Как умножать иррациональные числа

Иррациональные выражения

Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

— иррациональные выражения.

Сложение и вычитание корней

При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

Умножение и деление корней

При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Возведение корня в степень

Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

При возведении в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени — это взаимно сокращающиеся действия:

Извлечение корня

Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

, так как

С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.

Сокращение корней

Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.

Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

Приведение корней к общему показателю

Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:

Рассмотрим три выражения:

,

Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

Рассмотрим два выражения:

,

НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

Источник

Иррациональные числа

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел

Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.

Свойства иррациональных чисел:

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Определение рациональных чисел

А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.

Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля. Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами

Источник

Как умножать иррациональные числа

ДЕЙСТВИЯ НАД ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ И ВЫРАЖЕНИЯМИ.

Понятие об иррациональном числе.

183. Соизмеримые и несоизмеримые с единицею значения величины.

Как известно из геометрии, общею мерою двух отрезков прямой, или двух углов, или двух дуг одинакового радиуса, вообще двух значений одной и три же величины, называется такое значение этой величины, которое в каждом из них содержится целое число раз без остатка. В геометрии же разъясняется, что могжет быть такие два отрезка, которые не имеют общей меры (напр, сторона квадрата и его диагональ).

Два значения одной и той же величины называются соизмеримыми или несоизмеримыми между собою, смотря по тому, имеют ли они общую меру, или не имеют.

184. Понятие об измерении. Пусть требуется измерить длину отрезка AB при помощи единицы длины CD.

Для этого узнаем, сколько раз единица CD содержится в АВ. Пусть окажется, что она содержится в АВ 3 раза с некоторым остатком ЕВ, меньшим CD. Тогда число 3 будет приближенный результат измерения с точностью до 1 и притом с недостатком, так какAB больше 3CD, но меньше 4СD (число 4 тоже можно назвать приближенным результатом измерения с точностью до 1, но с избытком).

Если отрезок AВ несоизмерим с единицею длины CD, то точного результата измерения мы никогда получить не можем. Действительно, если допустим, что таким результатом была бы какая-нибудь дробь, напр. 59 /₂₇, то тогда 1 /₂₇ доля CD служила бы общею мерою для AВ И CD, а несоизмеримые отрезки общей меры не имеют.

Если же отрезок AВ соизмерим с CD, то мы могли бы получить точный результат измерения, если бы предварительно нашли общую меру для AВ и CD и узнали, сколько раз она содержится в AВ и CD. Если, положим, общая мера в AВ содержится 23 раза, а в CD 11 раз, то AВ = 23 /₁₁ единицы CD. Но если, не отыскивая общей меры, мы производим измерение произвольно взятыми долями единицы, то и в этом случае можем часто не получить точного результата измерения.

Измерение чаще всего производится посредством десятичных долей единицы; тогда результат измерения выражается десятичною дробью. Когда измеряемый отрезок соизмерим о единицею длины, то десятичная дробь может получиться или конечная (если общею мерою служит какая-нибудь десятичная доля единицы), или бесконечная (когда общая мера есть такая доля единицы, которая не обращается в точную десятичную дробь). Если же измеряемый отрезок несоизмерим с единицею длины, то точного результата измерения быть не может, и потому десятичная дробь должна оказаться бесконечной (если измерение продолжается все дальше и дальше без конца).

Иррациональное число считается известным (или данным ), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков.

Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, смотря по тому, измеряют ли они величины, считаемые положительными, или величины, считаемые отрицательными.

Возьмем из этих цифр несколько первых, напр, цифры 1,41, а остальные отбросим. Тогда мы получим приближенное значение числа α, причем это значение будет с недостатком, так как 1,41 3 и √ 2 ):

(Соответствующие приближенные значения с избытком получаются из этих чисел посредством усиления последнего десятичного знака на 1.)

Тогда: а) сложить α и β значит найти число, которое было бы

больше каждой из сумм:

и меньше каждой из сумм:

т. е. сложить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше суммы любых приближенных их значении, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближенных значении, взятых с избытком.

б) Беря приближенные значения чисел α и β, указанные сейчас, мы можем сказать, что произведение α β есть число, которое

больше каждого из произв.:

и меньше каждого из произв.:

т. е. перемножить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше произведения их любых приближенных значений, взятых с недостатком, но меньше произведения их любых приближенных значений, взятых с избытком.

в) Возвысить иррациональное число α во вторую, третью, четвертую и т. д. степени — значит найти произведение, составленное из двух, трех, четырех и т. д. сомножителей, равных α.

г) Обратные действия определяются для иррациональных чисел так же, как и для рациональных; так, вычесть из числа α число β значит найти такое число х, чтобы сумма β + х равнялась α, и т. п.

Если одно из чисел α или β будет рациональное, то в указанных определениях прямых действий вместо приближенных значений такого числа можно брать точное число.

Произведение иррационального числа на нуль принимается, как и для чисел рациональных, равным нулю.

Действия над отрицательными иррациональными числам и производятся согласно правилам, данным для рациональных отрицательных чисел.

При более обстоятельном рассмотрении можно установить, что действия над иррациональными числами обладают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными; напр., сумма и произведение обладают свойствами переместительным и сочетательным; произведение и деление, кроме того, обладают еще распределительным свойством. Свойства, выражаемые неравенствами, также сохраняются у чисел иррациональных; так, если α > β, то α + γ > β, αγ > βγ (если γ > 0) и αγ Иррациональные значения радикалов.

188. Приближенные корни любой степени. Мы уже говорили (отдел 7 глава 2 §§ 175-177), что такое приближенные квадратные корни с точностью до 1, до 1 /₁₀ и т.д. и как эти корни находятся. Сказанное тогда о квадратном корне может быть применено к корню всякой другой степени. Напр., приближенным 3 √ 2 с точностью до 1 /₁₀₀ называется такая десятичная дробь, состоящая из целых, десятых и сотых, куб которой меньше 2, но если увеличим ее на 1 /₁₀₀ и эту увеличенную дробь возвысим в куб, то получим больше 2.

1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2

два рядом стоящих числа таких, чтобы куб левого числа был меньше 2, а куб- правого больше 2. Для этого возьмем из чисел нашего ряда среднее 1,5 и возвысим его в куб. Мы найдем: 1,5 3 = 3,375, что больше 2. Так как числа, стоящие направо от 1,5 дают при возвышении в куб еще больше, то мы можем отбросить всю правую половину ряда и испытать только числа:

Возьмем среднее из них 1,2 и возшсим в куб. Получим 1,728, что меньше 2. Значит, испытанию подлежат теперь только числа 1,3 и 1,4. Возвысив в куб число 1,3, получим 2,197, что больше 2. Мы получили таким образом два числа 1,2 и 1,3, которые разнятся между собою на 0,1 и между кубами которых заключается число 2. Это и будут приближенные кубичные корни из 2 с точностью до 1 /₁₀ c недостатком и c избытком. Если желаем найти цифру сотых, мы должны испытать следующие числа:

Взяв в этом ряду среднее число 1,25 и возвысив его в куб, найдем: 1,25 3 = 1,953125, что меньше 2. Значит, теперь надо испытать только числа: 1,26; 1,27; 1,28; 1,29. Так как 1,25 3 очень мало разнится от 2, то весьма вероятно, что 1,26 3 будет больше 2. И действительно, возвысив 1,26 в куб, получим 2,000376. Значит, искомый кубичный корень из 2 с точностью до 1 /₁₀₀ будет 1,25 (с недостатком) или 1,26 (с избытком). Если бы мы желали далее найти цифры тысячных, то должны были бы подобным же путем испытать числа ряда:

1,251; 1,252; 1,253;. 1,259.

Эти значения будут:

1,7; 1,73; 1,732; 1,7320 (с нед.).

1,8; 1,74; 1,733; 1,7321 (с изб.).

Так как каждый приближенный корень с недостатком меньше каждого приближенного корня с избытком (потому что квадрат первого меньше 3, а квадрат второго больше 3), то каждая дочка b должна лежать налево от каждой точки В. С другой стороны, разность между приближенным корнем с избытком и соответствующим приближенным корнем с недостатком может быть сделана как угодно мала; поэтому при неограниченном увеличении точности, с какою мы находим приближенные квадратные корни из 3, промежуток на числовой прямой, отделяющий область точек B от области точек В (т. е. промежуток b₁B₁, b₂B₂, b₃B₃..), становится все меньше и меньше и может сделаться как угодно малым. При этих условиях мы должны допустить, что на прямой существует некоторая точка х (и только одна), которая служит границею, отделяющею ту часть прямой, на которой лежат все точки b, от той ее части, на которой расположены все точки В.

Поэтому все свойства радикалов, основанные на этом определении корня (отдел 6 глава 6 § 168), применимы также и к иррациональным их значениям. Таким образом, каковы бы ни были положительные числа, всегда будем иметь:

Понятие о приближенных вычислениях.

190. Предварительное замечание. При совершении какого-либо действия над числами иррациональными (или над числами рациональными, если они выражаются десятичными дробями с очень большим числом цифр) приходится довольствоваться приближенным результатом действия. В этом случае важно знать, как велика погрешность этого приближенного результата. Рассмотрим, как можно это делать в простейших случаях.

Погрешность, о которой мы сейчас говорили, называется абсолютною погрешностью в отличие от относительной погрешности, под которою разумеют отношение абсолютной погрешности к точному числу. Так, если вместо точного числа 3,826 мы берем приближенное 3,82, то относительная погрешность будет 0,006: 3,820 = 6:3826 = 0,001568. т. е. менее 0,002. Это значит, что, взяв приближение 3,82, мы ошиблись менее, чем на 0,002 точного числа.

Иногда относительную погрешность выражают в процентах точного числа, т. е. указывают, что погрешность менее стольких-то процентов точного числа. Так, если относительная погрешность менее 0,002 точного числа, то это значит, что она менее 0,2% этого числа, так как

В дальнейшем мы будем говорить только об абсолютной погрешности, называя ее просто „погрешность».

192. Десятичные приближения. Когда имеют дело с десятичными числами, то приближения их берут с точностьдо до 1 /₁₀, до 1 /₁₀₀ и т. д. и даже с точностью до 1 /₂ десятичной единицы. Такие приближения находятся по следующим правилам.

а) Чтобы получить приближение с недостатком данного десятичного числа (с конечным или бесконечным числом десятичных знаков) с точностью до одной десятичной единицы какого-либо разряда, достаточно отбросить в числе все цифры, стоящие вправо от той, которая выражает единицы этого разряда.

б) Чтобы получить приближение с избытком данного десятичного числа с точностью до одной десятичной единицы какого-либо разряда, достаточно, отбросив в числе все цифры, стоящие вправо от той, которая выражает единицы этого разряда, увеличить на 1 последнюю из удержанных цифр.

Так, приближение с избытком числа 3,14159. с точностью до 0,001 есть 3,142, потому что это число больше данного и погрешность его меньше 0,001.

в) Чтобы получить приближение данного десятичного числа с точностью до 1 /₂ десятичной единицы какого-либо разряда, достаточно, поступив так, как было сказано в правиле 1-м, увеличить на 1 последнюю из удержанных цифр, если первая из отброшенных цифр есть 5 или больше 5 (и тогда приближение будет с избытком), а в противном случае оставить ее без изменения (и тогда приближение будет с недостатком).

193. Погрешность приближенной суммы. Из свойств арифметического сложения мы знаем, что если какое-либо слагаемое уменьшится или увеличится на некоторое число, то и сумма уменьшится или увеличится на то же число. Поэтому если все слагаемые взяты с недостатком или все с избытком, то сумма в первом случае будет с недостатком, а во втором — с избытком, причем погрешность суммы равна сумме погрешностей всех слагаемых. Если же случится, что некоторые слагаемые взяты с недостатком, а другие с избытком, то погрешность, происходящая от слагаемых с недостатком, покроется вполне или частью противоположною погрешностью от слагаемых с избытком, и потому окончательная погрешность суммы менее суммы погрешностей слагаемых. Приведем примеры:

а) Пусть требуется найти суммы:

Положим, что в каждом слагаемом мы ограничиваемся тремя десятичными знаками после запятой:

Так как все слагаемые мы взяли с недостатком, то и сумма будет с недостатком; погрешность каждого слагаемого менее 1 /₂ тысячной, поэтому погрешность суммы 5,382 менее ( 1 /₂ + 1 /₂ + 1 /₂) тысячной, т.е. менее 1,5 тысячной. Если мы отбросим в числе 5,382 последнюю цифру 2, то еще уменьшим сумму на 2 тысячных, и погрешность числа 5,38 будет менее суммы 1,5 + 2 = 3,5 тысячных, что в свою очередь менее 5 тысячных, т. е. менее 3/г сотой. Таким образом, 5,38 есть приближенная сумма данных слагаемых, взятая с недостатком и точная до 1 /₂ сотой.

б) Пусть надо найти сумму пяти слагаемых, из которых каждое точно до 1 /₂ десятитысячной, причем неизвестно, взяты ли приближения с недостатком или с избытком, или, быть может, некоторые взяты с недостатком, а другие с избытком.

Тогда погрешность суммы 10,9005 будет во всяком случае меньше
1 /₂+ 1 /₂ + 1 /₂ + 1 /₂ + 1 /₂ = 2,5 десятитысячных; если же отбросим последнюю цифру 5 этой суммы, то мы eе уменьшим на 5 десятитысячных и погрешность будет меньше 5+2,5 = 7,5 десятитысячных, что меньше 10 десятитысячных, т.е. меньше 1 тысячной. Таким образом, число 10,900 есть приближенная оумма с недостатком (так как уменьшение на 5 десятитысячных больше возможного увеличения на 2,5 десятитысячных), точная до 1 тысячной.

Из этих примеров видно, что если требуется найти приближённую сумму с точностью до одной единицы какого-нибудь разряда, то мы должны в слагаемых взять десятичных знаков больше, чем их требуется иметь в окончательном результате (на 1 знак больше, если слагаемых не более 10). Пусть, напр., надо найти с точностью до 1 сотой сумму:

Тогда берем в слагаемых по 3 знака после запятой (отбросив все те, которые мы отделили вертикальной чертою). Число 95,534 есть приближенная сумма с недостатком, точная до 6 тысячных. Если отбросим еще последнюю цифру 4, то уменьшим сумму на 4 тысячных, и все уменьшение будет меньше 6 + 4 тысячных, т. е. менее 1 сотой. Таким образом, 95,53 есть приближенная сумма с недостатком, точная до сотой.

Заметим, что иногда последнюю цифру приближенной суммы следует увеличить на 1. Напр., положим, что в приведенном сейчас примере третий десятичный знак суммы 95,534 был бы не 4, а 9; тогда, отбросив его, мы получили бы сумму 95,53 с недостатком, с точностью до 6+ 9 = 15 тысячных, что составляет 1,5 сотой. Если увеличим последний десятичный знак на 1, т. е. возьмем число 95,54, то мы, очевидно, уменьшим погрешность на 1 сотую, вследствие чего она будет теперь менее 1 сотой (но остается неизвестным, с недостатком или с избытком будет приближенная сумма).

194. Погрешность приближенной разности. Из свойств арифметического вычитания мы знаем, что если уменьшаемое уменьшим или увеличим, то и разность уменьшится или увеличится на столько же; если же вычитаемое уменьшим или увеличим, то разность увеличится или уменьшится на столько же. Значит, если оба данные для вычитания числа взяты с недостатком или оба с избытком, то погрешность разности равна разности погрешностей данных чисел; если же одно данное число взято с недостатком, а другое с избытком, то погрешность разности должна равняться сумме погрешностей данных чисел. Приведем примеры:

Положим мы взяли в каждом числе только по 3 десятичных знака после запятой:

Так как оба приближения мы взяли с недостатком с точностью до 1 /₂ тысячной, то погрешность числа 0,318, равная разности погрешностей данных чисел, меньше 1 /₂ тысячной, причем остается неизвестным, будет ли приближенная разность с недостатком или с избытком (неизвестно, какое уменьшение больше: уменьшаемого или вычитаемого).

2) Пусть требуется найти разность приближенных чисел 7,283—5,496, точных до 1 тысячной, причем неизвестно, взяты ли они оба с недостатком, или оба с избытком, или одно с недостатком, а другое с избытком.

Погрешность разности не более суммы погрешностей данных чисел, т. е. не более 2 тысячных. Если отбросим последнюю цифру 7, то погрешность будет не более 7+2 = 9 тысячных, что меньше 10 тысячных =1 сотой.

Таким образом, если требуется найти разность данных приближенных чисел с точностью до одной единицы какого-нибудь разряда, то в данных числах можно ограничиться единицами этого разряда, отбросив все низшие разряды, если известно, что оба числа взяты с недостатком или оба с избытком; если же это неизвестно, то в данных числах надо взять одним разрядом больше, чем требуется иметь в результате, и последнюю цифру результата откинуть.

195. Погрешность приближенного произведения. Из свойств арифметического умножения мы знаем, что если один из двух сомножителей уменьшится или увеличится на какое-нибудь число, то произведение уменьшится или увеличится на это число, умноженное на другой сомножитель. Поэтому, если один из двух сомножителей точное число, а другой приближенное, то погрешность произведения равна погрешности приближенного сомножителя, умноженной на точный сомножитель.

Пример. Вычислить 2πR, где π = 3,1415926. и R = 2,4 м.

Ограничиваясь приближенным значением числа π с точноcтью до 1 /₂ тысячной (с избытком), получим:

2πR = 3,142 • 4,8 = 15,0816.

Погрешность меньше 1 /₂ • 4,8 = 2,4 тысячной, причем приближение будет с избытком. Отбросив в результате последние две цифры, т. е. 16 десятитысячных = 1,6 тысячной, мы уменьшим результат на столько же; значит, полученное число 15,08 будет точно до 2,4—1,6 = 0,8 тысячной, что меньше 1 тысячной (и поэтому результат 15,08 лучше изобразить так: 15,080); при этом остается неизвестным, будет ли приближение 15,08 с избытком или с недостатком.

Ограничиваясь четырьмя десятичными знаками после запятой, перемножим приближения с недостатком, взятые с точностью до 0,0001:

1,7320 • 1,4142 = 2,44939440.

Так как каждое из взятых приближений меньше 2, то погрешность найденного приближенного произведения меньше 0,0001•2 + 0,0001•2, т. е. меньше 4 десятитысячных, причем оно будет с недостатком. Если в этом произведении отбросим цифры 39440, то уменьшим еще произведение на число, меньшее 4 десятитысячных; тогда получим произведение 2,449, точное до 4 + 4 = 8 десятитысячных, что меньше 10 десятитысячных = 1 тысячной. Значит, приближенное произведение 2,449 будет с недостатком и точное до 0,001.

196. Сокращенное умножение. Укажем еще следующий прием сокращенного умножения, который позволяет быстро найти произведение с заранее заданною точностью. Пусть требуется найти с точностью до 0,001 произведение:

Мы сначала укажем, как производится сокращенное умножение, а потом объясним, почему.

Подписываем цифры множителя под множимым в обратном порядке справа налево так, чтобы цифра его простых единиц стояла под тою цифрою множимого, которая выражает единицы во 100 раз меньшие единицы разряда, выражающего данную точность, т. е. в нашем случае под цифрою 6 стотысячных:

Затем умножаем множимое на каждую цифру множителя не обращая при этом внимания на цифры множимого, стоящие вправо от той цифры множителя, на которую умножаем. Все эти частные произведения подписываем одно под другим так, чтобы первые справа их цифры стояли в одном вертикальном столбце, после чего их сложим. В полученном числе отбрасываем две последние цифры и увеличиваем на 1 последнюю из оставшихся цифр. Наконец, ставим запятую так, чтобы последняя цифра выражала единицы требуемого разряда, т. е. в нащем случае тысячные доли. Полученное число 23446,505 будет точно до 0,001 (остается неизвестным, с недостатком или с избытком).

Теперь объясним этот прием сокращенного умножения.

Прежде всего убедимся в том, что все частные произведения выражают единицы одного и того же разряда, именно во 100 раз меньшие единицы данного разряда (в нашем примере — стотысячные доли). Действительно, умножая на первую цифру 7 число 314159265, мы умножаем миллионные доли на десятки, значит, получаем в произведении стотысячные доли. Далее, умножая на 4 число 31415926, мы умножаем стотысячные доли на простые единицы; значит, получаем снова в произведении стотысячные доли, и т. д. Из этого следует, что сумма 2344650499 выражает стотысячные доли, т. е. она есть число 23446,50499. Покажем теперь, что погрешность в окончательном результате меньше 0,001.

Так как часть множимого, написанная направо от цифры 7 множителя, меньше 1 миллионной, то, пренебрегая произведением этой части на 70, мы уменьшаем результат на число, меньшее 7 стотысячных. Далее, так как часть множимого, написанная направо от цифры 4 множителя, меньше 1 стотысячной, то, пренебрегая произведением этой части на 4 простые единицы, мы уменьшаем результат на число, меньшее 4 стотысячных. Рассуждая подобным образом относительно всех прочих цифр множителя, на которые приходится умножать, заметим, что мы уменьшаем результат на число, меньшее 7 + 4 + 6 + + 3 + 2 + 5 + 4 + 3 + 9 стотысячных. Наконец, так как множимое меньше 1 тысячи, а часть множителя, написанная влево от множимого (на которую, следовательно, не приходится умножать вовсе), меньше 2 + 1 стомиллионных, то, пренебрегая произведением множимого на эту часть множителя, мы еще уменьшаем результат на число, меньшее 2 + 1 стотысячных. Следовательно, беря вместо точного произведения число 23446,50499, мы уменьшаем первое на число, меньшее (7 + 4 + 6 + 3 + 2 + 5 + 4 + 3 + 9) + 2 +1 стотысячных, т. е. вообще меньшее 101 стотысячной, если только сумма цифр множителя, на которые приходится умножать, увеличенная на первую из отбрасываемых его цифр, не превосходит 100 6 ) (это всегда имеет место, если число частных произведений не превосходит 10). Кроме того, отбрасывая две последние цифры результата, мы снова уменьшаем произведение на число, не превосходящее 99 стотысячных. Поэтому все уменьшение будет менее 101 + 99 стотысячных, т. е. менее 2 тысячных; если же последнюю цифру увеличим на 1, т. е. на 1 тысячную, то результат 23446,505 разнится от точного произведения менее, чем на 2—1 тысячной, т. е. менее одной тысячной (причем остается неизвестным, будет ли он с избытком или с недостатком).

Заметим, что увеличивать на 1 последнюю из удержанных цифр произведения не всегда необходимо. Это нужно было сделать в рассмотренном примере, потому что там погрешность произведения (до увеличения на 1 последней его цифры) менее суммы

(7 + 4 + 6 +3 + 2 + 5 + 4 + 3+ 9) + 2 + 1 + 99 стотысячных = 145 стотысячных,

которая заключается между 100 и 200 стотысячных. Но если бы отбрасываемые 2 цифры были не 99, а напр. 25, то погрешность произведения оказалась бы меньше суммы

(7 + 4 + 6 +3 + 2 + 5 + 4 + 3+ 9) + 2 + 1 + 25 стотысячных = 71 стотысячных,

что, в свою очередь, меньше 100 стотысячных, т. е. меньше 1 тысячной. Значит, тогда не нужно было бы увеличивать последнюю цифру на 1. В этом случае произведение было бы с недостатком.

Замечание. В применении правила сокращенного умножения мы не обращаем никакого внимания на те цифры множимого, которые стоят вправо от множителя, и на те цифры множителя, которые стоят влево от множимого; и те и другие мы можем совсем отбросить. Таким образом, во множимом и во множителе нужных цифр должно быть одно и то же число; нетрудно заранее определить, сколько цифр должно быть, чтобы произведение было с заданною точностью. Разъясним это на примере. Пусть требуется вычислить до 1 /₁₀₀ произведение

где π есть отношение окружности к диаметру, равное 3,1415926535. Обращая внимание на последнее умножение, рассуждаем так: искомое произведение должно быть вычислено до одной сотой; значит, цифра простых единиц множителя (т. е.√ 5 — 1) должна стоять под четвертым десятичным знаком множимого; с другой стороны, во множителе (√ 5 — 1) нет разрядов выше простых единиц; из этого заключаем, что больше 4 десятичных знаков во множимом, т. е. в 1000π, бесполезно вычислять. Значит 1000π надо взять равным 3141,5926; следовательно, и во множителе, т. е. в √ 5 — 1, надо вычислить 8 цифр. Извлечением находим, что √ 5 =2,2360679 и, следовательно, √ 5 —1 = 1,2360679. Действие выполняется так:

197. Погрешность приближенного частного. Если делимое приближенное число, а делитель, точное число, то погрешность, частного равна частному от деления погрешности приближенного делимого на точный делитель, причем приближенное частное будет с недостатком или с избытком, смотря по тому, с недостатком или с избытком взято приближенное делимое.

Для примера вычислим частное:

Ограничиваясь в делимом тремя десятичными знаками, произведем умножение:

198. Сокращенное деление. Когда делитель приближенное число, а делимое точное или тоже приближенное, тогда затруднительно определить предел погрешности частного. В этом случае лучше всего пользоваться сокращенным приемом деления, который позволяет сравнительно быстро найти частное с заданною наперед точностью.

Чтобы уяснить этот сокращенный прием, мы предварительно докажем следующую вспомогательную истину: если делитель есть целое число с дробью и мы откинем в нем эту дробь, то частное увеличится на число, меньшее этого частного, деленного на целую часть делителя.

Пусть делимое будет A, делитель В и дробная часть делителя α. Тогда целая часть делителя равна В— α и точное частнoe = A /_B, приближенное частное = A /_{B— α} увеличение частного =

Так как α A /_B : (В — α), т. е. оно менее частного, деленного на целую часть делителя. Положим теперь, что требуется найти с точностью до 0,01 частное:

31 415,92653. : 432,639.

Мы сначала укажем, как производится сокращенное деление, а потом объясним, почему.

Узнаем, сколько цифр должно быть в приближенном частном. Так как делимое больше делителя, умноженного на 10, но меньше делителя, умноженного на 100, то в целой части частного должно быть 2 цифры. Так как частное должно быть вычислено до сотых долей, то всех цифр в приближенном частном должно быть 4.

Разделив это делимое на делитель, находим первую цифру частного 7 и первый остаток 11 318. После этого зачеркиваем в делителе одну правую цифру 3 и делим остаток 11318 на оставшиеся цифры делителя 4326. Получаем вторую цифру частного 2 и второй остаток 2666. Зачеркиваем в делителе еще одну цифру справа, т. е. 6, и делим второй остаток на 432. Получаем третью цифру частного 6 и третий остаток 74. Продолжаем так действие далее (зачеркивая в делителе при каждом частном делении по одной цифре справа), пока не получим всех цифр частного. Наконец, в полученном частном ставим запятую так, чтобы последняя цифра справа выражала единицы требуемого разряда (в нашем примере сотые доли).

Теперь объясним этот процесс сокращенного деления. Прежде всего приведем вопрос к нахождению частного не с точностью до 0,01, как требуется, а с точностью до целой единицы, причем делитель был бы число, не меньшее 40 000 (т. е. того числа, у которого первая цифра и число нулей равны числу цифр в частном). Для этого достаточно: 1) увеличить делимое в 100 раз, от чего увеличится во столько же раз частное и, следовательно, погрешность его; 2) перенести в делимом и в делителе запятую вправо на одно и то же число цифр (от чего частное не изменится), именно на столько, чтобы делитель сделался не меньшим 40 000. Теперь вопрос приводится к нахождению с точностью до единицы частного:

314 159 265,3. : 43 203,9.

Отбросим в делителе дробную часть; от этого, по доказанному выше, мы увеличим частное на число, меньшее этого частного, деленного на целую часть делителя. Но частное, содержа в целой части 4 цифры, менее 10 000, а целая часть делителя взята нами больше 40 000; значит, мы увеличим частное на число, меньшее 10 000 : 40 000, т. е. меньшее 1 /₄. Запомнив это, будем находить частное:

Чтобы найти первую цифру частного, т. е. тысячи, мы должны разделить число тысяч делимого (314159) на делитель. Это мы и сделали в нашем сокращенном делении, получив цифру 7. Остаток от точного делимого будет 11 318 265,3. Этот остаток надо разделить на 43 263. Разделив оба эти числа на 10, мы приводим вопрос к делению 1131826,53. на 4326,3. Это частное имеет в целой части только 3 цифры; значит, оно меньше 1000. Отбросив в делителе дробь, мы еще увеличим частное на число, меньшее 1000 : 4000, т. е. меньше, чем на 1 /₄; Запомнив это, будем находить частное
1 131 826,53. : 4326. Чтобы найти первую цифру этого частного, т. е. сотни, надо число сотен делимого (11 318) разделить на делитель (4320). Это мы и сделали в нашем сокращенном делении, получив в частном вторую цифру 2.

Продолжая эти рассуждения далее, увидим, что при получения каждой цифры частного мы его увеличиваем менее, чем на 1 /₄.

Так как всех цифр в частном 4, то в результате мы увеличим частное менее чем на 1. С другой стороны, не деля остатка 31. на последний делитель 43, мы уменьшаем частное менее, чем на 1. Значит, мы увеличили его менее, чем на 1, и уменьшили менее, чем на 1; следовательно, результат, во всяком случае, точен до 1.

Остается теперь поставить запятую на надлежащем месте, получим 72,61 с точностью до 0,01.

199. Замечание. Приведенное правило и его объяснение не требуют никакого изменения в том частном случае, когда какое-нибудь делимое содержит соответствующий делитель 10 раз. Тогда ставим в частном число 10 (в скобках). Продолжая деление, увидим, что все следующие цифры частного должны быть нули. Пусть, напр., требуется найти частное

485 172,923. 78,254342.

с точностью до 1. Применяя правило, найдем.

Третье делимое (7823) содержит соответствующий делитель (782) десять раз; пишем в частном число 10. Следующая цифра в частном оказалась 0. Искомое частное есть число 61(10)0, т. е. 6200.

В этом случае приближенное частное больше точного частного. Действительно, цифры частного, найденные раньше, чем представился этот случай, не могут быть меньше, чем бы следовало, так как мы при каждом частном делении брали делители, которые меньше точного делителя. Значит, первые две цифры точного частного должны выражать число, не большее 01, поэтому оно меньше числа 6200.

Примером применения предыдущих правил может служить следующая задача.

200. Задача. Вычислить с точностью до 1 /₁₀₀ выражение:

√ 2 =1,41421; √ 3 = 1,73205; √ 5 =2,23606; √ 12 =3,46410 и затем:

√ 2 + √ 3 + √ 5 — √ 12 =1,9183 (до 1 /₁₀₀₀₀ ).

Теперь надо вычислить числитель с такой точностью, чтобы из первых его цифр можно было образовать число, большее 19183. Так как числитель равен приблизительно 7, то сверх целого числа в нем потребуется вычислить еще 4 десятичных знака, а так как числитель есть разность, то уменьшаемое и вычитаемое надо вычислить также до четвертого десятичного знака. Извлечением находим:

√ 348 =18,6547; √ 127 = 11,2694; √ 348 — √ 127 = 7,3853.

Остается разделить по правилу сокращенного деления 73 853 п.1 19 183, после чего получим:

Преобразование иррациональных выражений.

201. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения. Алгебраическое выражение называется рациональным относительно какой-нибудь буквы, входящей в это выражение, если эта буква не стоит под знаком радикала; в противном случае выражение называется иррациональным относительно этой буквы. Напр., выражение 3a +2 √ x есть рациональное относительно а и иррациональное относительно х.

Если говорят: „рациональное (или иррациональное) алгебраическое выражение», не добавляя относительно каких букв, то предполагается, что оно рационально (или иррационально) относительно всех букв, входящих в выражение.

Предположим, что мы вычислили 3 √ a и получили некоторое число х. Тогда мы можем написать равенства:

Возвысив обе части последнего равенства в квадрат, получим:

Подобно этому можно убедиться, что:

Вообще, величина радикала не изменится, если подкоренное выражение возвысим в какую-нибудь степень и вместе с тем показатель радикала умножим на показатель той степени, в которую возвысили подкоренное выражение.

203. Некоторые преобразования радикалов.

а) Радикалы разных степеней можно привести к одинаковым показателям (подобно тому, как дроби с разными знаменателями, можно привести к одному знаменателю). Для этого достаточно найти общее кратное (лучше всего наименьшее) показателей всех радикалов и умножить показатель каждого из них на соответствующий дополнительный множитель, возвысив, вместе с тем, каждое подкоренное выражение в надлежащую степень.

Наименьшее кратное показателей радикалов есть 6; дополнительные множители будут: для первого радикала 3, для второго 2 и для третьего 1. Тогда

б) Если подкоренное выражение есть степень, показатель которой имеет общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно сократить обоих показателей.

в) Если подкоренное выражение есть произведение нескольких степеней, показатели которых имеют один и тот же общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно сократить все показатели.

204. Подобные радикалы. Подобными радикалами называются такие, у которых одинаковы подкоренные выражения и одинаковы показатели радикалов. Таковы, напр., выражения:

чтобы определить, подобны ли между собою данные радикалы, следует предварительно упростить их, т. е если возможно:

1) вынести из-под знака радикала тех множителей, из которых можно извлечь корень (отдел 6 глава 6 § 169, а);

2) освободится под радикалами от знаменателей дробей (отдел 6 глава 6 § 169, в);

3) понизить степень радикала, сократив показатели радикала и подкоренного числа на их общий множитель, если такой есть.

1) Радикалы 3 √ 8ax 3 и 6 √ 64a 2 y 12 окажутся подобными, если упростим их:

2) Три радикала окажутся подобными, если освободимся под радикалами от знаменателей:

205. Действия над иррациональными одночленами.

а) Сложение и вычитание. Чтобы сложить или вычесть иррациональные одночлены, соединяют их знаками плюс или минус и делают приведений подобных членов, если они окажутся.

б) Умножение. Мы видели прежде (отдел 6 глава 6 § 168), что для извлечения корня из произведения достаточно извлечь его из каждого сомножителя отдельно; значит, наоборот, чтобы перемножить несколько радикалов одинаковой степени, достаточно перемножить подкоренные числа. Так:

Если для перемножения даны радикалы c различными показателями, то их можно предварительно привести к одному показателю.

Если перед радикалами имеются коэффициенты, то их перемножают.

в) Деление. Мы знаем, что для извлечения корня из дрбби достаточно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно (отдел 6 глава 6 § 168, в); значит, и наоборот:

т. е., чтобы разделить радикалы с одинаковыми показателями, достаточно разделить их подкоренные числа.

Радикалы с различными показателями можно привести предварительно к одинаковым показателям.

Если есть коэффициенты, то их делят.

г) Возвышение в степень. Чтобы возвысить радикал в степень, достаточно возвысить в эту степень подкоренное число.

д) Извлечение корня. Чтобы извлечь корень из радикала, достаточно перемножить их показателей.

Чтобы убедиться в этом, положим, что . Возвысив обе части этого равенства сначала в квадрат, а потом в куб, найдем:

Подведя сомножитель 2х под знак радикала 3-й степени, получим:

206 Действия над иррациональными многочленами производятся по тем же правилам, какие были выведены для многочленов рациональных. Напр.:

207. Освобождение знаменателя дроби от радикалов. При вычислении дробных выражений, знаменатели которых содержат радикалы, бывает полезно предварительно преобразовать дробь так, чтобы знаменатель ее не содержал радикалов. Пусть, напр., надо вычислить:

Мы можем производить вычисление или прямо по этой формуле, или же предварительно сделать ее знаменатель рациональным, для чего достаточно умножить оба члена данной дроби на сумму √ 3 + √ 2 :

Формула (2) удобнее для вычисления, чем формула (1), во-первых, потому, что она содержит в себе всего 3 действия, а не 4, как формула (1), а, во-вторых, и потому, что при вычислении, которое по необходимости может быть только приближенное, погрешность результата сравнительно просто определяется по формуле (2). Так, найдя √ 3 и √ 2 с точностью до половины тысячной доли, получим:

Приведем некоторые простейшие примеры освобождения знаменателей от квадратных радикалов.

1) . Умножим оба члена дроби на √ 5

Если под знаком радикала стоит целое составное число, то иногда бывает полезно разложить его на простые сомножители с целью определить, каких множителей недостает в нем для того, чтобы оно было полным квадратом. Тогда достаточно умножить оба члена дроби на квадратный корень из произведения только недостающих сомножителей. Напр.:

Источник

• ← код карты опасный полет фортнайт
• Бепантен мазь или крем что гуще →