Как умножить три скобки
Как перемножать скобки: правила, примеры
Как умножать выражения в скобках
Умножение — операция над аргументами в математике: множимым и множителем.
Множимое — повторяемое слагаемое — компонент, который умножается.
Множитель — показывает, сколько раз множимое слагаемое повторяется в выражении.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Результатом умножения является произведение.
При упрощении алгебраических выражений необходимо раскрывать скобки.
Раскрыть скобки можно с помощью:
Если выражение в скобках содержит сумму или разность переменных, то такое выражение называют многочленом. Каждый компонент многочлена является одночленом. Число перед одночленом — коэффициент. Если перед одночленом не указано число, то подразумевают один или минус один — зависит от знака.
Как вынести общий множитель за скобки
Общий множитель — наибольший общий делитель.
Операцию вынесения общего множителя за скобки используют при разложении многочлена на множители. Разложение многочлена на множители подразумевает его преобразование в равное этому многочлену произведение.
Правило вынесения общего множителя за скобки:
Чтобы вынести общий множитель, записывают исходное выражение в виде произведения общего множителя и суммы, заключенной в скобки, без общего множителя.
Для вынесения общего множителя за скобки используют распределительный закон или распределительное свойство умножения справа налево:
\(ab\pm ac=a(b\pm c)\) — сумма преобразуется в произведение.
Алгоритм нахождения общего множителя для членов многочлена:
В многочлене в скобках должно остаться столько членов, сколько было в исходном.
Метод вынесения общего множителя за скобки на примере числового выражения:
В этом выражении выносят за скобки общий множитель 3. Исходное выражение записывается как произведение общего множителя и суммы всех исходных слагаемых, кроме
Примеры вынесения общего множителя за скобки
Чтобы вынести общий множитель за скобку:
\(25kp=5\times5\times k\times p\)
\(15k^2p=3\times5\times k\times k\times p\)
Общими делителями будут 5, k, p.
\(25kp-15k^2p=\mathbf5\times5\times\boldsymbol k\times\boldsymbol p-3\times\mathbf5\times\boldsymbol k\times k\times\boldsymbol p=5kp(\frac<5\times5\times k\times p><5kp>-\frac<3\times5\times k\times k\times p><5kp>)=5kp(5-3k).\)
Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку
Раскрытие скобок — умножение переменной или числа на выражение в скобках.
Чтобы умножить число или переменную на скобку, нужно число или переменную умножить на каждый компонент в скобках и упростить выражение.
При умножении выражения на скобку действует то же правило.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена.
\(3ab(5ac+2b-4a^2)=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3\ast5a\ast abc+3\ast2ab\ast b-3\ast4a\ast a^2b=15a^2bc+6ab^2-12a^3b\)
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.
При умножении на отрицательный компонент знак меняется.
\(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit)\mathit=a\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit\ast a\mathit-\mathit6b\mathit\ast\mathit3ab\mathit-\mathit6b\mathit\ast a^<\mathit2>\mathit=\mathit3a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathit<18>ab^<\mathit2>\mathit-\mathit6a^<\mathit2>b\mathit=\mathit3a^<\mathit2>b\mathit-\mathit6a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathit<18>ab^<\mathit2>\mathit=\mathit-\mathit3a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathit<18>ab^<\mathit2>.\)
Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что корней нет.
Корень уравнения — значение переменной, при которой получается верное равенство.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно:
Рассмотрим пример умножения многочлена на многочлен.
Умножим последовательно первый одночлен « 6x » из первой скобки на оба одночлена второй скобки.
Затем умножим второй одночлен « −2a » первой скобки на оба одночлена второй скобки. Умножать одночлены будем по правилам умножения одночленов.
Не забывайте при умножении одночленов использовать правило знаков.
Результат умножения многочлена на многочлен будет всегда многочленом.
Примеры умножения многочлена на многочлен
Как умножить 3 многочлена
Чтобы умножить 3 или более многочленов нужно:
Другими словами, умножать несколько многочленов нужно последовательно. Рассмотрим пример умножения трёх многочленов.
Сначала умножим первый многочлен на второй, и их результат запишем в скобках.
Теперь перемножим получившийся многочлен и третий многочлен. Не забудем после умножения привести подобные одночлены.
Перемножение скобок
Вы будете перенаправлены на Автор24
При математических вычислениях операции над числами и переменными часто для удобства или наглядности группируют с помощью круглых скобок. Случаются и противоположные ситуации, когда выражение в скобках необходимо преобразовать к тождественному выражению, не содержащему скобок.
Одним из наиболее сложных случаев раскрытия скобок является перемножение двух или более заключенных в скобки выражений.
Для краткости вместо «перемножение выражений, заключенных в скобки» допустимо говорить «перемножение скобок».
Чтобы получать корректные результаты при перемножении скобок, необходимо придерживаться определенных математических алгоритмов.
Во-первых, следует помнить, когда при раскрытии скобок знак меняется:
Во-вторых, следует иметь в виду распределительный закон умножения: при умножении числа на сумму чисел следует это число умножить по отдельности на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить. Например:
$5 \cdot (3 + 4) \implies 5 \cdot 3+5 \cdot 4 \implies 35$.
Распределительный закон умножения является частным случаем математической дистрибутивности.
Умножение числа или переменной на выражение в скобках или выражения в скобках на число или переменную принято называть раскрытием скобок.
В общем случае раскрытие скобок выглядит как
$(a_1 ± a_2 ± … ± a_n) \cdot b = a_1 \cdot b ± a_2 \cdot b ± … ±a_n \cdot b$
Готовые работы на аналогичную тему
Еще одним приемом, помогающим раскрывать скобки, является приведение подобных слагаемых, то есть таких, в которых участвуют однотипные переменные, например:
Таким образом, мы получили две группы подобных слагаемых, которые можно безопасно складывать и вычитать в рамках своих скобок. Применяя правило смены знака, получим
Переменные, возведенные в степень, рассматриваются как подобные слагаемые. Рассмотрим выражение
После раскрытия скобок получаем:
При умножении скобки на скобку одно из выражений рассматривается как общий множитель. Рассмотрим произведение
$(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2)$.
$(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2) = (a_1 + a_2) \cdot b = (a_1 \cdot b + a_2 \cdot b) = a_1 \cdot b + a_2 \cdot b$.
$a_1 \cdot b + a_2 \cdot b=a_1 \cdot (b_1 + b_2) + a_2 \cdot (b_1 + b_2) = \\ (a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2) + (a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2) = \\ a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.
В результате данного преобразования выражение из произведения двух скобок стало суммой произведений каждого слагаемого из первого выражения-скобки на каждое слагаемое второго.
Чтобы умножить одну сумму, представленную, как выражение в скобках, на другую, нужно каждое слагаемое первой умножить на каждое слагаемое второй, а затем сложить получившиеся произведения.
В виде формулы это можно записать так:
Для иллюстрации этого правила раскрытия скобок при умножении, раскроем их в выражении
$(1 + x) \cdot (x^2 + x + 6)$.
Если в скобках присутствуют отрицательные члены (со знаками минус), то прежде, чем применять этот способ следует преобразовать выражения в скобках в суммы. Например, избавимся от скобок в выражении
$(1 − x) \cdot (3 \cdot x \cdot y − 2 \cdot x \cdot y^3)$.
Представим его в виде сумм:
$(1 + (−x)) \cdot (3xy + (−2xy^3))$.
Теперь можно применять вышеприведенное правило перемножения слагаемых:
Раскроем оставшиеся скобки, помня правила перемножения положительных и отрицательных чисел:
$1 \cdot 3xy − 1 \cdot 2xy^3 − x \cdot 3 \cdot xy + x \cdot 2xy^3$.
В выражениях, в которых перемножаются три и больше выражений в скобках, проводится по тому же принципу последовательно: сначала обрабатываются два первых множителя, результат заключается в дополнительные скобки, внутри которых раскрытие производится по стандартному алгоритму. Например, раскроем скобки в выражении
$(2 + 4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.
$(2+4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8) = ((2+4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.
Произведем умножение скобки на число:
$((2 + 4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = (2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.
Перемножим выражения в скобках:
$(2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8 + 4 \cdot 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8$.
Вместо чисел внутри скобок могут присутствовать переменные, а также другие выражения.
Преобразуем выражения в суммы:
Последовательно перемножим слагаемые:
$x \cdot 2x + 2 \cdot 2x + x \cdot (-1) + 2 \cdot (-1)$
Упростим выражения в рамках каждого слагаемого, получим:
Ответ:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Упрощение многочлена.
Умножение многочленов.
С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень
Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.
Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Немного теории.
Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
Квадрат суммы
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.
…и приведем подобные слагаемые.
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).
Теперь приведем подобные слагаемые.
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.