Как умножать на коэффициент

Числовой коэффициент — как найти его для буквенно-числовых и буквенных выражений

«Числовой коэффициент», или просто «коэффициент» — термин, который подразумевает под собой одно и то же математическое понятие. Усвоить, в чем смысл термина, очень просто, а найти числовой коэффициент на конкретном примере еще легче. Но для начала разберемся с официальным определением.

Что называют математическим числовым коэффициентом?

Согласно учебнику математики, если выражение состоит из одного числа и нескольких буквенных обозначений, умноженных друг на друга, то данное число и будет коэффициентом всего выражения. При этом количество букв не имеет значения — число может быть умножено на одну букву, на две или сразу на пять, оно все равно остается коэффициентом.

Например, рассмотрим следующие выражения:

Необходимо напомнить, что последнее правило распространяется и на выражения, где числовые обозначения стоят не друг рядом с другом, а разделены буквами. Например, 2*c*4*a — мы можем смело переписывать данное выражение в виде 2*4*с*а, потому что при умножении не имеет значения, в каком порядке стоят множители. И таким образом, коэффициент по-прежнему находится легко и просто — это будет число «8».

Не стоит теряться, если в задаче предлагается найти коэффициент для буквенного выражения без чисел — например, y*z. В данном случае всегда используется число «1» — поскольку выражение из примера можно записать в виде 1*y*z. Коэффициент находится в выражениях и с положительными, и с отрицательными множителями.

В каких случаях найти коэффициент для всего выражения нельзя?

Общий коэффициент не может быть найден, если предусмотрены другие действия, помимо умножения. Например, если взять 3*с + а, то число «3» будет коэффициентом лишь для одного из слагаемых, но никак не для всего выражения.

Источник

Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов

Сегодня мы разберем всего одну задачу, но решение у нее будет довольно длинным. Это задача B2 на сложные проценты — такая вполне может встретиться на настоящем ЕГЭ по математике, поэтому уметь решать ее совершенно необходимо.

В этом уроке мы начинаем изучать сложные задачи на проценты и решать их будем с помощью метода коэффициентов. Поясню суть этого метода. Для начала давайте вспомним формулу простого процента.

Что такое метод коэффициентов?

Пусть х — начальное значение нашей величины, k — проценты, на которые увеличивается или уменьшается наша величина, а y — итоговое значение величины, полученное после уменьшения или увеличения величины х на k %. Тогда все три величины связаны следующей формулой:

Плюс и или минус перед k ставится в зависимости от того, уменьшается или увеличивается исходная величина х. А теперь давайте раскроем дробь, получим следующее выражение:

Вот именно от этого множителя 1 ± k /100 и произошло название метода коэффициентов. Смотрите: если исходная величина х увеличивается, скажем, на 10%, то для того, чтобы получить итоговое значение величины, нужно умножить х на величину (1 + 10%), т. е. согласно наше формуле 1+ 0,1 = 1,1. Аналогично, если бы исходная величина х уменьшалась, скажем, на 30%, то для получения итогового значения нам нужно провести следующие операции:

Задача B2 на сложные проценты

Давайте посмотрим, как эта теория работает на практике. Итак, задача:

Задача B2. В школе 720 учеников, из них 25% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Как решать такую задачу? В первую очередь, чтобы найти количество учеников, изучающих немецкий язык, нужно из общего количества, т.е. 720 учеников, вычесть 25%, которые точно не изучают немецкий язык, потому что по условию задачи ученики начальных классов его не изучают точно. Другими словами, х = 720. Из этой величины с помощью метода коэффициентов получаем величину y ₁:

y ₁ = 720 · (1 − 0,25) = 720 · 0,75

Идем дальше. По условию из учеников средней и старшей школы, т. е. из того количества, которое мы только что нашли, только 30% изучают немецкий язык. Теперь давайте посчитаем второе значение — y ₂. Нам нужно найти 30% от полученного числа:

Давайте переведем все десятичные дроби в обычные и посчитаем:

Вот мы и нашли 30% от тех учеников, которые учатся в средней или старшей школе. Именно столько людей изучают немецкий язык. Все, задача решена. Ответ — 162.

Замечание по поводу сложных процентов

Единственный вопрос, который может возникнуть у учеников, относится вот к этому моменту:

Почему здесь при уменьшении на 30% мы вычитаем из единицы 0,3, а при решении задачи просто умножаем на 0,3? Все дело в условии задачи. Там написано, что среди учеников средней и старшей школы 30% изучают немецкий язык, т. е. нужно уменьшать не на 30%, а на 70%, чтобы получить 30%. Давайте посмотрим:

Таким образом, коэффициент 0,3 участвует в умножении совершенно обосновано.

Если нужно вычесть 30%, умножаем исходное число на 1 − 0,3 = 0,7. Если нужно добавить 30%, умножаем на 1 + 0,3 = 1,3. А если нужно просто найти 30% от исходного числа, умножаем на 0,3. Вот и все, что нужно знать о процентах.

Можно объяснить метод коэффициентов и несколько иначе. Если какая-то величина х, например, уменьшается на 20%, то новое значение этой величины равно:

А вот если нам дана некая величина х, от которой нужно найти 30% или 20%, то нам нужно просто умножить эту величину х на 0,3 или на 0,2, т. е. на проценты, деленные на 100.

Вот и вся суть метода коэффициентов. Надеюсь, этот урок будет полезен тем, кто учится решать сложные задачи на проценты и готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Источник

Урок 41 Бесплатно Коэффициент

В предыдущих уроках мы уже познакомились со свойствами действий с рациональными числами и раскрытием скобок. В этих темах у нас зачастую фигурируют не числа, а выражения.

В некоторых случаях у выражения можно выделить такое число, которое называют коэффициентом.

О том, что это такое, чему он равен, какой у него может быть знак и где его можно применить, мы узнаем в сегодняшнем уроке.

Определение коэффициента

Мы уже знаем переместительное и сочетательное свойства умножения.

Они позволяют нам упрощать выражения, что делает работу удобнее.

Упростим выражение \(\mathbf<\frac<1><2>a\cdot(-\frac<2><3>b)>\), используя эти свойства.

\(\mathbf<\frac<1><2>a\cdot(-\frac<2><3>b)=\frac<1><2>\cdot a\cdot(-\frac<2><3>)\cdot b=\frac<1><2>\cdot(-\frac<2><3>)\cdot a\cdot b=-\frac<1><3>\cdot a\cdot b=-\frac<1><3>ab>\)

Мы представили выражения как произведение четырех множителей, сгруппировали в начало численные множители, а в конец буквенные, далее мы перемножили имеющиеся численные множители так, чтобы получилось одно число.

В данном случае коэффициентом выражения будет являться число \(\mathbf<-\frac<1><3>>\)

Определение: если выражения является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называется числовым коэффициентом (или сокращенно коэффициентом).

Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями; также после него можно написать знак умножения, но обычно его не пишут, а он просто подразумевается.

Пример:

Каков коэффициент выражения \(\mathbf<0.4a>\)?

Проверяем, подходит ли выражение под определение: да, оно подходит, так как является произведением.

Числовой множитель только один, значит, ничего считать не надо, и мы сразу можем сказать, что коэффициент данного выражения равен \(\mathbf<0.4>\)

Пример:

Опять же, данное выражение является произведением, правда коэффициент пока не ясен, так как числовой множитель не один.

В данном случае, как и в примере из начала урока множители необходимо сгруппировать, в результате получим, что коэффициент равен \(\mathbf<3\cdot 2\cdot 4=24>\)

Что если мы хотим посчитать коэффициент выражения, которое является произведением одних лишь буквенных множителей?

Тут нам поможет следующая логика.

Например, очевидно такое равенство: \(\mathbf\)

Так мы можем приписать умножение на единицу к любому выражению, при этом значение выражения никак не изменится.

Таким образом мы получим необходимый для определения числовой множитель, он и будет коэффициентом.

Поэтому если мы видим выражения, состоящие из одних лишь буквенных множителей, то мы знаем, что их коэффициент равен единице.

Примеры:

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Знак коэффициента

Как мы уже определили в прошлой главе, коэффициент будет являться произведением числовых множителей.

Значит, знак коэффициента будет соответствовать знаку этого произведения.

Посмотрим на примерах:

Пример:

Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf<3a\cdot (-3)\cdot b>\):

В данном случае коэффициент получился равным \(\mathbf<-9>\), то есть отрицательным, так как произведение числовых множителей получилось отрицательным.

Пример:

Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf<-\frac<1><3>a\cdot (-\frac<1><2>)bc>\):

В данном случае количество отрицательных множителей четное, поэтому и коэффициент получается меньше нуля.

Если бы отрицательных множителей было число нечетное, то коэффициент получился бы отрицательным.

Правило: если выражение является произведением числовых и буквенных множителей и отрицательных числовых множителей четное количество, а остальные множители больше нуля, то коэффициент будет положительным; если же их нечетное количество, то коэффициент будет отрицательным.

Также мы знаем, что произведение любых чисел и нуля равняется нулю.

То же самое касается и буквенных множителей.

Пример:

\(\mathbf<\frac<1><2>ab\cdot 0c=0>\)

Поэтому такие выражения, которые являются произведением, а один из их множителей равен нулю, сами равны нулю.

Сразу можно понять, как можно использовать эти знания.

Представим, что у нас есть некоторая сумма. И если для каждого выражения, которое является слагаемым, мы посчитаем коэффициент, то, возможно, некоторые слагаемые уничтожаться, потому что их коэффициент окажется равен нулю.

Пример:

Как видите, нам не пришлось вдаваться в подробности слагаемого, так как один из его числовых множителей равен нулю.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Применение коэффициента выражений

Вы уже знаете с прошлых уроков, что умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.

То есть для любых рациональных чисел a, b и c будет верно равенство:

Мы знаем, что выражение, состоящее из рациональных чисел и включающее в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления, также будет равняться рациональному числу.

Также известно, что отношение равенства симметрично, то есть из того, что (\(\mathbf\)) следует, что (\(\mathbf\))

Значит, мы можем использоваться распределительное свойство и так:

Часто мы будем называть такой переход вынесением общего множителя (общим является множитель с).

Теперь применим все эти факты на практике.

Пример:

Упростим выражение \(\mathbf<345ab+345bc+345cd>\) :

Первым делом мы добавили скобки для наглядности, чтобы показать, что дальше мы будет упрощать сумму первых двух слагаемых.

К ним мы применили распределительной свойство и вынесли общий множитель 345.

Заметим, что теперь выражение представляет из себя два слагаемых, и у них у обоих есть общий множитель 345.

Поэтому в следующем действие мы снова выносим общий множитель.

Теперь остается убрать ненужные скобки, и мы получаем упрощенное выражение.

Кстати, на этом примере становится понятно, что распределительно свойство работает на любом количестве слагаемых:

Под троеточием в данном случае подразумевается сколько угодно много слагаемых, главное, что они такого же вида, как первые и последние.

То есть первое троеточие обозначает слагаемые, состоящие из одного числа (буквы), второе же троеточие обозначает слагаемые вида «слагаемое из левой части выражения домноженное на t».

Как же в данном случае нам может помочь коэффициент?

В нашем примере мы выносили общий множитель. Им как раз и является коэффициент таких выражений, как ab, bc и cd.

В примере он уже был везде посчитан и нам ничего не приходилось умножать.

Пример:

Упростим выражение \(\mathbf<30a+15b\cdot2c+10d\cdot3e>\) :

В данном случае мы сначала посчитали в каждом слагаемом коэффициент (слагаемые в данном случае являются не просто числами, а выражениями).

А далее мы поняли, что этот коэффициент является общим множителем и мы его выносим, пользуясь распределительным свойством.

Пример:

Это выражение можно упростить еще сильнее, вынося общий буквенный множитель. В данном случае в скобках у слагаемых общий множитель a и с, их и вынесем:

Здесь мы применили тот факт, что если у выражения не стоит коэффициент, то мы считаем, что его коэффициент равен единице.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник