Как умножать со степенью
Как умножать степени
Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?
В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:
При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:
При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:
В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:
Свойства степеней. Действия со степенями
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).
Свойства степеней и действия с ними
Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?
Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!
Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.
P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Степени. Коротко о главном
Определение степени:
Свойства степеней:
| Произведение степеней с одинаковым основанием: | \( <^ |
| Произведение степеней с одинаковыми показателями: | \( <^ |
| Деление степеней с одинаковым основанием: | \( \frac<<^ |
| Деление степеней с одинаковыми показателями: | \( \frac<<^ |
| Возведение степени в степень: | \( <<\left( <^ |
| Дробная степень: | \( <^<\frac |
Особенности степеней:
Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.
Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.
Сложение
Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.
Умножение
Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(\displaystyle 2\cdot 8=16\).
Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».
В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.
Согласись, \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16\).
И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.
И другая таблица, красивее:
А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.
Возведение числа в степень
Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.
Например, \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=<<2>^<5>>\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(\displaystyle 32\).
И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.
Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.
Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.
Примеры из жизни
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером \( \displaystyle 3\) метра на \( \displaystyle 3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.
Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \( \displaystyle 9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \( \displaystyle 9\) кусков. Это легко…
Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет \( \displaystyle 10\) см на \( \displaystyle 10\) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать.
Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \( \displaystyle 30\) плиток (\( \displaystyle \frac<300\ см><10\ см>=30\) штук) и по другой тоже \( \displaystyle 30\) плиток.
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень».
Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.
Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.
Квадрат – это изображение второй степени числа.
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)
Нарисуй бассейн: дно размером \( \displaystyle 3\) на \( \displaystyle 3\) метра и глубиной \( \displaystyle 3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?
Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.
В нашем случае объем бассейна будет равен \( \displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…
Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.
У тебя есть \( \displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 5\) лет?
Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп!
Ты заметил, что число \( \displaystyle 2\) перемножается само на себя \( \displaystyle 6\) раз. Значит, два в шестой степени – \( \displaystyle 64\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \( \displaystyle 64\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…
Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?
У тебя есть \( \displaystyle 1\) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 4\) года?
Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \( \displaystyle 4\) раза.
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.
Правила умножения и деления степеней
Что представляют собой степенные выражения
Степенью n для числа а является произведение множителей, которые по величине равны а, взятое n раз.
здесь а представляет собой основание степени, n определяет ее показатель.
Таким образом, можно составить формулу:
Запись можно прочитать, как «a в степени n».
Степенное выражение представляет собой такое выражение, в состав которого входит степень.
Перед тем, как рассмотреть действия со степенными выражениями, полезно вспомнить свойства степени:
Правила умножения, что происходит
Если степени имеют одинаковые показатели, то в процессе их перемножения следует умножить между собой основания, а показатель записать без изменений:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
В качестве примера решим несколько простых уравнений:
a 5 × b 5 = ( a × a × a × a × a ) × ( b × b × b × b × b ) = ( a × b ) n = ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) × ( a b ) = ( a b ) 5
3 5 × 4 5 = ( 3 × 4 ) 5 = 12 5 = 248832
16 a 2 = 4 2 × a 2 = ( 4 a ) 2
Когда требуется найти произведение степеней, которые обладают одинаковыми основаниями, следует сложить показатели степеней:
В качестве примеров рассмотрим несколько вычислений:
3 5 × 3 2 = 3 5 + 3 = 3 8 = 6561
2 8 × 8 1 = 2 8 · 2 3 = 2 11 = 2048
При умножении чисел, которые имеют разные степени, но схожи по основаниям, необходимо руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере. То есть:
где а и b являются основаниями степени, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
Бывают ситуации, когда числа отличаются по степеням и по основаниям, а также какое-то из оснований невозможно преобразовать в число с аналогичной степенью, как у второго числа. В этом случае нужно возвести в степень каждое число, а на втором шаге выполнить умножение.
3 3 × 5 2 = 27 × 25 = 675
Правила деления
Когда требуется выполнить деление степеней, которые имеют разные основания, но схожи по показателям, нужно найти разность показателей и оставить основание без изменений:
где а является основанием степени, n и m — это показатели степени в виде каких-либо натуральных чисел, m>n.
В качестве примеров рассмотрим несколько выражений:
Деление степеней, которые имеют одинаковые показатели, подразумевает возведение результата частного данных чисел в степень:
где а и b являются основаниями степени в виде любых рациональных чисел, не равных нулю, n — это показатель степени в виде какого-либо натурального числа.
5 12 ÷ 3 12 = ( 5 ÷ 3 ) 12 = ( 1 2 3 ) 12
Предположим, что требуется выполнить деление чисел со степенями. При этом степени не одинаковые, а основания идентичные. Тогда следует руководствоваться правилом, рассмотренным в предыдущем примере:
В том случае, когда отличаются не только степени, но и основания, необходимо возвести в степень каждое из чисел, а затем выполнить умножение. Например:
Примеры решения заданий для 7 класса
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание:
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих одинаковое основание, чтобы избавиться от необходимости возводить число в большую степень:
2 7 = 2 3 × 2 4 = 8 × 16 = 128
Воспользуемся правилом умножения степеней, имеющих разные основания, но одинаковые показатели:
3 2 × 2 2 = ( 3 × 2 ) 2 = 6 2 = 36
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Здесь можно применить правило деления степеней с одинаковым основанием и разными показателями:
Воспользуемся свойством деления степеней, когда основания отличаются, а показатели совпадают:
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..
| Делимое | y 2m | 8a n+m | 12(b + y) n |
| Делитель | y m | 4a m | 3(b + y) 3 |
| Результат | y m | 2a n | 4(b +y) n-3 |
Или:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.