Как умножаются смешанные дроби
Как умножать смешанные числа
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 15 человек(а).
Количество просмотров этой статьи: 25 238.
Смешанное число – число, состоящее из целой и дробной частей, например 3 ½. Перед умножением двух смешанных чисел их необходимо преобразовать в неправильные дроби. Эта статья расскажет вам, как умножить смешанные числа, следуя нескольким простым правилам.
При преобразовании числа 4 1 /2 в неправильную дробь сначала умножьте целую часть (4) на знаменатель дроби (2): 4*2 = 8.
Сложите полученное 8 и числитель 1: 8 + 1 = 9.
При преобразовании числа 6 2 /5 в неправильную дробь сначала умножьте целую часть (6) на знаменатель дроби (5): 6*5 = 30.
Сложите полученное 30 и числитель 2: 30 + 2 = 32.
Умножение дробей: теория и практика
Понятие дроби
Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:
Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.
Дроби могут быть двух видов:
Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:
Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:
Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.
Основные правила дробей
Умножение дробных чисел
Рассмотрим несколько вариантов умножения обыкновенных дробей.
Как умножить дробь на дробь
Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:
Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:
Как умножить смешанные дроби
Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.
Как умножить дробь на натуральное число
Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.
Метод 2. Знаменатель разделить на натуральное число, а числитель оставить прежним.
Этот способ будет удобнее предыдущего, если знаменатель делится на натуральное число без остатка.
Решение задач
Ребятам в 5 и 6 классе нужно практиковаться как можно чаще, чтобы решать такие примеры быстро и легко.
Задание 1. Выполнить умножение 2/17 на 5.
Как решаем: перемножим числитель и натуральное число.
Ответ:
Задание 2. Выполнить умножение 4/15 и 55/6.
Как решаем:
Ответ:
Задание 3. Выполнить умножение одной целой трех седьмых на шесть.
Как решаем:
Ответ:
Онлайн-курсы по математике для детей и подростков — прекрасный способ разобраться в новом материале и закрепить его на практике.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Умножение смешанных дробей
Перечень рассматриваемых вопросов:
– умножение смешанной дроби на натуральное число;
– возведение смешанной дроби в степень;
– умножение смешанных дробей.
Распределительный закон умножения – чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Переместительный закон умножения – от перестановки множителей произведение не меняется.
Площадь прямоугольника – произведение длины на ширину.
Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.
Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На предыдущих уроках вы научились умножать обыкновенные дроби и записывать смешанные дроби в виде неправильных.
Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.
Чтобы записать смешанную дробь неправильной дробью, надо знаменатель дробной части умножить на целую часть, прибавить числитель дробной части и полученное число записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.
Этих умений достаточно, чтобы сегодня научиться умножать смешанные дроби.
Правило умножения смешанных дробей звучит так: чтобы умножить смешанные дроби, нужно записать их в виде неправильных дробей и выполнить умножение с обыкновенными дробями.
Результат получился тот же, что и при умножении.
Рассмотрим ещё один случай применения распределительного закона умножения для упрощения вычислений.
Найдём сумму произведения трёх целых четырёх пятых и пяти восьмых с произведением четырёх целых одной пятой и пяти восьмых.
В этих произведениях есть одинаковый множитель – пять восьмых. Его по распределительному закону вынесем за скобки, в которых останется сумма трёх целых четырёх пятых и четырёх целых одной пятой. Найдём значение суммы в скобках. Складываем отдельно целые части – три и четыре – это будет семь, и дробные части – четыре пятых и одну пятую – это будет пять пятых.
Сумму целой и дробной части записываем смешанной дробью – семь целых пять пятых и умножаем на пять восьмых. Так как дробная часть получившейся смешанной дроби – неправильная дробь, равная одному, то смешанную дробь заменяем на восемь целых. Умножаем восемь на пять восьмых – это пять.
Расставим порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках. В скобках есть умножение и сложение. Умножение выполняется в первую очередь, затем сложение. Четвёртым действием будет вычитание из числа суммы в скобках. Пятое действие – нахождение частного в знаменателе. Шестое действие – деление числителя исходной дроби на знаменатель. Деление заменяется умножением, а умножать мы научились:
Итак, чтобы умножить смешанные дроби необходимо:
• представить эти смешанные дроби неправильными дробями;
• выполнить умножение неправильных дробей;
• сократить, если возможно;
• представить неправильную дробь, полученную в результате умножения, смешанной дробью.
При возведении смешанной дроби в степень нужно:
• представить эту смешанную дробь неправильной дробью;
• возвести полученную неправильную дробь в нужную степень.
№ 1. Поставьте на места пропусков числа так, чтобы вычисления были верными.
Умножение смешанных чисел
Содержание
При умножении и делении смешанных чисел мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит.
Умножение смешанного числа на натуральное число
Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.
Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:
При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.
Для того чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.
Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.
$$a \cdot b\frac
При желании эту запись можно продолжить так:
Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?
Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.
Давайте проверим на примере:
$$4 \cdot 6\frac<1> <3>= 4 \cdot \Big(\frac<6 \cdot 3> <3>+ \frac<1> <3>\Big)$$
У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть
Но можно ли было решать по-другому?
Проверим, срабатывает ли этот способ.
$$4 \cdot \Big(6 + \frac<1> <3>\Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac<1> <3>= 24 + \frac<4> <3>= 24 + 1 + \frac<1> <3>= 25\frac<1><3>$$
Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.
Умножение смешанных чисел на дроби
При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.
Разберём на примере такой задачи.
Для того чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится
Можно ли было применить распределительный закон умножения?
В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:
$$3 \frac<3> <8>\cdot \frac<1> <2>= 3 \cdot \frac<1> <2>+ \frac<3> <8>\cdot \frac<1><2>$$
Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.
Умножение смешанного числа на смешанное число
При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.
Сначала переведём обе смешанные дроби в неправильные.
Затем выполним умножение дробей:
Какие можно сделать выводы?
Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.
При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.
Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.
Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.
Деление смешанных чисел происходит по сходным правилам.
Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения
Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.
Умножение смешанных чисел
Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.
Используем правила умножения смешанных чисел:
Рассмотрим решения на примерах.
Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.
Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:
36 · 10 5 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 5 5 · 3 · 3 = 2 · 2 · 2 1 = 8
Ответ: 7 1 5 · 1 1 9 = 8 .
Умножение смешенного и натурального числа
После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа.
41 · 45 18 = 41 · 3 · 3 · 5 2 · 3 · 3 = 41 · 5 2 = 205 2 = 102 1 2
Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:
10 3 8 · 8 = 10 + 3 8 · 8 = 10 · 8 + 3 8 · 8 = 80 + 3 = 83
Ответ: 10 3 8 · 8 = 83 .
Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби
Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.