Как умножать индийским способом

Как умножать индийским способом

данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

Какой из способов наиболее универсальный?

Цель моего исследования: изучить индийские способы умножения, научиться ими пользоваться и выявить наиболее универсальный способ умножения.

1.узнать о вкладе Древней Индии в развитие математики;

Так ли просты и удобны индийские способы умножения?

Объект исследования: индийские способы умножения.

Предмет исследования: умножение методами «Сетка» и «Галеры».

Вклад Древней Индии в развитие математики

Ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии.

Индусы предложили употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Идея, заключается в том, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

Цифры, которыми мы сегодня пользуемся, именуются арабскими. Ученые считают такое название ошибочным, так как арабы к ним отношения не имеют. Придуманы они были индусами, но, по какой – то причине, их назвали арабскими. Даже после того, как была вскрыта ошибка, это название менять не стали.

Что касается арабов, то свою числовую систему они создали на основе индийских чисел, а поэтому и называть их арабскими было бы неправильно. Все дело в том, что арабы ничего не изобретали и не выдумывали, а просто использовали уже готовые числа, придуманные индийцами. Даже порядок их написания остался прежним — слева направо, тогда как буквы арабы пишут в ином направлении.

Индийские способы умножения

В древней Индии применяли два способа умножения: сетка и галера.
Они кажутся очень сложными, но если быть последовательным, то видно, что это довольно просто.

Вычерчиваем квадратную сетку.

Цифру каждого разряда записываем над каждой колонкой по горизонтали слева направо.

Цифру каждого разряда записываем справа от каждой колонки по вертикали сверху вниз.

Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

В примере 325 * 152 следует последовательно умножать

1 на 3, 1 на 2, 1 на 5;

5 на 3, 5 на 2, 5 на 5;

2 на 3, 2 на 2, 2 на 5.

Складываем числа, следуя диагональным полосам, начиная с правого нижнего угла.

Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к следующей диагонали.

Ответ читается так:

Слева по вертикали сверху вниз – тысячи,

Снизу по горизонтали слева направо – сотни, десятки и единицы.

Пишем одно число как множимое и под ним другое как множитель.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого, то есть,

1 на 3, 1 на 2, 1 на 5;

5 на 3, 5 на 2, 5 на 5;

2 на 3, 2 на 2, 2 на 5.

Полученные произведения пишем в сетку, имея в виду следующие правила:

1. Единицы первого произведения следует писать в той же колонке, что и множимое

2. Последующие произведения надо писать таким образом, чтобы единицы помещались в колонке непосредственно справа от предыдущего произведения.
Теперь повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам.

Складываем числа в колонках, начиная справа налево.

Если сумма одной колонки содержит десятки, то прибавляем их к следующей колонке.

Ответ читается как обычно: по горизонтали слева направо.

Сравнительный анализ способов умножения методами «Столбик», «Сетка», и «Галеры»

Я провел эксперимент среди учеников своего класса. Попросил их произвести умножение трехзначных чисел методами «Столбик», «Сетка» и «Галера» на время (приложение 1).

Данные эксперимента я занес в таблицу 1. Произвел расчет среднего арифметического времени, за которое были выполнены вычисления.

В результате изучения индийских методов умножения, а так же произведенного эксперимента, я могу сделать вывод о достоинствах и недостатках, используемых способов умножения.

Универсален для умножения разных по сложности произведений;

Изучен большинством людей и применяется на практике,

При перемножении больших чисел, требуется держать в уме или неудобно надписывать сверху много чисел.

Очень прост в изучении;

Не требуется держать много чисел в уме,

Громоздкий при умножении больших чисел.

Последовательный способ, не требующий запоминания большого количества цифр,

Возникают трудности при изучении правил оформления;

Я изучил индийские способы умножения, научился ими пользоваться, а также провёл сравнительный анализ способов умножения методами «Столбик», «Сетка» и «Галера».

На втором месте – способ «Сетка», т.к. он прост, но громоздок. На третьем месте – способ «Галера», т.к. он последователен, но очень громоздок.

Источник

Способы умножения

Все знают, как умножать в столбик, немного меньше людей знают об умножении линиями, но есть и другие интересные способы.

Умножение чисел — это очень простая операция, фактически, то же самое, что и суммирование. Конечно, пока сами числа не большие.

2х3=2+2+2 (три раза по два) или 24х6=24+24+24+24+24+24 (шесть раз по 24)

То есть, знать таблицу умножения вовсе не обязательно? Да, но с ней удобнее. Например, в случае умножения чисел 235х4596, число 4596 придется сложить 235 раз! Или наоборот, 235 сложить 4596 раз…

Слово «сложить» употреблено не зря. Вот простой способ в этом убедиться. Нужно взять листок бумаги сложить его 5 раз в одном направлении, а потом 3 раза в другом. Получится действие 5х3. Считаем получившиеся от сгибания прямоугольники — их 15. Это то же самое, если бы мы взяли 3 полоски ткани (или чего угодно) длинной 5 и сложили вместе.

Как ни крути, а получается — 15!

Необычные способы умножения

В школе нас учат использовать два инструмента: таблицу Пифагора (считается что таблицу умножения придумал именно этот греческий математик) и умножению «в столбик». Это действительно самые эффективные инструменты? Кроме них есть еще несколько интересных способов умножать числа. Может, какой-то из них будет проще и учить таблицу не придется?

По-крестьянски

Использовался для определения площади земельного участка. Например, имеем поле длинной 6 и шириной 5.

Чтобы узнать, сколько будет 6х5 делаем следующее: левое число делим на 2, а правое умножаем на 2, пока от левого числа не останется единица.

2/2= 1 | 10*2=20

4х5=20, все правильно, так же как и 1х20=20

Что происходит при таком способе? Мы разделяем прямоугольник пополам, пока его ширина не станет равняться единице. Делить на два не сложно.

Вот только что будет, если одна из сторон не будет делиться на 2? Будет долгий и не такой уж простой процесс.

6/2=3 | 2*2=4 → 12

3/2=1,5 | 4*2=8 → 12

Если в левой части четное число — эту строку не считаем, если значение меньше единицы — тоже отбрасываем, остается вторая и третья строка, а это 8+4=12. А если представить, что умножит нужно 173 на 735? Нет, такой способ умножения не самый легкий и простой.

Можно делить/умножать и на 3, но тогда нужно знать таблицу умножения «на три», тогда уж и 5 и 7 и… Да, удобнее выучить ее всю. Также, если будет необходимо перемножить большие числа, процесс будет очень длинным.

Восточный способ

То ли китайский, то ли японский способ умножения, при помощи линий, он же «графический». Его суть состоит в том, что цифры первого числа изображаются в виде параллельных линий, а второго — перпендикулярных им. Количество пересечений и является результатом умножения. То есть, здесь знать таблицу умножения не нужно, достаточно уметь суммировать. Например, так:

2 х 3 и даже 15 х 12

Японский или китайский метод, суть не меняется

Как работает умножение с помощью линий?

Первое число (фиолетовым цветом на картинке) рисуется так: Снизу вверх, слева на право, сначала тысячи, потом сотни, десятки, единицы. Второе число (голубым цветом на картинке) рисуется наоборот: сверху-вниз.

В первом примере все просто 2 и 3. Две линии пересекают 3 другие, получается 6 точек. Во втором, сначала рисуем 15 — единицу (один десяток), потом пять линий изображающих 5 (пять единиц). Потом (12) перпендикулярно ей вторую единицу и 2 линии.

Далее нужно посчитать пересечения, но уже в обратном направлении. Начинать справа. В примере это 10, 7 и 1. Результат складывается в столбик:

Если сравнить с традиционным «столбиком», сперва может показаться, что японско-китайский метод проще…

А что делать, если нужно умножить 10 на 12? Как изобразить «ноль» линией? Никак, он участия не принимает, можно нарисовать его пунктиром и пересечение не считать, все просто…

Но вот уже случае 853х951 рисовать и считать точки придется очень много. Старый-добрый столбик опять окажется удобнее. Каждый сам может попробовать перемножить 9878 и 8794 «японским методом» и засечь необходимое время.

Японский метод с нулем

Эта методика не универсальна, совсем не подходит, когда числа достаточно большие, зато ее очень просто объяснить маленьким детям, которые еще не знают таблицу умножения.

Жалюзи

Встречается еще и название «решетки» и индийский метод умножения. Поверить в индийское происхождение проще всего, если вспомнить, кто вообще придумывал эту вашу математику в древности. Итак, чтобы умножить два числа, нужно построить матрицу (если угодно — таблицу, мы же пытаемся быть проще).

Так как в каждом числе по 2 цифры, таблица будет 2х2. Каждую ячейку нежно перечеркнуть по диагонали. Далее записываем слева-на-право, и сверху-вниз цифры 4, 5, 8, 2 напротив каждой ячейки. Начинаем умножать цифры находящиеся напротив друг-друга. 4 на 8, 5 на 8, 4 на 2 и 5 на 2.

Ну вот опять нужна таблица умножения, иначе придется долго складывать числа.

Результаты записываются в ячейки хитрым способом, десятки над диагональю, а единицы — под ней. Но, если значение меньше 10 (то есть это одна, а не две цифры), то вместо десятки верху пишется «ноль», как при умножении 4х5. Но можно оставить поле пустым.

Теперь, чтобы узнать результат, нужно посчитать сумму в каждой диагонали, как показано на картинке. Сверху-вниз:

0+2+4=6

8+1=9

В результате получаем 3690.

Тоже достаточно просто, только с небольшими значениями, для умножения трехзначных чисел придется рисовать таблицу размером 3х3=9 ячеек.

Как умножать в столбик

Вот мы и добрались к самому традиционному методу. Так нас учат в школе умножать большие числа. Как же это работает и проще ли всех экзотически способов? Записываем два числа одно под другим 23х12:

1 2

Умножать начинаем «с конца». Берем последнюю цифру последнего числа, это 2. Умножаем на 3, получаем 6 и на 2, получаем 4. так и записываем их с конца 46. Повторяем то же самое со второй цифрой — 1.

Умножаем 1 на 3 и на 2. Записываем ниже 23. Только сместив на одну позицию влево. Так чтобы под цифрой 6 было пусто, а 2 оказалось под 4.

Все что осталось сделать, это сложить все цифры сверху вниз. 6+0, 4+3, 0+2. Если в какой то паре получается больше 9, то остаток переносится вправо. Так 4+3=7, но если бы мы сложили 5+6=11, то записали бы 1 и в правую колонку добавили бы еще 1.

Вы наверняка знаете как это все делается и делали сами. Но теперь, зная все остальные способы умножения можете оценить проще ли умножение в столбик всех остальных методов.

Какой метод умножения лучше?

Если перепробовать все способы умножения чисел, становится очевидно, что все представленные альтернативные методы умножения — это все варианты знакомого «столбика». Также операции разбиваются на более мелкие: сначала умножение, потом — суммирование.

Только в так называемом китайском/японском способе умножение как таковое не используется (вместо него пересечение линий) и в этом варианте действительно можно обойтись без таблицы умножения, но придется много рисовать, что повышает вероятность совершить ошибку при пересчете точек пересечения.

Есть мнение, что популярность умножения в столбик вызвана именно компактностью записи. Так на умножение требуется меньше бумаги, меньше чернил (да, чернила раньше использовались и тоже стоили денег) и, соответственно, времени.

Знать нетрадиционные методики интересно и даже полезно, но школьная таблица умножения, все же быстрее, а если вы знаете как умножать в столбик — это удобнее, чем любой другой способ. Если, конечно, не считать калькулятор.

Источник

Как умножать индийским способом

Дата публикации: 26.05.2020

Должность: студентка 1 курса

Министерство образования Нижегородской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Нижегородский Губернский колледж»

Допустить к защите

на тему: Арифметические вычисления в разных странах в разные периоды времени

по дисциплине: Математика

Специальность «Информационные системы и программирование»

Тема проектной работы: «Арифметические вычисления в прошлом и настоящем». Настоящее исследование посвящено актуальной проблеме применения различных методов вычисления.

Из-за практической потребности людей в счёте и вычислениях, связанных с различными бытовыми задачами, появилась арифметика и различные способы решения тех или иных вопросов. Эта наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Человек очень медленно и трудно учился считать, передавая свой опыт из поколения в поколение. По мере роста потребностей в счёте появлялись и различные методы вычисления. В разных странах эти методы были абсолютно разные, совершенно непохожие друг на друга. Но какие из них более простые, а какие весьма сложные большинство людей не знают до сих пор.

Актуальность обусловлена тем, что большинство практичных и удобных методов вычисления не изучается в учебных заведениях

Объект исследования: методы вычисления

Предмет исследования: простые методы вычисления

Методы исследования: поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета; исследовательский метод при определении различных способов вычисления, практический метод при решении примеров, анкетирование респондентов о знании нестандартных способов вычислений

Цель: популяризация различных методов вычисления среди студентов Нижегородского Губернского колледжа

Узнать, какие методы вычисления были раньше

Сравнить их с повседневными методами

Выяснить, чем отличаются методы вычисления в разных странах в настоящее время

Разработать сайт на Google платформе, посвящённый арифметическим вычислениям

Провести анализ работы сайта

Глава I. Древние методы вычислений

1.1 Сложение в древности

1.1.2 Пальцевый счёт

Эволюция счёта шла довольно медленно. Но затем человек додумался использовать самый близкий счётный аппарат – свои пальцы. Многие учёные считают, что первым актом счёта по пальцам являлось указание на какой-либо объект указательным пальцем. [6, с. 80] Тут палец участвовал в роли цифры «один». Участие пальцев позволило довести счёт до пяти. Однако в скором времени развитие счёта потребовало усложнения счётного аппарата, и человек стал использовать поначалу пальцы второй руки, а затем и пальцы ног. Например, чтобы показать число «двадцать», люди выставляли пальцы на руках и на ногах.

1.1.3 Словесный счёт

С развитием хозяйства стал развиваться и словесный счёт. Человеку, имевшему домашний скот, было нужно его считать. Изначально для выражения двух предметов говорили «сколько рук», для четырёх: «сколько рук и ног». То есть, устным обозначением нескольких объектов являлись части тела человека и животного. В процессе развития описания выражения у многих этносов заменились названиями слов, и так эти названия закрепились за числами. [4, с. 93]. Например, число два стало выражаться словами, обозначающими «уши», «руки», «крылья».Затем человек встал на путь упрощения. Теперь выражение «десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге» упрощалось в «палец на ноге». Данные сокращения привела к выделению единиц из главного разряда. Обозначение пяти – «рука», десяти – «две руки».

1.2 Древние способы умножения

1.2.1 Старинный способ

Старинный способ умножения запросто можно осуществить с помощью пальцев рук. Благодаря этому способу любой может умножить какое-либо однозначное число на 9. Для этого необходимо:

Развести пальцы на обеих руках и повернуть руки ладонями от себя.

Присвоить пальцам числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой.

Загнуть палец, который соответствует умножаемой цифре.

Посчитать количество пальцев до и после загнутого пальца.

Приведём пример. Перемножим числа 9 и 3.

Для получения результата нужно:

Загнуть третий палец правой руки.

Посчитать количество пальцев до и после загнутого пальца.

Получившиеся цифры дают число 27.

Этим способом можно умножать и двузначные, и трехзначные числа, но по одной цифре из каждого числа, а затем складывать их.

1.2.2 Древнерусский способ

Данный метод является одним из наиболее употребительных способов, которым успешно пользовались на протяжении многих веков большинство купцов России. Принцип данного способа: умножение на пальцах однозначных чисел от 6 до 9.

На первой руке вытянуть столько пальцев, на сколько первый множитель больше числа 5.

На другой руке вытянуть столько пальцев, на сколько первый множитель больше числа 5.

Загнуть пальцы, которые остались незагнутыми.

Посчитать сумму вытянутых пальцев.

Умножить получившиеся число на 10.

Перемножить числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках.

Например, перемножим числа 6 и 9.

Для получения результата необходимо:

Вытянуть 1 палец на левой руке.

Вытянуть 4 пальца на правой руке.

Загнуть оставшиеся пальцы.

Сложить количества загнутых пальцев (4+1=5).

Умножить на 10 (5*10=50).

Умножить количество загнутых пальцев на левой на количество загнутых пальцев на правой руке (1*4=4).

Сложить результаты (50+4=54).

Данный способ достаточно лёгок для запоминания, однако его минус состоит в том, что использовать его можно только при умножении чисел от 6 до 9.

1.2.3 Крестьянский способ

Сущность крестьянского способа в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа.

Пишем числа на одной прямой и рисуем между ними вертикальную прямую.

Число слева делим на 2, а справа — умножаем на 2. Если при делении возникнет остаток, то он уничтожается.

Повторяем до момента, пока слева не останется 1.

Вычеркиваем строки, где с левой стороны стоят четные числа.

Сложить числа, которые остались с правой стороны.

1.2.4 Египетский способ

Египетский способ умножения приглянулся многим школьникам, ведь он весьма лёгок и занимает мало времени на выполнение вычислений. Необходимо:

Разложить первое число на 3 единицы.

Умножить каждое из них на второй множитель.

Сложить полученные результаты.

Просмотрим выполнение данного алгоритма на примере.

Чтобы перемножить числа 11 и 145, необходимо:

Разложить первое число (11) на 3 единицы. Например, на 2, 4 и 5.

Умножить каждую из цифр на второй множитель (145).

Сложить полученные числа (290+580+725).

Получить результат (1595).

Данный способ характеризуется коротким и простым алгоритмом действий, однако его недостаток заключается в сложных арифметических вычислениях при умножении цифр на второй множитель. На этом этапе можно не избежать ошибок, поэтому при решении нужно быть максимально внимательным.

1.3 Современные способы умножения

1.3.1 Китайский способ (рисовательный)

Основой китайского метода вычислений является рисование линий «сеткой». Основная суть способа — параллельные и перпендикулярные линии представляют те числа, которые перемножаются между собой.

Нарисовать первый множитель, прочерчивая горизонтальные параллельные прямые сверху вниз.

Нарисовать второй множитель, прочерчивая вертикальные параллельные прямые слева направо.

Посчитать количество точек пересечения прямых.

Разделить точки на зоны.

Постепенно записывать ответ, двигаясь от первой зоны к последней.

Например, нам нужно перемножить числа 21 и 32. Для этого необходимо:

Нарисовать первый множитель — 21. В нём 2 десятка и 1 единица, значит, нужно прочертить горизонтально 2 параллельные прямые (сверху) и 1 прямую (снизу).

Поверх первого множителя нарисовать второй множитель — 32. В нём 3 десятка и 2 единицы, значит, следует прочертить вертикально 3 параллельные прямые (слева) и 2 параллельные прямые (справа). Эти вертикальные прямые должны пересекать горизонтальные прямые первого множителя.

Посчитать, сколько точек пересечения имеют горизонтальные и вертикальные прямые в каждом углу «решётки».

Разделить эти точки на три зоны (части).

Ответ нужно «собирать» по порядку, двигаясь от первой зоны ко второй, затем к третьей. При этом следует помнить, что число из первой зоны соответствует единицам (2), число из второй зоны — десяткам (3+4=7), а число из третьей зоны — сотням (6) искомого произведения.

Записать результат (672).

Преимуществом китайского способа является графическая визуализация процесса умножения. Однако из-за неординарности данного метода вычисления, можно легко спутать что-либо.

1.3.2 Индийский способ

1.3.3 Итальянский способ

Итальянский способ умножения имеет название «Джелозия». Также его часто называют способом решетки. Алгоритм решения:

Разделить его по одной клетке на одну цифру.

Над каждой клеткой подписать соответствующие цифры.

Поделить каждую клетку по диагонали на две части.

Перемножить первые знаки каждого числа.

В первом и втором треугольнике записать результат умножения.

Умножить второй знак первого числа на первый второго числа.

В первом и втором треугольнике записать результат умножения.

Перемножить вторые знаки каждого числа.

В первом и втором треугольнике записать результат умножения.

Умножить первый знак первого числа на второй знак второго числа.

В первом и втором треугольнике записать результат умножения.

Разбить прямоугольник на части.

Сложить числа в каждой из частей.

Например, умножим число 13 на 62:

Делим его на 4 квадрата.

Над каждым квадратом подписываем цифры по порядку: 3, 1, 6, 2.

Делим каждый квадрат по диагонали на 2 части.

Умножаем первые знаки каждого числа (1*6=6).

В 1 и 2 треугольниках пишем 0 и 6.

Умножаем второй знак первого числа на первый второго числа (3*6=18).

В 1 и 2 треугольниках пишем 1 и 8.

Умножаем вторые знаки каждого числа (3*2=6).

В 1 и 2 треугольниках пишем 0 и 6.

Умножаем первый знак первого числа на второй знак второго (1*2=2).

В 1 и 2 треугольниках пишем 0 и 2.

Делим прямоугольник на части.

Складываем числа в определённой последовательности.

Получаем результат (806).

Глава II. Практическая часть

Данный метод был выбран из-за ряда положительных сторон: простота проведения, получение объективной картины результатов, возможность отразить информированность общества о данной проблеме

Цель опроса: получение сведений о знании или незнании людей про существование различных методов вычислений

Знаете ли Вы, что существуют разные способы счёта?

Изучали ли Вы различные методы вычислений в школе или других учебных заведениях?

Хотели бы Вы изучить новые методы вычислений?

6. Результаты опроса:

Результаты опроса совпали с ожидаемым результатом.

Исходя из результатов опроса, было решено сделать продукт, который бы рассказал людям о различных методах счёта. Анализируя возможные варианты, в качестве продукта был выбран сайт, который будет сделан на платформе Google Sites.

Чтобы попасть в сервис Google Sites, понадобится аккаунт в Google почте, т.е. необходима регистрация на Gmail (URL: https://www.google.com/intl/ru/gmail/about/). Картинка должна выглядеть следующим образом (Рис. 1):

Рис. 1. Регистрация в Gmail

После регистрации следует открыть:

Google Диск → Мой диск → Ещё → Google Сайты (Рис. 2)

Рис. 2. Вход в Google Сайты

После выполнения этих операций мы попадаем на административную панель. В середине можно увидеть большую надпись «Заголовок страницы», справа от которой располагаются различные опции добавления текстовых полей, изображений, загрузок и т.п. Всё это является начальным этапом разработки нашего сайта, то есть Главной страницей (Рис. 3).

Рис. 3. Главная страница Google сайта

Когда создаётся новый сайт, его файл добавляется на Диск. Все изменения сохраняются автоматически, но пока не опубликуете сайт, он будет доступен только для личного просмотра.

Для начала следует указать (Рис. 4):

Название документа сайта

Рис. 4. Название сайта

Для начала рассмотрим административную панель, представленную на Рисунке 5.

Источник