Как упрощать определитель матрицы

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей.

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

.

2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то и определитель матрицы умножится на это число .

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца.

Примеры: ;

3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

; .

4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет свой знак на противоположный.

; ; .

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

.

6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

Пример: Воспользуемся при вычислении свойствами 2) и 5) определителей:

7) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

при i j.

Пример: Посчитать: = 0 для данной матрицы

.

=

.

8) Определитель матрицы не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Воспользуемся уже полученным результатом определителя матрицы С:

Преобразуем матрицу С согласно свойству:

.

Теперь вычислим определитель получившейся матрицы:

9) Сумма произведений произвольных чисел , ,…, на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равны определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа

10) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

, где А и В – матрицы n-го порядка.

Пример: вычислить с помощью свойств определителя определитель матрицы В четвертого порядка

.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1) Правило нахождения определителей второго порядка можно записать в виде формулы:

Вычислить определители 2-го порядка матриц:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Для вычисления определителей третьего порядка используют правило Сарруса или правило треугольников, которое проще запоминается в виде следующих схем:

(+) (главная диагональ)

(-) (другая диагональ)

Вычислить определители 3-го порядка матриц по правилу Сарруса:

а) ; б) ; в) ;

3) Для вычисления определителей 4-го и более высокого порядка используют правило вычисления определителя методом разложения по элементам строки или столбца (по теореме Лапласа): определитель равен сумме произведений всех элементов какого-либо столбца (или строки) на соответствующие им алгебраические дополнения. Обычно вычисление проводится по элементам 1-й строки.

Можно использовать теорему Лапласа и для вычисления определителей 3-го порядка, когда разложение по первой строке имеет вид:

Вычислить определители 4-го и 3-го порядков:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Замечание: Для сокращения вычислений удобно определитель раскладывать по элементам той строки или столбца, где содержится наибольшее количество нулей.

В этом случае нужно находить алгебраическое дополнения к элементам, равным 0; если же строки или столбцы не содержат достаточного количества нулей, то удобно провести эквивалентные преобразования. Используют правило: если ко всем элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца); умноженные на одно и то же число; то определитель не изменяется.

III. «РАНГ МАТРИЦЫ»

Для решения и исследования некоторых математических и прикладных задач большое значение имеет понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера .

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где (меньшего из т и п). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Один элемент матрицы называют минором первого порядка.

Из матрицы А размером можно получить подматрицы 1-го, 2-го, 3-го порядков.

Пример: Выделим указанные подматрицы из данной матрицы и запишем их миноры.

Решение:

Некоторые подматрицы первого порядка А =

некоторые подматрицы второго порядка А =

некоторые подматрицы третьего порядка А = .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначение: rang A или r(A)

Из определения следует:

1) т.е., не превосходит меньшего из ее размеров;

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю;

3) для квадратной матрицы п-го порядка тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная, т.е., ее определитель не равен нулю.

Пример: Вычислить , если

.

Решение: Начнем с перебора миноров третьего порядка.

Таким образом, согласно определения ранга матрицы, можем сделать вывод, что ранг данной матрицы равен 3, т.е., .

Замечание: В данном случае вычисление уже первого минора третьего порядка привело к искомому результату. В общем же случае определение ранга матрицы перебором миноров всех возможных порядков достаточно трудоемко.

Для упрощения решения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1)отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы;

2)умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

3)изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

5)транспонирование матрицы.

ТЕОРЕМА 1:Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник