Как умножать по китайски

Способы умножения

Все знают, как умножать в столбик, немного меньше людей знают об умножении линиями, но есть и другие интересные способы.

Умножение чисел — это очень простая операция, фактически, то же самое, что и суммирование. Конечно, пока сами числа не большие.

2х3=2+2+2 (три раза по два) или 24х6=24+24+24+24+24+24 (шесть раз по 24)

То есть, знать таблицу умножения вовсе не обязательно? Да, но с ней удобнее. Например, в случае умножения чисел 235х4596, число 4596 придется сложить 235 раз! Или наоборот, 235 сложить 4596 раз…

Слово «сложить» употреблено не зря. Вот простой способ в этом убедиться. Нужно взять листок бумаги сложить его 5 раз в одном направлении, а потом 3 раза в другом. Получится действие 5х3. Считаем получившиеся от сгибания прямоугольники — их 15. Это то же самое, если бы мы взяли 3 полоски ткани (или чего угодно) длинной 5 и сложили вместе.

Как ни крути, а получается — 15!

Необычные способы умножения

В школе нас учат использовать два инструмента: таблицу Пифагора (считается что таблицу умножения придумал именно этот греческий математик) и умножению «в столбик». Это действительно самые эффективные инструменты? Кроме них есть еще несколько интересных способов умножать числа. Может, какой-то из них будет проще и учить таблицу не придется?

По-крестьянски

Использовался для определения площади земельного участка. Например, имеем поле длинной 6 и шириной 5.

Чтобы узнать, сколько будет 6х5 делаем следующее: левое число делим на 2, а правое умножаем на 2, пока от левого числа не останется единица.

2/2= 1 | 10*2=20

4х5=20, все правильно, так же как и 1х20=20

Что происходит при таком способе? Мы разделяем прямоугольник пополам, пока его ширина не станет равняться единице. Делить на два не сложно.

Вот только что будет, если одна из сторон не будет делиться на 2? Будет долгий и не такой уж простой процесс.

6/2=3 | 2*2=4 → 12

3/2=1,5 | 4*2=8 → 12

Если в левой части четное число — эту строку не считаем, если значение меньше единицы — тоже отбрасываем, остается вторая и третья строка, а это 8+4=12. А если представить, что умножит нужно 173 на 735? Нет, такой способ умножения не самый легкий и простой.

Можно делить/умножать и на 3, но тогда нужно знать таблицу умножения «на три», тогда уж и 5 и 7 и… Да, удобнее выучить ее всю. Также, если будет необходимо перемножить большие числа, процесс будет очень длинным.

Восточный способ

То ли китайский, то ли японский способ умножения, при помощи линий, он же «графический». Его суть состоит в том, что цифры первого числа изображаются в виде параллельных линий, а второго — перпендикулярных им. Количество пересечений и является результатом умножения. То есть, здесь знать таблицу умножения не нужно, достаточно уметь суммировать. Например, так:

2 х 3 и даже 15 х 12

Японский или китайский метод, суть не меняется

Как работает умножение с помощью линий?

Первое число (фиолетовым цветом на картинке) рисуется так: Снизу вверх, слева на право, сначала тысячи, потом сотни, десятки, единицы. Второе число (голубым цветом на картинке) рисуется наоборот: сверху-вниз.

В первом примере все просто 2 и 3. Две линии пересекают 3 другие, получается 6 точек. Во втором, сначала рисуем 15 — единицу (один десяток), потом пять линий изображающих 5 (пять единиц). Потом (12) перпендикулярно ей вторую единицу и 2 линии.

Далее нужно посчитать пересечения, но уже в обратном направлении. Начинать справа. В примере это 10, 7 и 1. Результат складывается в столбик:

Если сравнить с традиционным «столбиком», сперва может показаться, что японско-китайский метод проще…

А что делать, если нужно умножить 10 на 12? Как изобразить «ноль» линией? Никак, он участия не принимает, можно нарисовать его пунктиром и пересечение не считать, все просто…

Но вот уже случае 853х951 рисовать и считать точки придется очень много. Старый-добрый столбик опять окажется удобнее. Каждый сам может попробовать перемножить 9878 и 8794 «японским методом» и засечь необходимое время.

Японский метод с нулем

Эта методика не универсальна, совсем не подходит, когда числа достаточно большие, зато ее очень просто объяснить маленьким детям, которые еще не знают таблицу умножения.

Жалюзи

Встречается еще и название «решетки» и индийский метод умножения. Поверить в индийское происхождение проще всего, если вспомнить, кто вообще придумывал эту вашу математику в древности. Итак, чтобы умножить два числа, нужно построить матрицу (если угодно — таблицу, мы же пытаемся быть проще).

Так как в каждом числе по 2 цифры, таблица будет 2х2. Каждую ячейку нежно перечеркнуть по диагонали. Далее записываем слева-на-право, и сверху-вниз цифры 4, 5, 8, 2 напротив каждой ячейки. Начинаем умножать цифры находящиеся напротив друг-друга. 4 на 8, 5 на 8, 4 на 2 и 5 на 2.

Ну вот опять нужна таблица умножения, иначе придется долго складывать числа.

Результаты записываются в ячейки хитрым способом, десятки над диагональю, а единицы — под ней. Но, если значение меньше 10 (то есть это одна, а не две цифры), то вместо десятки верху пишется «ноль», как при умножении 4х5. Но можно оставить поле пустым.

Теперь, чтобы узнать результат, нужно посчитать сумму в каждой диагонали, как показано на картинке. Сверху-вниз:

0+2+4=6

8+1=9

В результате получаем 3690.

Тоже достаточно просто, только с небольшими значениями, для умножения трехзначных чисел придется рисовать таблицу размером 3х3=9 ячеек.

Как умножать в столбик

Вот мы и добрались к самому традиционному методу. Так нас учат в школе умножать большие числа. Как же это работает и проще ли всех экзотически способов? Записываем два числа одно под другим 23х12:

1 2

Умножать начинаем «с конца». Берем последнюю цифру последнего числа, это 2. Умножаем на 3, получаем 6 и на 2, получаем 4. так и записываем их с конца 46. Повторяем то же самое со второй цифрой — 1.

Умножаем 1 на 3 и на 2. Записываем ниже 23. Только сместив на одну позицию влево. Так чтобы под цифрой 6 было пусто, а 2 оказалось под 4.

Все что осталось сделать, это сложить все цифры сверху вниз. 6+0, 4+3, 0+2. Если в какой то паре получается больше 9, то остаток переносится вправо. Так 4+3=7, но если бы мы сложили 5+6=11, то записали бы 1 и в правую колонку добавили бы еще 1.

Вы наверняка знаете как это все делается и делали сами. Но теперь, зная все остальные способы умножения можете оценить проще ли умножение в столбик всех остальных методов.

Какой метод умножения лучше?

Если перепробовать все способы умножения чисел, становится очевидно, что все представленные альтернативные методы умножения — это все варианты знакомого «столбика». Также операции разбиваются на более мелкие: сначала умножение, потом — суммирование.

Только в так называемом китайском/японском способе умножение как таковое не используется (вместо него пересечение линий) и в этом варианте действительно можно обойтись без таблицы умножения, но придется много рисовать, что повышает вероятность совершить ошибку при пересчете точек пересечения.

Есть мнение, что популярность умножения в столбик вызвана именно компактностью записи. Так на умножение требуется меньше бумаги, меньше чернил (да, чернила раньше использовались и тоже стоили денег) и, соответственно, времени.

Знать нетрадиционные методики интересно и даже полезно, но школьная таблица умножения, все же быстрее, а если вы знаете как умножать в столбик — это удобнее, чем любой другой способ. Если, конечно, не считать калькулятор.

Источник

Китайское или японское умножение

В России мы привыкли умножать числа традиционным способом, которому нас учили в школе, записывая числа-множители столбиком (подробнее про наше умножение ). Однако в азиатских странах, таких как Япония и Китай принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация. Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы и японцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан японский и китайский способ умножения чисел.

Это видео показывает, как умножать по-японски и по-китайски:

Многим покажется, что такой способ японского или китайского умножения слишком сложен и запутан, но это только на первый взгляд. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых (множителей) на одной плоскости, дает нам зрительную поддержку, тогда как традиционный способ умножения подразумевает большое количество арифметических действий только в уме. Китайское или японское умножение помогает не только быстро и эффективно умножать двухзначные и трехзначные числа друг на друга без калькулятора, но и развивает эрудицию. Согласитесь, не каждый сможет похвастаться тем, что на практике владеет древнейшим китайским методом умножения (*), который актуален и прекрасно работает и в современном мире.

*) Японская или китайская таблица умножения? Археологами в Японии была найдена деревянная табличка с фрагментом таблицы умножения, которая предположительно была изготовлена в VIII веке. Учёные полагают, что подобные таблицы использовались японскими императорскими чиновниками, которым было необходимо осваивать разные науки, в том числе и арифметику.
Обнаруженная табличка — самая древняя из всех найденных в Японии ранее. Интересно, что иероглифы, которыми записаны цифры, по стилю графического начертания очень похожи на те, которые использовались как официальное письмо во времена китайской династии Тан VII-X века. Исходя из этого, ученые предположили, что таблица была скопирована из китайского учебника арифметики того времени, то есть вся японская таблица умножения была заимствована из Китая.

Именно к своим соседям в Китай ездили высокопоставленные японцы каждый год, чтобы перенять у них разные науки, такие как арифметику. Древняя китайская таблица умножения была не из простых, так как включала в себя умножение двузначных чисел друг на друга. Вряд ли все японские чиновники могли выучить такую таблицу наизусть, поэтому и носили с собой на работу что-то типа шпаргалок, фрагмент одной из которых и представляет собой найденная археологами в Японии табличка.

Итак, японская таблица умножения была заимствована у китайцев, которые, согласно некоторым гипотезам, и были одними из создателей первой арифметической системы, о чем свидетельствуют археологические находки, содержащие фрагменты таблицы умножения, возраст которых ученые оценили в 2700-3000 лет.

Источник

Техника умножения чисел по-китайски.

В Китае давно существует свои метод перемножения чисел, отличный от привычного для нас. Он позволяет легко и быстро перемножать двух или трехзначные числа с помощью нехитрой схематичной таблицы, которую может изобразить даже школьник младших классов.

Как же китайцы умножают числа? Давайте разберемся!

Сначала берем любые два двухзначных числа, например, 12 и 14. В привычном нам русском варианте, мы бы поставили между ними знак умножения «x» и выполнили подсчет в столбик или в уме (для тех, у кого левое полушарие мозга работает активнее). Но в Китае люди оказались намного креативней и придумали высчитывать ответ благодаря черточкам. Перед вами числа 12 и 14, рядом на листочке или в тетради (кому как удобно) вы рисуете десятки в правой части, а единицы в левой. Из числа 12 у вас получится: одна палочка справа и две слева.

Второе число раскладываем также, но рисуем черточки параллельно первым. Исход: одна сверху и четыре снизу.

Дальше самое интересное! Мы условно группируем пересечения на сотые, десятки и единицы вот таким образом:

Самое первое пересечение в левом верхнем углу –сотые неизвестного числа. Так как линии пересекаются всего раз, то первая цифра ответа – 1.

Теперь мы считаем десятки, нам нужно посмотреть на нижний левый угол и правый верхний. Посчитаем…

Получается 6 точек пересечения. В ответ пишем цифру 6.

В последнюю очередь считаем единицы искомого числа. В правом нижнем углу всего 8 точек пересечения, ответ 8.

Ответ готов! 12 x 14 =168.

Китайцы умножают числа без калькуляторов, с помощью этого метода возможно решить практически любой пример.

Предлагаю разобрать еще один вариант, где двузначное число умножается на трехзначное.

Берем выражение 25 x 123, первое число будем записывать по вертикали. А второе по горизонтали, разбив его на сотни, десятки и единицы.

Здесь выделяется четыре области пересечения прямых, т.к. число в ответе получится четырехзначное.

Пересчитав все точки пересечения, выходит вот такое число. Не спешите говорить, что тут ошибка и автор явно не освоил китайский метод умножения. Сейчас мы перейдем к финальной части и все сразу встанет на свои места.

Записываем это огромное и некрасивое число ступенями и складываем значения. (Не забываем превратить однозначные числа в двузначные).

Вот такой ответ у нас получается, для уверенности можете проверить все на калькуляторе.

Такой метод используется не только в Китае, но и в других Азиатских странах. На первый взгляд он может показаться долгим и не совсем понятным. Я думаю тут играет роль специфика нашего восприятия информации. Китайцы, использующие в повседневной жизни множество иероглифов, привыкли запоминать информацию визуально, в то время как мы наоборот лучше воспринимаем на слух или заучиваем как стишки на всю жизнь.

Источник

Умножение по китайскому и японскому способу

Сразу отметим, что математика прошлых веков более громоздкая и требует значительных затрат времени, поэтому современному человеку, особенно европейцу, будет сложно сразу понять логику действий. С другой стороны, если захотеть и усердно тренироваться, то вполне реально выработать необходимые навыки. Интересно, что дети гораздо быстрее схватывают нестандартную систему, принятую в Китае и Японии, что связано с гибкостью ума и визуализацией вычислений.

Китайский метод

Ученые выделяют более 27 способов умножения в разных странах, но китайский метод считается одним из самых древних. Жители Поднебесной были тысячелетиями изолированы, поэтому смогли создать уникальную систему операций с числами, которую использовали при закупке товаров, планировании архитектуры зданий, измерении емкости сосудов и т.д. Китайская таблица умножения также использовалась в астрономических расчетах, а научная основа была сформирована в 17 веке после начала активного взаимодействия с европейскими учеными. Интересно, что здесь параллельно происходило развитие практической математической школы и арифмологии, нацеленной на изучение значений чисел.

Китайский способ умножения чисел предполагает использование линий, точнее, точек, в которых они пересекаются. При этом число прямых соответствует тому, сколько цифр в каждом разряде множителей. На первый взгляд, все кажется очень сложным, но на самом деле это вопрос привычки. Тренируясь каждый день, можно буквально за пару недель научиться перемножать большие числа и не ошибаться.

Рассмотрим на примере, как умножают китайцы. Итак, наша задача – узнать, сколько будет 21 на 32. Для расчета потребуется чистый лист бумаги и ручка либо карандаш. Порядок действий следующий:

Японский метод

Как и китайский, японский метод умножения базируется на визуализации. По сути, это его своеобразная вариация, ведь жители страны самураев позаимствовали способ у соседей, что подтверждается найденными археологами табличками, по которым императоры обучались математике. Отличительной особенностью умножения по японской методике является применение линий и кругов. Например, чтобы перемножить 12 на 34, вам предстоит:

Японская система умножения не только позволяет быстро выполнять сложные расчеты, но и развиваться интеллектуально, причем для отработки навыков не требуется никаких дорогостоящих приспособлений и большого количества времени. Отличный вариант – заниматься вместе с ребенком, другом или второй половинкой. Такой досуг будет интересен и полезен как малышам, так и взрослым, а чтобы разнообразить процесс, можно пользоваться разноцветными маркерами для обозначения десятков, сотен и единиц.

Какой способ лучше?

Поскольку методики, как считают японцы и китайцы, очень похожи, нельзя говорить о том, что какая-то из них лучше или хуже. Все зависит от личных предпочтений человека. Японская техника позволяет гораздо проще и быстрее определить разряды, зато китайская удобнее, так как линии легче нарисовать, чем круги. Попробовать стоит оба варианта, чтобы решить, какой предпочтительнее именно для вас.

Китайский и японский счет на пальцах

Кроме классической системы умножения в странах Азии очень даже сейчас популярна дактилономия, то есть вычисления при помощи пальцев. Такой способ практикуют во время обучения малышей и активно применяют на торговле, если под рукой нет калькулятора. Главное, что нужно знать о том, как китайцы считают на пальцах:

В зависимости от провинции в методике и значениях могут быть отличия.

Умножение по японской методике отличается от китайского:

Научиться считать и умножать, как в других странах, стоит каждому, ведь это не только прекрасная зарядка для ума, но и веселое времяпровождение!

Источник

Китайский алгоритм умножения

В Китае существуют множество техник вычисления, которые можно использовать по сей день, например:

«Китайский» алгоритм умножения трехзначных чисел, имеющий популярность на сайте Youtube, основан на законе дистрибутивности операции умножения, относительно операции сложения:

Рассмотрим этот алгоритм на примере умножения 242 и 121

Или, к примеру, чтобы устно умножить на 4, число дважды нужно умножить на два. Например: 51*2*2= 102*2=204

А если умножать на 5, то сначала умножают на 10, а после делят на 2.

Если число четное, легче сначала поделись на 2, а затем умножить на 10.

Например: 23*10:2 = 230:2=115; 16:2*10= 8*10=80

Чтобы устно умножить на 1,5, прибавляют множимому его половину.

Деление чисел происходит примерно так же, но в обратную сторону, т.е. если нам надо разделить на 4, число нужно дважды разделить на 2.

Для деления на 5, число нужно умножить на 2 и разделить на 10.

А для только что бы разделить на 1,5, число умножается на 2 и делится на три.

Запись цифр

Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки (рис. 1).

Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы. В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 («и», «эр», «сань», «сы», «у», «лю», «ци», «ба», «цзю»). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно. Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10 000 («ши», «бай», «цянь», «вань»). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.

Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. В чжоускую эпоху те же числа записывались еще как цифра 10, перечеркнутая соответственно двумя, тремя и четырьмя горизонтальными чертами. Цифры 100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются (насколько известно по найденным образцам иньской и чжоуской цифровой записи), хотя внутренняя логика системы этого требовала. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.

После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной.

Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения десятичных разрядов (рис. 2,1-я колонка таблицы).

Всякое число любого разряда за исключением единичного может быть записано и произнесено с помощью этих знаков (двух иероглифов): сначала ‒ цифра, обозначающая число единиц разряда, за ней ‒ название самого разряда. Например, число 1234 записывается как «и» «цянь» «эр» «бай» «сань» «ши» «сы», что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (в русском языке «одна тысяча двести тридцать четыре»). А число 38071 ‒ как «сань» «вань» «ба» «тянь» «чи» «ши» «и» и представляется так (см. рисунок слева).

Такого рода нумерацию, один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии Древнего мира Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.

Большие числа

Действительно, «вань», то есть 10 000 первоначально считался предельным числом. В «Цзо чжуань» 2 говорится: «Вань есть полное число».

В иньских числовых записях всегда указывалось: один десяток или первый из десяти, одна сотня, одна тысяча, но «вань» писали без слова «один». Современные иероглифы для десятков, сотен, тысяч ‒ комбинации единицы с древним иероглифом для этих разрядов (см. рис. 4) и в более поздние времена, «ванъ» употреблялся для выражения неопределенно больших количеств (к сравнению ‒ даже современное «ваньсуй», означающее десять тысяч лет в смысле «да здравствует»), часто с эпитетами: «большой», «громадный», «огромный». Например, в «Исторических записках» Сыма Цяня (II в. до н. э.) говорится: «В казначействе скоро будут сотни громадных ваней золотых монет».

В «Истории Ранней Хань», сообщается: «Расходы исчислялись десятками, сотнями огромных ваней», ‒ фраза, которая цитировалась и в нашем столетии, когда говорили о безумных тратах. «На работы потратили больших ваней более сотни».

Иногда же просто говорили: «Умершие исчислялись ванями, так что реки не могли течь» ( фраза из «Истории Поздней Хань»).

Или там же: «Клеветники исчислялись ванями».

Но границы человеческой деятельности постепенно раздвигались, и наступило время, когда потребовались еще большие числа. Начиная со II‒III вв. до н.э., а в отдельных случаях гораздо раньше в Китае стали применять числа, бóльшие ваня.

В четвертом классе этого числа новая единица не названа, в третьем ‒ это «и», хотя в более ранних текстах она обозначается иероглифом «чжао». «И» и «чжао» обнаружены в исторических книгах «Лицзи» и «Цзочжуань» (около IV в. до н. э.).

В эпоху Тан (VII‒IX вв. н. э.) эти две системы именовали «большим» и «малым» счетом ‒ так называл их Кун Ин-да, комментатор «Лицзи».

Подобный разнобой в наименованиях разрядов больших чисел наблюдался у других народов.

Из всего разнообразия систем в Китае утвердилась система, в которой показатели степеней основания составляют арифметическую прогрессию с разностью, равной четырем (см. столбец III табл. 1).

Источник