фотоны что это такое простыми словами

Фотон

На 99,99% вся видимая нами Вселенная описывается электромагнитным фундаментальным взаимодействием. Простыми словами – все, что мы наблюдаем, с чем мы сталкиваемся и воспринимаем – проявления электромагнетизма. А значит все эти процессы можно свести к двум частицам – электрону и фотону, как переносчику электромагнитных волн.

В авангардной физике сейчас даже существуют гипотезы, что абсолютно все частицы и поля можно свести к фотонам. Один из аргументов – при аннигиляции любых частиц образуется пара гамма-квантов, высокоэнергетичных фотонов. Давайте же разберемся, что это за фундаментальная частица, фотон, и какие он имеет свойства?

Немного истории

Средневековье ознаменовалось таким громким и неоднозначным научным диспутом,

Ярым сторонником волновой гипотезы был Христиан Гюйгенс

как корпускулярно-волновой дуализм света. Ученые того времени никак не могли сойтись – свет представляет собой поток частиц или же волны? И у сторонников первой, и второй идеи были свои аргументы. Ярым сторонником волновой гипотезы был Гюйгенс, а корпускулярной – колосс Ньютон.

После долгих споров и поломанных копий, первенство взяла корпускулярная гипотеза. Хоть доводов было примерно поровну (возможно, у “волновиков” их было даже больше), к ней склонились из-за огромного авторитета Исаака Ньютона, отца современной физики и вообще – научного метода познания мира.

Триумф корпускулярной гипотезы длился порядка 200 лет, пока досконально не исследовали дифракцию и интерференцию света. А эти явления, как известно, присущи только волнам. В итоге к концу 19-го века первенство опять захватили “волновики” и сомнений уже почти не было.

В начале двадцатого века Альберт Эйнштейн начал изучать фотоэффект

Пока в начале двадцатого века Альберт Эйнштейн не начал изучать фотоэффект, а Макс Планк – энергию абсолютно черного тела. Ведь если бы свет был волнами – формулы говорили, то энергия абсолютно черного тела равна бесконечности! В результате изучения этих парадоксов и изучения дуализма – родились главные теории современной физики – квантовая механика и теория относительности.

Сегодня мы знаем, что фотон, как и другие квантовые системы – строго говоря, не является ни частицей, ни волной в нашем узком понимании. Вернее, он проявляет и те и другие свойства, и вопрос – свет волна или частицы, не имеет смысла. Квантовые системы проявляет свойства частиц или волн в зависимости от обстоятельств, это фундаментальное свойство нашей Вселенной.

Физические свойства фотона

Фотон – это бесмассовая частица (не имеет массы покоя), не имеющая электрического заряда, он может существовать только передвигаясь со скоростью света. В квантовой электродинамике фотон относится к калибровочным бозонам (частицы, имеющие целый спин). Простыми словами – он является переносчиком фундаментального электромагнитного поля. Несмотря на это, полная энергия фотона рассчитывается в зависимости от частоты колебаний. Самые низко энергетические частицы имеют маленькую частоту (например, радиоволны), и высоко энергетические – большую частоту (рентгеновское и гамма излучение). Данная зависимость, соответственно, обратно пропорциональна длине волны.

Фотон явно или косвенно участвует во всех фундаментальных взаимодействиях. Кроме электромагнетизма – это сильное (фоторождение пи-мезонов) и гравитационное отклонение света.

Следует отметить, что фотон стоит особняком от остальных элементарных частиц. Во-первых, это истинно нейтральная незаряженная частица. То есть, он не имеет своего анти-партнера даже гипотетически, принципиально. Во-вторых, нулевая масса фотона породила многолетние споры – так уж она полностью ли она нулевая? В итоге все-таки оказалось, что полностью.

Интересные факты и эксперименты с фотонами

Когда в начале 20 го века начала зарождаться квантовая механика, уже было известно, что в веществе существует так называемое спонтанное излучение. То есть, любой объект, состоящий из атомов и поглощающий свет – точно также излучает его. Механизм спонтанного излучения сформировали Дирак и Эйнштейн. Оказалось, что когда атом поглощает фотон, его электрон переходит на новый уровень, а перейти из этого нового “возбужденного” состояния он может тоже только излучив фотон.

Эйнштейн, работая с этими процессами поглощения и излучения света веществом, заметил очень интересную вещь. Оказывается, если атомы вещества привести в возбужденное энергетическое состояние заранее и облучать их светом – происходит цепное “клонирование” фотонов и формируется вынужденное (индуцированное) излучение. Теоретически его предсказал Эйнштейн, а позже этот механизм смогли реализовать на практике – так появились лазеры и мазеры.

Кратко механизм можно описать так – если атом в верхнем возбужденном состоянии поглощает фотон, он испускает его в таком же направлении, фазе, поляризации и импульсе, как и поглощенный. В результате образуется “лавина” одинаковых и однонаправленных фотонов – когерентное излучение.

Как упоминалось выше, интересная ситуация возникла с массой покоя фотона. Несмотря на то, что формулы квантовой механики говорили, что она “обязана” быть равной нулю, сомнения все же оставались. Пока не провели эксперимент, который показал, что если бы масса покоя у фотона была (пусть даже ничтожно мала) – на ночном небе галактики были бы размыты из-за дисперсии света в вакууме.

Еще одну уникальную вещь заметил все тот же гений Эйнштейна. Он предположил, что если бозоны (а фотон, как мы помним, бозон) охладить почти до абсолютного нуля – все частицы перейдут в состояние с минимально возможной энергией и образуется новый вид материи. Этот вид назвали конденсат Бозе-Эйнштейна.

Сейчас уже экспериментально получен конденсат для многих видов бозонов, в том числе и фотонов. Одними из многих присущих ему свойств являются сверхтекучесть и сверхпроводимость. С этими явлениями ученые связывают большие надежды в развитии технологий и науки в целом.

И напоследок рассмотрим такой интересный факт, как вклад фотонов в массу системы. Парадоксально, но безмассовые частицы вносят свою лепту в суммарную массу макроскопического объекта. Ее можно считать энергией молекулярных связей между электронами атомов. Ведь, если система испустит фотон, ее энергия уменьшится, а по формуле Е=мс2, соответственно, и масса.

Похожие статьи

Понравилась запись? Расскажи о ней друзьям!

Источник

Фотон

Корпускулярно-волновой дуализм

Вопрос, на который вам однозначно не ответит никто: «Свет — это частица или волна?». Это очень сложный вопрос, на который ученые давно пытаются ответить.

В XVII веке Исаак Ньютон предложил модель, в которой свет — поток мельчайших корпускул (частиц). Это позволяло просто объяснить многие характерные свойства света. Например, прямолинейность световых лучей и закон отражения, согласно которому угол отражения света равен углу падения. Это соотносится с законом сохранения импульса, которому подчиняются частицы.

Но есть такие явления, как интерференция и дифракция. Они совсем не вписываются в корпускулярную теорию.

Интерференция и дифракция

Интерференция — это явление, при котором происходит наложение двух волн и образуются так называемые «максимумы» и «минимумы» — самые светлые и самые темные участки. Выглядит это так:

В жизни вы это встречали, например, если видели разлитый бензин или пускали мыльные пузыри. Это все следствие интерференции света.

Дифракция неразрывно связана с явлением интерференции. Более того, само явление дифракции зачастую трактуют как случай интерференции ограниченных в пространстве волн.

Дифракция — это явление огибания препятствий, которые возникают перед волной. Благодаря дифракции свет может огибать препятствие и попадать туда, где с точки зрения геометрии должна быть тень.

В XIX веке появилась волновая теория света, которая объясняла дифракцию и интерференцию. Согласно этой теории, свет — частный случай электромагнитных волн, то есть процесса распространения электромагнитного поля в пространстве.

Волновая оптика вообще казалась в то время каким-то чудом, потому что она объясняла не только те явления, которые не объясняла корпускулярная теория, но и вообще все известные на то время световые эффекты. Даже законы геометрической оптики можно было доказать через волновую оптику.

Казалось бы, ну все тогда — у света волновая природа, никаких тебе частиц, расходимся. Но не тут-то было! Уже в начале XX века корпускулярная теория света снова набрала актуальность, так как ученые обнаружили явления, которые с помощью волновой теории объяснить не удавалось. Например, давление света и фотоэффект, о которых мы еще поговорим.

В рамках корпускулярной теории эти явления прекрасно объяснялись, и корпускулы (частицы) света даже получили название — фотоны.

Сложилась интересная ситуация — параллельно существовали две серьезные научные теории, каждая из которых объясняла одни свойства света, но не могла объяснить другие. Вместе же эти две теории идеально дополняют друг друга. Так мы подошли к понятию корпускулярно-волновой природы света.

Корпускулярно-волновой дуализм — это физический принцип, утверждающий, что любой объект природы может вести себя и как частица, и как волна.

Энергия и импульс фотона

Каждый фотон переносит некоторое количество энергии. Именно это количество называется энергией фотона.

Энергия фотона (соотношение Планка-Эйнштейна)

E — энергия фотона [Дж]

h — постоянная Планка

ν — частота фотона [Гц]

Импульс фотона связан с энергией следующим соотношением:

Соотношение импульса и энергии фотона

p — импульс фотона [(кг*м)/с]

E — энергия фотона [Дж]

с — скорость света [м/с]

Подставляем вместо E формулу энергии фотона: p = hv/c

А вместо частоты формулу v = с/λ: p = hc/cλ

Сокращаем скорость света и получаем формулу импульса.

Импульс фотона

p — импульс фотона [(кг*м)/с]

h — постоянная Планка

λ — длина волны [м]

Давление света

Сила Лоренца — это сила, действующая на частицу, движущуюся в магнитном поле.

Если рассматривать свет как совокупность фотонов, то можно предположить, что свет, как и любая другая электромагнитная волна, может оказывать давление. Именно такое предположение сделал Джеймс Максвелл в 1873 году и не прогадал.

Пусть на поверхность абсолютно черного тела площадью S перпендикулярно к ней ежесекундно падает N фотонов. Каждый фотон обладает импульсом p = hv/c.

Полный импульс, получаемый поверхностью тела, равен p = hv/c * N.

Из механики известно, что давление — это отношение силы к площади, на которую эта сила воздействует: p = F/S.

Не перепутайте: импульс и давление обозначаются одинаковой буквой, но величины разные!

Второй закон Ньютона в импульсной форме имеет вид F = p * Δt, где p — это импульс, а Δt — промежуток времени, за которое импульс меняется на значение p.

Тогда световое давление определяется так: p = F/S = (p * Δt)/S = hvN/Sc.

Опыты Лебедева — экспериментальное доказательство факта: фотоны обладают импульсом.

Фотоэффект

Еще одно важное явление, подтверждающее корпускулярную природу света, — это фотоэффект. Пока разберем только принцип этого явления, а сложную математику оставим на другой раз. 😉

На рисунке представлена экспериментальная установка для исследования фотоэффекта.

Установка представляет собой стеклянный вакуумный баллон с двумя металлическими электродами, к которым прикладывается напряжение. Один из электродов через кварцевое окошко освещается монохроматическим светом (монохроматический свет — это свет, длина волны которого неизменна). Под действием фотонов из отрицательно заряженного электрода выбиваются так называемые фотоэлектроны. Они притягиваются к положительному электроду и образуется фототок.

Многочисленные экспериментаторы установили основные закономерности фотоэффекта:

Эйнштейн исследовал фотоэффект и пришел к выводу, что свет имеет прерывистую структуру, то есть состоит из фотонов.

Фотоэффект используется, например, в датчиках света. Уличные фонари, оборудованные датчиками света, включаются автоматически при определенном уровне естественного освещения.

Техническое применение фотонов

Важное техническое устройство, использующее фотоны — лазер. Лазеры применяют во многих областях технологии: с их помощью режут, варят и плавят металлы, получают сверхчистые металлы. На лазерах основаны многие точные физические приборы — например, сейсмографы. Ну а с лазерными принтерами и указками вы наверняка знакомы.

На определении местоположения фотонов основаны многие генераторы случайных чисел. Чтобы сгенерировать один бит случайной последовательности, фотон направляется на лучеделитель — штуку, которая разделяет свет на два потока.

Для любого фотона существует лишь две возможности, причем с одинаковой вероятностью: пройти лучеделитель или отразиться от его грани. В зависимости от того, прошел фотон через лучеделитель или нет, следующим битом в последовательность записывается 0 или 1.

Источник

Что такое фотон, исторические факты, свойства, фото

Фотон. Исторические факты в лицах

То, что физики называют фотонами, другие люди могли бы просто назвать светом. Как кванты света, фотоны представляют собой наименьшие возможные пакеты электромагнитной энергии. Если вы читаете эту статью на экране или на странице, потоки фотонов несут образы слов к вашим глазам. В науке фотоны используются не только для освещения.

Полезные статьи:

От волны к частице и к бозону

Люди исследовали природу света с древних времен, причем первые идеи пришли к нам от философов и ученых из Египта, Месопотамии, Индии и Греции. Между концом 17-го и началом 20-го веков ученые ходили туда-сюда, пытаясь ответить на один вопрос, в частности: ведет ли свет как частица или как волна.

Исаак Ньютон заявил в своей книге 1704 года «Оптика», что он не согласен. Когда свет отражается от поверхности, он действует как прыгающий мяч; угол, под которым он приближается к поверхности, равен углу, под которым он отскакивает. Ньютон утверждал, что это явление, среди прочего, можно было бы объяснить, если бы свет состоял из частиц, которые он назвал «корпускулами».

Пример. Стеклянная призма преломляет луч белого света в цвета радуги. Ньютон заметил, что когда свет затем снова преломлялся через вторую призму, он больше не делился; цвета радуги остались прежними.

Ньютон сказал, что это можно объяснить, если предположить, что белый свет состоит из множества различных корпускул разного размера. Красный свет состоял из самых больших тел, фиолетовый был составлен из самых маленьких. Ньютон сказал, что их разные размеры заставляли тельца протягиваться сквозь стекло с разной ускоренной скоростью. Это распространило их, создавая цветную радугу, которую нельзя было разделить дальше с помощью второй призмы.

Леон Фокаль в 1850 г. сравнил скорость света в воздухе со скоростью света в воде и обнаружил, что, вопреки утверждениям Ньютона, свет не движется быстрее в более плотной среде. Вместо этого, как и волна, она замедлилась.

Макс Планк 1900 г. придумал идею, которая положила начало совершенно новой концепции света. Планк объяснил некоторые загадочные свойства излучения, описав энергию электромагнитных волн, разделенную на отдельные пакеты.

Артур Комптон в 1923 году предоставил дополнительную поддержку модели света Эйнштейна. Комптон направил свет высокой энергии на материалы и успешно предсказал углы, под которыми электроны, высвобождаемые в результате столкновений, будут рассеиваться. Он сделал это, предположив, что свет будет действовать как крошечные бильярдные шары.

Гилберт Льюис, известный химик, придумал название для этих бильярдных шаров. В письме от 1926 г. в журнале «Nature» он назвал их «фотонами».

Фотоны как инструмент

Фотоны действуют повсюду вокруг вас. Они перемещаются по подключенным оптоволоконным кабелям для передачи сигналов Интернета, кабеля и сотовых телефонов. Они используются в переработке пластмасс, чтобы разбивать объекты на небольшие строительные блоки, которые можно использовать в новых материалах. Они используются в больницах в лучах, нацеленных на раковые ткани и разрушающих их. И они являются ключом ко всем видам научных исследований.

Фотоны необходимы в космологии: изучении прошлого, настоящего и будущего Вселенной. Ученые изучают звезды, исследуя излучаемое ими электромагнитное излучение, такое как радиоволны и видимый свет. Астрономы создают карты нашей галактики и ее соседей, визуализируя микроволновое небо. Они обнаруживают космическую пыль, которая закрывает им обзор далеких звезд, обнаруживая ее инфракрасный свет.

Ученые собирают сильные сигналы в виде ультрафиолетового, рентгеновского и гамма-лучей, испускаемых энергетическими объектами из нашей галактики и за ее пределами. И они обнаруживают слабые сигналы, такие как слабый образец света, известный как космический микроволновый фон, который служит записью состояния Вселенной через несколько секунд после Большого взрыва. Фотоны также остаются важными в физике. В 2012 году ученые Большого адронного коллайдера обнаружили бозон Хиггса, изучив его распад на пары фотонов.

Донна Стриклед получила Нобелевскую премию по физике в 2018 году за свою работу по разработке ультракоротких высокоинтенсивных лазерных импульсов, сформированных из сильно сфокусированного света высокой энергии.

Машины, называемые источниками света, создают интенсивные пучки рентгеновских лучей, ультрафиолетового и инфракрасного света, чтобы помочь ученым разбить этапы самых быстрых химических процессов и исследовать материалы в деталях на молекулярном уровне.

Дженнифер Дионн говорит: «Во всем электромагнитном спектре фотоны могут предоставить нам столько информации о мире», доцент кафедры материаловедения и инженерии Стэнфордского университета.

Дионн проводит исследования в области нанофотоники, области физики, в которой ученые управляют светом и изучают его взаимодействие с молекулами и наноразмерными структурами. Среди других проектов ее лаборатория использует фотоны для повышения эффективности катализаторов, веществ, используемых для запуска высокоэффективных химических реакций.

Теория Куо

Фотон может быть самой известной из элементарных частиц. Двигаясь со скоростью света, частицы ежедневно бомбардируют нас с Солнца, Луны и звезд. Более века ученые и инженеры использовали их в совокупности для освещения наших городов, а теперь и наших экранов.

Сегодня исследователи могут управлять фотонами с большей тонкостью, чем когда-либо прежде. В Национальном институте стандартов и технологий (NIST) в Мэриленде физик Паулина Куо создает и манипулирует фотонами индивидуально. Освещая специально разработанные кристаллы лазерным светом в своей лаборатории, Куо производит двойные фотоны, которые она может разделить на одиночные фотоны. Направляя их к определенным материалам, которые поглощают частицу, создавая фотоны разных цветов, она может эффективно изменять цвет фотона, сохраняя при этом закодированную в нем информацию.

Эта однофотонная технология станет основой будущего квантового Интернета, предлагаемой глобальной сети устройств для передачи данных, закодированных в одиночных фотонах и других квантовых частицах. Эти данные будут представлены в квантовых свойствах частицы, таких как поляризация фотона. В отличие от классических данных, которые могут быть представлены только как 0 или 1, так называемая квантовая информация принимает значения, которые представляют собой взвешенные комбинации 0 и 1, что позволяет использовать новые, потенциально более мощные вычислительные алгоритмы и новые протоколы шифрования.

Определение фотона, основные свойства

Фотоны всегда находятся в движении и в вакууме движутся с постоянной скоростью ко всем наблюдателям 2,998 x 10 8 м / с. Это обычно называется скоростью света и обозначается буквой «С».

Основные свойства фотона

Фотон в современном мире

Вообще говоря, фотоны обладают свойствами, аналогичными электромагнитным волнам. У каждого фотона есть длина волны и частота. Длина волны определяется как расстояние между двумя пиками электрического поля с одним и тем же вектором. Частота фотона определяется как количество длин волн, на которое фотон распространяется каждую секунду.

В отличие от электромагнитной волны, фотон не может быть цветным. Вместо этого фотон будет соответствовать свету данного цвета. Поскольку цвет определяется способностями человеческого глаза, отдельный фотон не может иметь цвет, потому что он не может быть обнаружен человеческим глазом. Чтобы сетчатка могла обнаруживать и регистрировать свет определенного цвета, на нее должны воздействовать несколько фотонов. Цвет можно воспринимать только тогда, когда множество фотонов действуют на сетчатку в унисон в виде электромагнитной волны.

Как описано уравнениями Максвелла

Наиболее точное описание природы фотонов дает уравнения Максвелла. Уравнения Максвелла математически предсказывают, как фотоны движутся в пространстве. По сути, электрическое поле, испытывающее поток, создает ортогональное магнитное поле. Затем поток магнитного поля воссоздает электрическое поле. Создание и разрушение каждой соответствующей волны позволяет паре волн перемещаться в пространстве со скоростью света. Уравнения Максвелла правильно описывают природу отдельных фотонов в рамках квантовой динамики.

Создание фотонов

Фотоны можно генерировать разными способами. В этом разделе мы обсудим некоторые способы испускания фотонов. Поскольку фотоны представляют собой электрическое поле, распространяющееся в пространстве, испускание фотонов требует движения заряженных частиц.

Излучение черного тела

Спонтанное излучение

Флуоресценция

Вынужденная эмиссия

Возбужденный электрон можно искусственно заставить релаксировать в более низкое энергетическое состояние с помощью фотона, уравновешивающего разницу между этими энергетическими состояниями. Фаза и ориентация электрического поля результирующего фотона, а также его энергия и направление будут идентичны падающему фотону. Говорят, что свет, производимый вынужденным излучением, когерентен, поскольку он во всех отношениях похож на вызвавший его фотон. Лазеры производят когерентное электромагнитное излучение за счет вынужденного излучения.

Синхротроны (изгиб электронов)

Электроны с чрезвычайно высокой кинетической энергией, например, в ускорителях частиц, будут производить фотоны высокой энергии при изменении их пути. Это изменение осуществляется сильным магнитным полем. Таким образом, все свободные электроны будут излучать свет, но синхротронное излучение имеет особое практическое значение. Синхротронное излучение в настоящее время является наилучшей доступной технологией для получения направленного рентгеновского излучения с точными частотами.

Ядерный распад

Фотоэлектрический эффект

Свет, падающий на металлическую пластину, может вызвать отрыв электронов от поверхности пластин. Это взаимодействие между светом и электронами называется фотоэлектрическим эффектом. Фотоэлектрический эффект стал первым убедительным доказательством того, что лучи света состоят из квантованных частиц.

Энергия, необходимая для выброса электрона с поверхности металла, обычно того же порядка величины, что и энергия ионизации. Поскольку металлы обычно имеют энергию ионизации в несколько электрон-вольт, фотоэлектрический эффект обычно наблюдается при использовании видимого света или света еще более высокой энергии.

Энергия фотона

Принцип сохранения энергии гласит, что вся энергия фотона должна куда-то уходить. Предполагая, что начальная энергия, необходимая для отрыва электрона от его орбитали, кинетическая энергия фотона равна кинетической энергии испускаемого электрона плюс энергия ионизации.

Фотонная интерференция

В то время как эксперимент с двойной щелью первоначально показал, что луч света был волной, более продвинутые эксперименты подтверждают, что электрон является частицей с волнообразными свойствами. Наблюдается дифракция луча света через двойную щель, которая дифрагирует, создавая конструктивную и деструктивную интерференцию. Современные технологии позволяют испускать и детектировать одиночные фотоны. В эксперименте, проведенном Филиппом Гранжье, одиночный фотон пропускают через двойную щель.

Затем фотон обнаруживается на другой стороне щелей. Для большого размера выборки можно определить тенденцию в конечном положении фотонов. Согласно волновой модели света, интерференционная картина будет наблюдаться по мере того, как фотон снова и снова разделяется, образуя картину.

Однако результаты не согласуются с волновой моделью света. Каждый испускаемый фотон соответствует однократному детектированию на другой стороне щелей. С определенной вероятностью каждый фотон детектируется на 100%. В ходе серии измерений фотоны создают ту же интерференционную картину, которую ожидает пучок фотонов. Когда одна щель закрыта, интерференционная картина не наблюдается, и каждый фотон движется по линейному пути через открытую щель.

Эта интерференция имеет глубокое значение: фотоны не обязательно взаимодействуют друг с другом, создавая интерференционную картину. Вместо этого они взаимодействуют и мешают себе. Кроме того, это показывает, что электрон не проходит через одну или другую щель, а скорее проходит через обе щели одновременно. Теория квантовой электродинамики Ричарда Фейнмана объясняет это явление, утверждая, что фотон будет путешествовать не одним путем, а всеми возможными путями во Вселенной.

Интерференция между этими путями даст вероятность того, что фотон пойдет по любому заданному пути, поскольку большинство путей взаимно компенсируются. Он использовал эту теорию для объяснения природы широкого диапазона действия фотонов, такого как отражение и преломление, с абсолютной точностью.

Как выглядит фотон

Вы когда-нибудь задумывались, какую форму имеет фотон? Ученые размышляли над этим вопросом десятилетиями, и, наконец, в 2016 году польские физики создали первую в истории голограмму одиночной легкой частицы. Команда Варшавского университета создала голограмму, одновременно направив два световых луча на светоделитель, сделанный из кристалла кальцита. Светоделитель похож на перекресток светофора, поэтому каждый фотон может либо пройти прямо, либо сделать поворот. Когда фотон сам по себе, все пути равновероятны, но чем больше фотонов задействовано, тем больше они взаимодействуют, и шансы меняются.

Если вам известна волновая функция одного из фотонов, можно определить форму второго по положению вспышек, появляющихся на детекторе. полученное изображение немного напоминает мальтийский крест, точно так же, как волновая функция, предсказанная из уравнения Шредингера.

Источник