Как умножить многочлен на многочлен

Как умножать многочлены

Запишем правило умножения многочленов и рассмотрим, как умножать многочлены, на конкретных примерах.

Правило умножения многочленов.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

С помощью букв умножение многочленов (в данном случае — трехчлена на двучлен) можно записать так:

На начальном этапе изучения темы имеет смысл несколько самых первых примеров расписать так же подробно.

Теперь умножаем одночлен на многочлен и приводим подобные члены:

Как научиться умножать многочлены без подробной записи?

Сначала представим, что первое слагаемое из первых скобок мы умножаем на многочлен во вторых скобках, затем — второе слагаемое из первых скобок умножим на вторые скобки, и так далее. Можно даже помочь себе, закрыв остальные слагаемые ручкой или карандашом.

Умножаем первое слагаемое из первых скобок, 7y², на каждое слагаемое из вторых скобок. Поскольку перед 7y² стоит знак «+», то и перед вторыми скобками стоит «+». Значит, знаки в скобках не меняются. Получаем 28y³-7y⁴.

Затем умножаем второе слагаемое из первых скобок, 10y, на каждое слагаемое из вторых скобок. Перед 10y стоит знак «+», знаки в скобках не меняются: 40y²-10y³.

Все вместе записываем так:

Теперь приводим подобные слагаемые:

Немного практики, и вы убедитесь, что умножать многочлены — это не сложно. Важна лишь внимательность и знание предыдущего матери

Источник

Умножение многочлена на многочлен: правило, примеры

Одним из действий с многочленами является умножение многочлена на многочлен. В данной статье рассмотрим правило такого умножения и применим его при решении задач.

Правило умножения многочлена на многочлен

Зададим два многочлена a + b и c + d и выполним их умножение.

Рассуждения, которые мы привели выше, дают возможность сделать важные выводы:

Теперь можем сформулировать правило умножения многочленов:

Для осуществления умножения многочлена на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и найти сумму полученных произведений.

Примеры умножения многочлена на многочлен

В практическом решении задач нахождение произведения многочленов раскладывается на несколько последовательных действий:

Решение

Последним действием преобразуем записанную сумму в многочлен стандартного вида: 2 · x 2 + 2 · ( − 7 · x ) + 2 · 1 − 3 · x · x 2 − 3 · x · ( − 7 · x ) − 3 · x · 1 = = 2 · x 2 − 14 · x + 2 − 3 · x 3 + 21 · x 2 − 3 · x = = ( 2 · x 2 + 21 · x 2 ) + ( − 14 · x − 3 · x ) + 2 − 3 · x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Кратко без пояснений решение будет выглядеть так:

( 2 − 3 · x ) · ( x 2 − 7 · x + 1 ) = 2 · x 2 + 2 · ( − 7 · x ) + 2 · 1 − 3 · x · x 2 − 3 · x · ( − 7 · x ) − 3 · x · 1 = = 2 · x 2 − 14 · x + 2 − 3 · x 3 + 21 · x 2 − 3 · x = = ( 2 · x 2 + 21 · x 2 ) + ( − 14 · x − 3 · x ) + 2 − 3 · x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Уточним, что, когда исходные многочлены заданы в нестандартном виде, перед тем, как найти их произведение, желательно привести их к стандартному виду. Результат, конечно, будет тот же, но решение станет удобнее и короче.

Решение

Один из заданных многочленов записан в нестандартном виде. Исправим это, приведя его к стандартному виду:

Теперь найдем искомое произведение:

Напоследок проясним ситуацию, в которой есть необходимость перемножить три и более многочленов. В этом случае нахождение произведения сводится к последовательному перемножению многочленов по два: т.е. сначала перемножаются первые два многочлена; полученный результат умножается на третий многочлен; итог этого умножения – на четвертый многочлен и так далее.

Решение

Найдем результат этого умножения:

Ответ:

( x 2 + x · y − 1 ) · ( x + y ) · ( 2 · y − 3 ) = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + + 2 · x · y 3 − 3 · x · y 2 − 2 · x · y + 3 · x − 2 · y 2 + 3 · y

Источник

Правила перемножения многочленов между собой

Что такое многочлен

Начать изучение темы умножения многочленов стоит с разбора основных терминов и их особенностей, которые также пригодятся при делении.

Одночленом называют произведение, компонентами которого являются числа, переменные и степени.

Многочлен является выражением в алгебре, составленным в форме суммы или разности нескольких одночленов.

2 x + 4 x y 2 + x + 2 x y 2

В действительности, многочлен всегда состоит из суммы одночленов. К примеру:

3 x − 5 y − 2 x = 3 x + ( − 5 y ) + ( − 2 x )

В связи с этим, при совершении самостоятельных действий с многочленами учитывают знаки одночленов, которые входят в состав сложного выражения.

Члены многочлена — одночлены, которые входят в состав этого многочлена.

Двучлен — многочлен, состоящий из пары членов.

Трехчлен — многочлен, состоящий из трех членов.

Свободный член многочлена — обычное число без буквенной части, которое входит в состав многочлена.

3 x + 5 y + z + 7 — многочлен, где 7 — свободный член.

В качестве многочленов можно представить любые выражения с числами.

Стандартный вид многочлена является представлением многочлена, как суммы из одночленов стандартного вида, в которой отсутствуют подобные одночлены.

Алгоритм приведения многочлена в стандартный вид:

Подобные слагаемые, входящие в состав многочлена, носят название подобных членов многочлена. Под приведением подобных слагаемых, из которых состоит многочлен, понимают приведение подобных членов этого многочлена, обладающих по определению идентичной буквенной составляющей.

В качестве тренировки попробуем привести многочлен к стандартному виду:

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2

2 x + 4 x y 2 + x − x y 2 = 3 x + 3 x y 2

В полученном выражении отсутствуют подобные члены. Таким образом, удалось получить многочлен стандартного вида:

Многочлены характеризуются определенной степенью. Сформулируем алгоритм. В процессе определения степени одночлена выполняют следующие действия:

Степень многочлена стандартного вида — максимальная из имеющихся степеней одночленов, которые входят в состав данного многочлена.

В некоторых заданиях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены, а затем многочлен, из которых он состоит. К примеру, имеется многочлен:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 x 2 2 x

На первом этапе следует привести к стандартному виду одночлены:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 2 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 – 5 x 3

Полученный многочлен допустимо записать в стандартном виде с помощью приведения его подобных членов в уравнении:

3 x x 4 + 3 x x 3 − 5 x 2 x 3 − 5 2 2 x = 3 x 5 + 3 x 4 − 5 x 5 – 5 x 3 = − 2 x 5 + 3 x 4 − 5 x 3

Требуется привести многочлен к стандартному виду:

3 a b + 4 c c + a b + 3 c 2

На первом шаге приведем второй одночлен к стандартному виду. Получим:

3 a b + 4 c c + a b + 3 c 2 = 3 a b + 4 c 2 + a b + 3 c 2

Затем следует выполнить приведение подобных членов:

3 a b + 4 c 2 + a b + 3 c 2 = 4 a b + 7 c 2

В результате можно записать многочлен в стандартном виде:

Особенности умножения многочлена на многочлен

Существуют принципы, согласно которым выполняют умножение одночленов, двучленов и трехчленов:

Умножение многочленов предполагает умножение каждого члена, который входит в состав одного многочлена, на каждый член из членов, принадлежащих второму многочлену. Далее полученные результаты необходимо суммировать и привести полученное выражение к многочлену стандартного вида при наличии такой возможности.

Рассмотрим правило на практическом примере:

Согласно алгоритму, требуется каждый из членов первого многочлена ( х + 3 ) перемножить со всеми членами, входящими в состав второго многочлена. Целесообразно обратиться в процессе вычислений к распределительному закону умножения:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x y + 3 y

Затем найдем произведение ( х + 3 ) и 4. Поступим аналогично с предыдущим расчетом:

Выполним вычисления, продолжая расчеты в начальном выражении:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x y + 3 y + 4 x + 12

Разберем второй способ выполнения умножения многочленов. В процессе попробуем каждый их членов одного многочлена перемножить с другим многочленом полностью, а затем, суммировать полученные выражения:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x ( y + 4 ) + 3 ( y + 4 )

Результат преобразований выглядит, как произведение одночлена и многочлена. Вычислим:

( x + 3 ) ( y + 4 ) = x ( y + 4 ) + 3 ( y + 4 ) = x y + 4 x + 3 y + 12

Результат получился такой же, как в решении задачи первым способом. Отличается лишь порядок, в котором расположены члены.

У арифметической операции умножения многочлена на многочлен имеется геометрический смысл. Представим себе некий прямоугольник с длиной а и шириной b:

Найти площадь этой геометрической фигуры можно путем умножения его сторон:

При увеличении сторон прямоугольника на х и у получим:

После того как стороны достроены, следует выделить цветом полученные прямоугольники:

Далее определим площадь для нового прямоугольника. Целесообразно рассчитать площадь каждого маленького прямоугольника и суммировать полученные результаты:

a b + x b + a y + x y

Данное выражение аналогично расчету площади прямоугольника, когда длину умножают на ширину:

В результате получилось справедливое равенство:

( a + x ) ( b + y ) = a b + x b + a y + x y

Рассмотрим пример, в котором стороны прямоугольника имеют числовые значения. Предположим, что длина геометрической фигуры составляет 6 см, ширина равна 3 см. В дальнейшем увеличим длину прямоугольника на 2 см, а к ширине прибавим 1 см.

После построения дополнительных прямоугольников выделим их цветом для наглядности:

Общая площадь прямоугольника составит:

6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32

( 6 + 2 ) ( 3 + 1 ) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Если пересчитать по клеточкам на рисунке, то получим 32 квадратных сантиметра:

Правило и алгоритм умножения многочлена на многочлен

Вывести правило, согласно которому умножают многочлены, можно с помощью наглядного примера. Представим, что необходимо перемножить пару многочленов:

Умножим многочлен на одночлен:

Заменим обратно х на многочлен и выполним преобразования:

a ( c + d ) + b ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Таким образом, получилась формула, по которой умножают один многочлен на другой многочлен:

( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d

Заметим, что результатом произведения многочленов в любом случае является многочлен.

При умножении одного многочлена на другой многочлен следует каждый из членов первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а полученные результаты суммировать.

Стандартный алгоритм умножения многочлена на многочлен:

Примеры решения задач по алгебре для 7 класса

Умножить многочлен a + b на многочлен c + d.

Дополним многочлены скобками и составим произведение:

Перемножим члены многочленов, согласно правилу:

( a + b ) ( c + d ) = a c + b c + a d + b d

Ответ: a c + b c + a d + b d

Найти произведение многочленов:

Перемножим члены многочленов:

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2 − 2 x y − 2 x y 2 − 4 y 3

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2 − 2 x y − 2 x y 2

( − x − 2 y ) ( x + 2 y 2 ) = − x 2 − 2 x y − 2 x y 2 − 4 y 3

Ответ: − x 2 − 2 x y − 2 x y 2 − 4 y 3

Требуется умножить многочлены:

( 4 a 2 + 2 a b − b 2 ) ( 2 a − b )

Найдем произведение каждого члена первого многочлена и каждого члена второго многочлена:

( 4 a 2 + 2 a b − b 2 ) ( 2 a − b ) = 8 a 3 + 4 a 2 b − 2 a b 2 − 4 a 2 b – 2 a b 2 + b 3

Приведем подобные слагаемые:

( 4 a 2 + 2 a b − b 2 ) ( 2 a − b ) = 8 a 3 − 4 a b 2 + b 3

Ответ: 8 a 3 − 4 a b 2 + b 3

Нужно умножить многочлены:

Воспользуемся сочетательным законом умножения. Согласно этому правилу, выражение, включающееся в себя несколько сомножителей, вычисляется в любом порядке. Применительно к нашей задаче, получим:

− 1 ( a + b ) ( с − d ) = − 1 ( a c + b c − a d − b d )

− 1 ( a + b ) ( с − d ) = − 1 ( a c + b c − a d − b d ) = − a c − b c + a d + b d

− 1 ( a + b ) ( с − d ) = ( − a − b ) ( с − d ) = − a c − b c + a d + b d

Ответ: − a c − b c + a d + b d

Нужно найти произведение многочленов:

x 2 ( x + 5 ) ( x − 3 ) = x 2 ( x 2 + 5 x – 3 x – 15 ) = x 4 + 5 x 3 – 3 x 3 – 15 x 2 = x 4 + 2 x 3 – 15 x 2

Источник

Как умножить многочлен на многочлен

Ключевые слова конспекта: произведение многочленов, умножение одночлена на многочлен, умножение многочлена на многочлен.

1. Умножение одночлена на многочлен

Пусть требуется умножить одночлен 2а 3 на многочлен 3а 4 – 4а 2 + а.
Составим произведение 2а 3 (3а 4 – 4а 2 + а).

При умножении одночлена на многочлен пользуются следующим правилом:

Распределительный закон умножения относительно сложения, на котором основано правило умножения одночлена на многочлен, древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. доказывал на языке «геометрической алгебры»: если одна из сторон прямоугольника является суммой нескольких отрезков, то площадь всего прямоугольника можно найти как сумму площадей его частей. Например, если а = а 1 + а 2 + а 3 – одна сторона прямоугольника, b – его вторая сторона, то площадь прямоугольника равна ab = (ах + а 2 + а 3 )b = ах 6 + а 2 b + а 3 b. Если считать а = а 1 + а 2 + а 3 многочленом, а b – одночленом, то мы получим правило умножения многочлена на одночлен.

В рассмотренном примере мы представили произведение одночлена и многочлена в виде многочлена. Вообще произведение одночлена и многочлена всегда можно представить в виде многочлена. Причём степень произведения будет равна сумме степеней одночлена и данного многочлена.

Пример 1. Умножим одночлен –3ху на многочлен 2х 2 у + 4ху 2 – 1.
Имеем:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –3ху • 2х 2 у + (–3ху) • 4ху 2 + (–3ху) • (–1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.

Запись можно вести короче, не выписывая промежуточные результаты:
–3ху • (2х 2 у + 4ху 2 – 1) = –6х 3 у 2 – 12х 2 у 3 + 3ху.

Каждое из произведений преобразуем в многочлен и сложим полученные многочлены:
4а(2а + 5) + 2а(3а – 1) – 1,5а(2а – 4) = 8а 2 + 20а + 6а 2 – 2а – 3а 2 + 6а = 11а 2 + 24а.

2. Умножение многочлена на многочлен

Пусть требуется умножить многочлен а + b на многочлен с + d. Составим произведение этих многочленов:
(а + b)(c + d).

Обозначим двучлен а + b буквой х и воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
(а + b)(с + d) = х(с + d) = хс + xd.

В выражение хс + xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
хс + xd = (а + b)c + (а + b)d = ас + bc + ad + bd.

Итак,
(а + b)(c + d) = ас + bc + ad + bd.

Этот же результат для положительных а, b, с, d можно увидеть на рисунке, интерпретируя, вслед за Евклидом, произведение двучленов как площадь прямоугольника.

Произведение (а + b)(с + d) мы представили в виде многочлена ас + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, которые получаются при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + d.

Мы пришли к следующему правилу:

При умножении многочлена а + b на многочлен с + d мы снова получили многочлен. Вообще произведение двух любых многочленов можно представить в виде многочлена. При этом если многочлен, содержащий m членов, умножается на многочлен, содержащий n членов, то в произведении получается многочлен, состоящий из mn членов (до приведения подобных членов). Этим удобно пользоваться для самоконтроля.

Пример 1. Умножим 3а 2 – 4аb + b 2 на многочлен 2а – b.

Умножение многочленов можно выполнять в столбик.

Из приведённого примера можно сделать полезный вывод: степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов–множителей. Действительно, первый множитель – многочлен степени 2, второй – двучлен степени 1, а их произведение – многочлен степени 2 + 1 = 3.

Рассмотрим пример умножения двух многочленов с одной переменной.

Пример 2. Представим в виде многочлена стандартного вида произведение многочленов 2x 2 – 3х + 1 и 5x + 4.

(2х 2 – 3х + 1)(5х + 4) = 10х 3 + 8х 2 – 15х 2 – 12х + 5х + 4 = 10х 3 – 7х 2 – 7х + 4.

Старшие коэффициенты многочленов–множителей равны 2 и 5, а старший коэффициент произведения равен 10. Свободные члены многочленов–множителей равны 1 и 4, а свободный член произведения многочленов равен 4. Легко видеть, что старший коэффициент произведения многочленов равен произведению старших коэффициентов множителей. Аналогично, свободный член произведения многочленов равен произведению свободных членов многочленов–множителей.

Пример 3. Упростим выражение (3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3).
Умножим многочлен 3х – 4 на многочлен 2х + 1, а многочлен х – 2 – на многочлен 6х + 3 и вычтем из первого произведения второе:
(3х – 4)(2х + 1) – (х – 2)(6х + 3) = (6х 2 – 8х + 3х – 4) – (6х 2 + 3х – 12х – 6) =
= 6х 2 – 8х + 3х – 4 – 6х 2 – 3х + 12х + 6 = 4х + 2.

Это конспект по математике на тему «Произведение многочленов». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Многочлены

Определения и примеры

Многочлен — это сумма одночленов.

Например, выражение 2x + 4xy 2 + x + 2xy 2 является многочленом. Проще говоря, многочлен это несколько одночленов, соединенных знаком «плюс».

Но это действие нагромождает многочлен скобками, поэтому вычитание на сложение не заменяют, учитывая в будущем, что каждый одночлен многочлена будет рассматриваться вместе со знаком, который перед ним располагается.

Одночлены, из которых состоит многочлен, называют членами многочлена.

Если многочлен состоит из двух членов, то такой многочлен называют двучленом. Например, многочлен x + y является двучленом.

Если многочлен состоит из трёх членов, то такой многочлен называют трехчленом. Например, многочлен x + y + z является трехчленом.

Если какой-нибудь многочлен содержит обычное число, то это число называют свободным членом многочлена. Например, в многочлене 3x + 5y + z + 7 член 7 является свободным членом. Свободный член многочлена не содержит буквенной части.

Многочленом также является любое числовое выражение. Так, следующие выражения являются многочленами:

Сложение многочленов

К многочлену можно прибавить другой многочлен. Например, прибавим к многочлену 2x + y многочлен 3x + y.

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «плюс», указывая тем самым, что мы складываем многочлены:

Теперь раскрываем скобки:

Далее приведём подобные слагаемые:

Таким образом, при сложении многочленов 2x + y и 3x + y получается многочлен 5x + 2y.

Разрешается также сложение многочленов в столбик. Для этого их следует записать так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполнить самó сложение. Решим предыдущий пример в столбик:

Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений. Как говорят при сложении обычных чисел — «сносится».

Решим этот же пример с помощью скобок:

Пример 3. Сложить многочлены 7x 3 + y + z 2 и x 3 − z 2

Решим этот пример в столбик. Запишем второй многочлен под первым так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом:

Решим этот же пример с помощью скобок:

Вычитание многочленов

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание:

Теперь раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые. Слагаемые y и −y являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю

Приводя подобные слагаемые, мы обычно складываем их. Но в качестве знака операции можно использовать знак одночлена. Так, приводя подобные слагаемые y и −y мы сложили их по правилу приведения подобных слагаемых. Но можно не складывая, записать их друг за другом

Получится тот же результат, поскольку выражения y + (−y) и y − y одинаково равны нулю:

Возвращаемся к нашему примеру. Вычеркнем члены y и −y :

Или без сложения, записав члены друг за другом:

Решим этот же пример в столбик:

Пример 2. Вычесть из многочлена 13x − 11y + 10z многочлен −15x + 10y − 15z

Решим этот пример с помощью скобок, а затем в столбик:

Следует быть внимательным при вычитании в столбик. Если не следить за знаками, вероятность допустить ошибку очень высокá. Нужно учитывать не только знак операции вычитания, но и знак располагающийся перед слагаемым.

Так, в данном примере из слагаемого 10z вычиталось слагаемое −15z

Складывая или вычитая многочлены при помощи скобок, первый многочлен в скобки можно не заключать. Так, в данном примере из многочлена 13x − 11y + 10z требовалось вычесть многочлен −15x + 10y − 15z

Вычитание было записано так:

Но первый многочлен можно не заключать в скобки:

Заключение первого многочлена в скобки на первых порах позволяет начинающим наглядно увидеть, что второй многочлен полностью вычитается из первого, а не из определенной его части.

Представление многочлена в виде суммы или разности

Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов. По сути это обратное действие раскрытию скобок, поскольку идея подразумевает, что имеется некий многочлен, и из него можно образовать сумму или разность многочленов, заключив в скобки некоторые из членов исходного многочлена.

В скобки также можно было бы заключить члены 3x, 5y, z и прибавить это выражение в скобках к члену 7

Представляя многочлен в виде разности многочленов, нужно придерживаться следующего правила. Если члены заключаются в скобки после знака минуса, то этим членам внутри скобок нужно поменять знаки на противоположные.

Но мы видим, что после знака минуса следует заключение членов z и 7 в скобки. Поэтому этим членам нужно поменять знаки на противоположные. Делать это нужно внутри скобок:

Вообще, представляя многочлен в виде суммы или разности, можно придерживаться следующих правил:

Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.

Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.

Пример 1. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде суммы каких-нибудь двучленов:

Пример 2. Представить многочлен 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 − 4 в виде разности каких-нибудь двучленов:

Перед вторыми скобками располагался минус, поэтому члены 5x 2 и −4 были записаны с противоположными знаками.

Многочлен и его стандартный вид

Многочлен, как и одночлен, можно привести к стандартному виду. В результате получается упрощенный многочлен, с которым удобно работать.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением его подобных членов.

Подобные члены многочлена это члены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Как и у одночлена, у многочлена имеется степень. Чтобы определить степень многочлена, сначала его нужно привести к стандартному виду, затем выбрать тот одночлен, степень которого является наибольшей из всех.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

В некоторых многочленах прежде всего требуется привести к стандартному виду одночлены, входящие в него, и только потом приводить сам многочлен к стандартному виду.

Например, приведем многочлен 3xx 4 + 3xx 3 − 5x 2 x 3 − 5x 2 x к стандартному виду. Этот многочлен состоит из одночленов, которые не приведены к стандартному виду. Сначала приведём их к стандартному виду:

Пример 2. Привести многочлен 3ab + 4cc + ab + 3c 2 к стандартному виду.

Далее приведём подобные члены:

Пример 3. Привести многочлен 4x 2 − 4y − x 2 + 17y − y к стандартному виду.

Приводя подобные члены, можно использовать скобки. Для этого подобные члены следует заключить в скобки, затем объединить выражения в скобках с помощью знака «плюс».

Теперь в скобках выполним приведение подобных членов:

В получившемся выражении (3x 2 ) + (12y) раскроем скобки:

Конечно, такой подход нагромождает выражение, но зато позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Пример 4. Привести многочлен 12x 2 − 9y − 9x 2 + 6y + y к стандартному виду.

Заключим в скобки подобные слагаемые и объединим их с помощью знака «плюс»

Далее вычисляем содержимое скобок:

Избавляемся от скобок при помощи раскрытия:

Изменение порядка следования членов

Многочлен это сумма одночленов. То есть исходный двучлен двучлен x − y является суммой x и −y

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Тогда x и −y можно поменять местами

Пример 2. В двучлене −y − x поменять местами члены.

Двучлен −y − x это сумма членов −y и −x

Таким образом, решение можно записать покороче:

Пример 3. Упорядочить члены многочлена x + xy 3 − x 2 в порядке убывания степеней.

Умножение одночлена на многочлен

Одночлен можно умножить на многочлен. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Вычислим получившиеся произведения:

Умножение желательно выполнять в уме. Так решение получается короче:

В некоторых примерах одночлен располагается после многочлена. В этом случае опять же каждый член многочлена нужно перемножить с одночленом и полученные произведения сложить.

Например, предыдущий пример мог быть дан в следующем виде:

В этом случае мы умножили бы каждый член многочлен (2x + y + 5) на одночлен 3x 2 и сложили бы полученные результаты:

Умножение одночлена на многочлен (или умножение многочлена на одночлен) основано на распределительном законе умножения.

Вообще, умножение одночлена на многочлен, да и распределительный закон умножения имеют геометрический смысл.

Допустим, имеется прямоугольник со сторонами a и b

Увеличим сторону b на c

Достроим отсутствующую сторону и закрасим для наглядности получившийся прямоугольник:

Теперь вычислим площадь получившегося большого прямоугольника. Он включает в себя желтый и серый прямоугольники.

или ширину умножить на длину, чтобы расположить буквы a, b и c в алфавитном порядке:

Таким образом, выражения a × (b + c) и ab + ac равны одному и тому же значению (одной и той же площади)

К примеру, пусть у нас имеется прямоугольник длиной 4 см, и шириной 2 см, и мы увеличили длину на 2 см

2 × (4 + 2) = 2 × 4 + 2 × 2 = 12.

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится двенадцать квадратных сантиметров:

Пример 2. Умножить одночлен 2a на многочлен a 2 − 7a − 3

Умножим одночлен 2a на каждый член многочлена a 2 − 7a − 3 и сложим полученные произведения:

Пример 3. Умножить одночлен −a 2 b 2 на многочлен a 2 b 2 − a 2 − b 2

Умножим одночлен −a 2 b 2 на каждый член многочлена a 2 b 2 − a 2 − b 2 и сложим полученные произведения:

Пример 4. Выполнить умножение −1,4x 2 y 6 (5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 )

Умножим одночлен −1,4x 2 y 6 на каждый член многочлена 5x 3 y − 1,5xy 2 − 2y 3 и сложим полученные произведения:

Пример 5. Выполнить умножение

Умножим одночлен на каждый член многочлена и сложим полученные произведения:

Выполняя короткие решения, результаты записывают сразу друг за другом вместе со знаком полученного члена. Рассмотрим поэтапно, как было выполнено короткое решение данного примера.

Сначала одночлен нужно умножить на первый член многочлена , то есть на . Умножение выполняется в уме. Получается результат . В исходном выражении ставим знак равенства и записываем первый результат:

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на второй член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является положительным, то есть со знаком плюс . В исходном выражении этот результат записывается вместе с этим плюсом сразу после члена

После этого в исходном выражении никаких знаков ставить нельзя. Нужно сразу приступать к следующему умножению.

Следующим шагом будет умножение одночлена на третий член многочлена , то есть на . Получается результат . Этот результат является отрицательным, то есть со знаком минус. В исходном выражении этот результат записывается вместе со своим минусом сразу после члена

Иногда встречаются выражения, в которых сначала нужно выполнить умножение одночлена на многочлен, затем опять на одночлен. Например:

Умножение также можно было бы выполнить сначала умножив (a + b) на с и полученный результат перемножить с членом 2

В данном случае срабатывает сочетательный закон умножения, который говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

То есть умножение можно выполнять в любом порядке. Это не приведёт к изменению значения изначального выражения.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Например, умножим многочлен x + 3 на y + 4

Заключим в скобки каждый многочлен и объединим их знаком умножения ×

Получаем умножение многочлена (x + 3) на одночлен 4. Выполним это умножение. Умножение необходимо продолжать в исходном примере (x + 3)(y + 4) = xy + 3y

Таким образом, при умножении многочлена (x + 3) на многочлен (y + 4) получается многочлен xy + 3y + 4x + 12.

По другому умножение многочлена на многочлен можно выполнить ещё так: каждый член первого многочлена умножить на второй многочлен целиком и полученные произведения сложить.

Решим предыдущий пример, воспользовавшись этим способом. Умножим каждый член многочлена x + 3 на весь многочлен y + 4 целиком и сложим полученные произведения:

В результате приходим к умножению одночлена на многочлен, которое мы изучили ранее. Выполним это умножение:

Получится тот же результат что и раньше, но члены полученного многочлена будут располагаться немного по другому.

Умножение многочлена на многочлен имеет геометрический смысл. Допустим, имеется прямоугольник, длина которого a и ширина b

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

То есть выражения (a + x)(b + y) и ab + xb + ay + xy тождественно равны

Представим, что у нас имелся прямоугольник, длиной 6 см и шириной 3 см, и мы увеличили его длину на 2 см, а ширину на 1 см

Достроим отсутствующие стороны и закрасим для наглядности получившиеся прямоугольники:

6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 32

(6 + 2)(3 + 1) = 6 × 3 + 2 × 3 + 6 × 1 + 2 × 1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Действительно, в получившемся большом прямоугольнике содержится тридцать два квадратных сантиметра:

Пример 2. Умножить многочлен a + b на c + d

Заключим исходные многочлены в скобки и запишем их друг за другом:

Теперь умножим каждый член первого многочлена (a + b) на каждый член второго многочлена (c + d)

Пример 4. Выполнить умножение (−x − 2y)(x + 2y 2 )

Умножим каждый член многочлена (−x − 2y) на каждый член многочлена (x + 2y 2 )

Результат перемножения членов нужно записывать вместе со знаками этих членов. Рассмотрим поэтапно, как был решён данный пример.

Пример 5. Выполнить умножение (4a 2 + 2ab − b 2 )(2a − b)

Умножим каждый член многочлена (4a 2 + 2ab − b 2 ) на каждый член многочлена (2a − b)

В получившемся выражении можно привести подобные слагаемые:

Пример 6. Выполнить умножение −(a + b)(с − d)

Согласно сочетательному закону умножения, если выражение состоит из нескольких сомножителей, то его можно вычислять в любом порядке.

Либо можно было перемножить −1 с первым многочленом (a + b) и результат перемножить с многочленом (с − d)

Пример 7. Выполнить умножение x 2 (x + 5)(x − 3)

Пример 8. Выполнить умножение (a + 1)(a + 2)(a + 3)

Итак, перемножим (a + 1) и (a + 2)

Полученный многочлен (a 2 + a + 2a + 2) перемножим с (a + 3)

Если быстрое перемножение многочленов на первых порах даётся тяжело, можно воспользоваться подробным решением, суть которого заключается в том, чтобы записать, как каждый член первого многочлена умножается на весь второй многочлен целиком. Такая запись хоть и занимает место, но позволяет свести к минимуму допущение ошибок.

Например, выполним умножение (a + b)(c + d)

Запишем как каждый член многочлена a + b умножается на весь многочлен c + d целиком. В результате придём к умножению одночлена на многочлен, выполнять которое проще:

Такая запись удобна при умножении двучлена на какой-нибудь многочлен, в котором содержится больше двух членов. Например:

Или при перемножении многочленов, содержащих больше двух членов. Например, умножим многочлен x 2 + 2x − 5 на многочлен x 3 − x + 2

Получили привычное для нас умножения одночленов на многочлены. Выполним эти умножения:

В получившемся многочлене приведём подобные члены:

Одночлены, входящие в получившийся многочлен, расположим в порядке убывания степеней. Делать это необязательно. Но такая запись будет красивее:

Вынесение общего множителя за скобки

Мы уже учились выносить общий множитель за скобки в простых буквенных выражениях. Теперь мы немного углубимся в эту тему, и научимся выносить общий множитель за скобки в многочлене. Принцип вынесения будет таким же, как и в простом буквенном выражении. Небольшие трудности могут возникнуть лишь с многочленами, состоящими из степеней.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене x 2 + x + xy

Все члены данного многочлены имеют коэффициент единицу. Наибольший общий делитель модулей из этих единиц есть единица. Поэтому числовая часть выносимого за скобки множителя будет единицей. Но единицу в качестве коэффициента не записывают.

Каждый член многочлена представлен в виде произведения множителей, из которых состоят эти члены. Легко заметить, что во всех трёх произведениях общим сомножителем является x. Выделим его:

Этот множитель x и вынесем за скобки. Опять же при вынесении общего множителя за скобки каждое слагаемое исходного выражения делим на этот общий множитель. В нашем случае каждый член многочлена x × x + 1 × x + x × y нужно разделить на общий множитель x

В результате в скобках остаются члены, которые не имеют общих буквенных сомножителей, а модули коэффициентов этих членов не имеют общих делителей, кроме 1.

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2

Определим коэффициент общего множителя, выносимого за скобки. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов 15, 12 и 3 это число 3. Значит, число 3 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.

Теперь определим буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки. Её нужно выбирать так, чтобы в скобках остались члены, которые не содержат общего буквенного множителя.

Перепишем буквенные части исходного многочлена 15x 2 y 3 + 12xy 2 + 3xy 2 в виде разложения на множители. Это позволит хорошо увидеть, что именно можно вынести за скобки:

В итоге общим множителем, выносимым за скобки, будет множитель 3xy 2

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении x 2 + x

В данном случае за скобки можно вынести x

Не следует на письме подробно расписывать содержимое каждого члена, разлагая его на множители. Это легко делается в уме.

Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y

Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 5y 2 − 15y 3

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в многочлене 20x 4 − 25x 2 y 2 − 10x 3

Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в многочлене a m + a m + 1

Проверка на тождественность

Решение задачи с многочленами порой растягивается на несколько строк. Каждое следующее преобразование должно быть тождественно равно предыдущему. Если возникают сомнения в правильности своих действий, то можно подставить произвольные значения переменных в исходное и полученное выражение. Если исходное и полученное выражение будут равны одному и тому же значению, то можно быть уверенным, что задача была решена правильно.

Допустим, нам нужно вынести общий множитель за скобки в следующем многочлене:

В данном случае за скобки можно вынести общий множитель 2x

2x + 4x 2 = 2 × 2 + 4 × 2 2 = 4 + 16 = 20

Теперь подставим значение 2 в преобразованное выражение 2x(1 + 2x)

2x(1 + 2x) = 2 × 2 × (1 + 2 × 2 ) = 4 × 5 = 20

2x + 4x 2 = 2 × 1 + 4 × 1 2 = 2 + 4 = 6
2x(1 + 2x) = 2 × 1 × (1 + 2 × 1 ) = 2 × 3 = 6

Пример 2. Вычесть из многочлена 5x 2 − 3x + 4 многочлен 4x 2 − x и проверить полученный результат, подставив вместо переменной x произвольное значение.

Видим, что при каждом преобразовании значение выражения при x = 2 не менялось. Это значит, что задача была решена правильно.

Источник