаимно обратными. Поэтому равенство 
выполняется при любом целом 
имеем: 
кг. Масса Марса равна 
кг. Площадь поверхности Луны равна 
» Числа, выражающие эти величины, записаны в так называемом стандартном виде.
где 
и 
— целое число.
Однако на практике стандартный вид числа используют для записи больших и малых значений величин. При этом порядок числа дает представление о величине. Например, если порядок числа 
равен 3, то есть 
то с учетом того, что 
получаем: 
и 
то 
в виде рациональной дроби.
и любых целых 
и 
выполняются равенства:
(1)
(2)
и 
любого целого 
выполняется равенство
(3)
и 
это равенство уже было доказано в курсе алгебры 7 класса.
и 
— натуральные числа. Тогда 
и любых целых 
(4)
и 
любого целого 
(5)
выражение:
получаем:
и результат запишите в стандартном виде.
и ее график
грн цену 1 кг товара, а через 
кг — количество этого товара, которое можно приобрести за 500 грн.
от переменной 
является обратной пропорциональностью: увеличение цены 
во столько же раз и, наоборот, уменьшение цены приводит к увеличению количества купленного товара.
, а стороны — 
см и 
см. Тогда
где 
называют обратной пропорциональностью.
допустимыми значениями переменной 
— также являются все числа, кроме 0.
В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.
которых приведены в таблице (рис. 3).
нам удастся отметить, тем меньше полученная фигура (рис. 4) будет отличаться от графика функции 
не имеет общих точек с осью ординат.
не имеет решений. Следовательно, число 0 не принадлежит области значений данной
то 
то есть 
если 
то 
Следовательно, точки графика данной функции могут находиться только в I и III координатных четвертях.
до оси абсцисс уменьшаются и могут стать сколь угодно малыми, но никогда не будут равны нулю. Действительно, чем больше модуль аргумента, тем меньше модуль соответствующего значения функции.
то мы получили бы фигуру, изображенную на рисунке 5. 
, где 
называют гиперболой. Гипербола состоит из двух частей — ветвей гиперболы.
то также верно равенство 
Тогда можно сделать следующий вывод: если точка 
принадлежит гиперболе 
то точка 
также принадлежит этой гиперболе.
то ветви гиперболы расположены в I и III четвертях, а если 
— то во II и IV четвертях.
. Ветви гиперболы 
расположены во II и IV четвертях.
где 
являются все числа, кроме 0.
изученные в этом пункте.
принадлежит гиперболе 
то точка 
также принадлежит этой гиперболе.
можно использовать при решении уравнений.
и 
Построим в одной системе координат графики этих функций (рис. 7). Они пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 1 и —4. В каждой из точек пересечения графиков значение функции 
равно значению функции 
Следовательно, при найденных абсциссах значения выражении 
и 
равны, то есть числа 1 и —4 являются корнями уравнения 
Проверка это подтверждает. Действительно, 
и 
не равного нулю, и натурального числа 
не равного нулю, 
где 
и 
— целое число.
и 
и любых целых 
и 
выполняются равенства:
(основное свойство степени);
, где 
называют обратной пропорциональностью.
принадлежит гиперболе 
то точка 
также принадлежит этой гиперболе.
площадь квадрата со стороной 
Тогда 
квадрата соответственно будет изменяться и его площадь 
.
задает функцию.
, областью определения которой являются все числа. В таблице приведены некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции.
возьмем из таблицы (рис. 11).
будет отмечено, тем меньше полученная фигура (рис. 12) будет отличаться от графика функции 
то 
то есть среди отмеченных точек не может быть точек с отрицательными ординатами.
— все неотрицательные числа.
то получилась бы фигура — график функции 
которую называют параболой (рис. 13).
то верно и равенство 
Тогда можно сделать такой вывод: если точка 
принадлежит параболе 
то точка 
также принадлежит этой параболе.
изученные в этом пункте. Область определения Все числа
принадлежит параболе 
то точка 
также принадлежит этой параболе.
и 
(рис. 14). Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны 2 и —1. Следовательно, как при 
так и при 
значения выражений 
и 
равны, то есть числа 2 и —1 являются корнями уравнения 
Проверка это подтверждает. Действительно, 
и 
и ее график
то его сторону 
можно найти по формуле 
Изменение площади 
квадрата приводит и к изменению его стороны 
задает функцию.
допустимыми значениями переменной 
являются все неотрицательные числа, то областью определения функции 
является множество неотрицательных чисел.
не может принимать отрицательные значения, то есть ни одно отрицательное число не может принадлежать области значений рассматриваемой функции. Покажем, что функция 
может принимать любые неотрицательные значения, например 7,2. Действительно, существует такое значение аргумента 
что 
Это значение равно 
На этом примере мы видим, что для любого неотрицательного числа 
всегда найдется такое значение 
что 
Таким значением аргумента 
является число 
является множество неотрицательных чисел.
то 
можно сделать вывод, что ее график расположен только в первой координатной четверти.
которых приведены в таблице (рис. 29).
тем меньше полученная фигура будет отличаться от графика функции 
(рис. 30).
является фигура, равная ветви параболы 
и 
— два произвольных значения аргумента функции 
таких, что 
Тогда из свойства арифметического квадратного корня следует, что 
соответствует большее значение функции. Верно и обратное утверждение: большему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть если 
то 
(рис. 32).
изученные в этом пункте. Область определения Множество неотрицательных чисел
и 
(рис. 33). Эти графики пересекаются в точке, абсцисса которой равна 4. Проверка подтверждает, что число 4 является корнем данного уравнения.
и 
2) 
и 
и 
то 
то есть 
выполняется неравенство 
Поскольку большее значение функции 
соответствует большему значению аргумента, то можно сделать вывод, что 
Учитывая, что выражение 
имеет смысл только при 
получаем, что данное неравенство выполняется при всех 
удовлетворяющих неравенству 
и 
то 
и 
и длиной 
является многочленом, т.к. существует такой многочлен, произведение которого с многочленом 
равно 
не является многочленом, т.к. нет такого многочлена, произведение которого с 
Таким образом, многочлен также является рациональным выражением. Сумма, разность, произведение и отношение рациональных выражений также являются рациональными выражениями, то есть их можно преобразовать в дробь, у которой числитель и знаменатель-некоторые многочлены (в частном случае одночлены).
не имеет смысла при 
так как при 
знаменатель превращается в нуль.
знаменатель дроби обращается в нуль, надо решить уравнение 
Данное уравнение имеет два корня: 0 и 1. Значит допустимыми значениями являются любые числа, кроме 0 и 1. Для рациональной дроби 
ОДЗ записывается как 
справедливо следующее равенство 
, а это значит, что данная дробь умножается на дробь 
, т.е. на 1. Аналогичное свойство верно и для рациональных выражений. При умножении или делении числителя и знаменателя рационального выражения на одно и то же отличное от нуля выражение, получается дробь,эквивалентная данному выражению при всех допустимых значениях переменной.
на выражение 
Получим 
на выражение 
Получим 
возможно найти такие числа 
чтобы их произведение было равно 
а сумма была равна 
то в этом случае: 
тогда можно записать, что 
Понятно что, если 
являются целыми числами, то числа 
надо искать среди делителей числа 
сначала надо разложить числитель и знаменатель на множители.
надо найти два положительных числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Это числа 2 и 3:
надо найти такие
чтобы 
Тогда 
некоторые многочлены
— фокусное расстояние,
— расстояние от объекта до линзы фотоаппарата,
— расстояние от линзы фотоаппарата до ленты.
здесь 
некоторые многочлены
здесь 
некоторые многочлены
а числитель и знаменатель второй дроби на 
приведём дроби к общему знаменателю, а затем выполним вычитание.
и выполним сложение.
В этой строке каждое число в 10 раз меньше следующего. Если продолжить запись влево, в соответствии с данным правилом, то получим следующее: перед числом 
стоит число 
перед числом 
число 
и т.д. 
справа, на единицу меньше степени следующего числа. Примен ив данное правило к числам, стоящим слева от числа 
получим отрицательные степени числа 10, которые запишем так: вместо 
запишем 
вместо 
запишем 
и т.д.
при 
а отсюда получим, 
и любых целых чисел 
и 
справедливы равенства
и для любого целого числа 
а диаметр молекулы очень маленьким числом 
Большие и малые числа неудобно записывать в виде обыкновенных или десятичных дробей и выполнять какие-либо действия над ними. В этом случае их представляют в виде 
или 
называется стандартным видом числа, где 
и 
целое число, число 
называется значащей частью, 
(порядок равен 6).
(порядок равен 7).
и ее график
Выразив длину через 
см, а ширину через 
см, эту зависимость можно записать в виде 
Так как в данном задании 
Запишите формулу данной зависимости. Так как произведение переменных, связанных обратно пропорциональной зависимостью, всегда остаётся постоянным, то обозначим эту постоянную через 
тогда 
В нашем случае 
Тогда соответствующую зависимость можно записать в виде формулы так: 
в которой переменная принимает как положительные, так и отрицательные значения.
и построим её график.
называется обратно пропорциональной функцией.
— независимая переменная, 
— число отличное от нуля. Функция 
принадлежит графику функции 
также принадлежит графику функции. График функции 
ветви гиперболы расположены в I и II1 четверти, а при 
расположены во II и IV четверти. Чем больше абсолютное значение абсциссы на графике, тем ближе эта точка расположена к оси абсцисс.