Докажите что векторы ab и cd равны

переводит точку A₁ в точку A’₁, а точку A₂ в точку A’₂, т.е. векторы \(\overline1A₂>\) и \(\overline1A’₂>\) равны, что и требовалось доказать.

Источник

Докажите что векторы ab и cd равны

Вопрос 2. Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
Ответ. Векторы \(\overline\) и \(\overline\) называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены.
Векторы \(\overline\) и \(\overline\) называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.
На рисунке 212 векторы \(\overline\) и \(\overline\) одинаково направлены, а векторы \(\overline\) и \(\overline\) противоположно направлены.

Вопрос 3. Что такое абсолютная величина вектора?
Ответ. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора \(\overline\) обозначается |\(\overline\)|.

Вопрос 4. Что такое нулевой вектор?
Ответ. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (\(\overline<0>\)). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Вопрос 5. Какие векторы называются равными?
Ответ. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Вопрос 6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Ответ. При параллельном переносе вектор сохраняет своё направление, а также свою абсолютную величину. Значит, равные векторы направлены одинаково и равны по абсолютной величине.
Пусть \(\overline\) и \(\overline\) – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает полупрямую CD с полупрямой AB, так как они одинаково направлены. А так как отрезки AB и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой B, т.е. параллельный перенос переводит вектор \(\overline\) в вектор \(\overline\). Значит, векторы \(\overline\) и \(\overline\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Ответ. Пусть CD – прямая, а вектор \(\overline\) – часть прямой CD. Пусть AB – прямая, в которую переходит прямая CD при параллельном переносе, \(\overline\) – вектор, в который при параллельном переносе переходит вектор \(\overline\), а значит, векторы \(\overline\) и \(\overline\) равны, а прямые AB и CD параллельны (см. рис. 213). Как мы знаем, через точку не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельных прямых). Значит, через точку A можно провести одну прямую, параллельную прямой CD. Так как вектор \(\overline\) – часть прямой AB, то через точку A можно провести один вектор \(\overline\), равный вектору \(\overline\).

переводит точку A₁ в точку A’₁, а точку A₂ в точку A’₂, т.е. векторы \(\overline1A₂>\) и \(\overline1A’₂>\) равны, что и требовалось доказать.

Источник

Задачник «Векторный метод решения задач»

Задачник «Векторный метод решения задач»

Составила: Казакова Ольга Сергеевна,

учитель математики МОУ «СОШ № 75» г. Саратова.

Данный задачник предназначен для изучения тем: «Векторы», «Действия с векторами», «Векторный метод решения задач». Инструктивное изложение материала, при постоянной практической пробе, даёт возможность изучить темы самостоятельно.

№ 1.Заполните таблицу. Основные понятия.

Решение и изображение

3)Построен вектор , его можно обозначить и однострочной латинской буквой, например, , которая записывается над изображением вектора.

Сколько векторов можно провести, выбирая начало и конец среди данных на плоскости:

2)трёх точек, не лежащих на одной прямой;

3)четырёх точек, не лежащих на одной прямой?

Обозначение нулевого вектора: или символом .

2)Постройте вектор .

Обозначение: = AB = 4.

Чему равна длина нулевого вектора?

3)Постройте вектор , длиной 7 см.

2)На прямой p постройте:

а)вектор , произвольной длины и направления;

б)вектор , произвольной длины и направления;

3)На прямой m постройте: вектор , произвольной длины и направления.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

4)Выпишите попарно коллинеарные векторы.

5)Постройте и обозначьте два произвольных вектора, которые являются не коллинеарными вектору . Будут ли они являться коллинеарными векторам , ?

Постройте два коллинеарных вектора.

Полученные векторы направлены одинаково или противоположно?

Если одинаково, то вы построили сонаправленные векторы. Обозначение:

 .

Если противоположно, то вы построили противоположно направленные векторы. Обозначение:  .

1)коллинеарными друг другу;

Постройте векторы и , так, чтобы:

1)  ;

2) .

Вы построили равные векторы.

№ 2.Заполните таблицу. Операции над векторами.

Решение и изображение

Можно отложить от другой точки плоскости, вектор, равный данному вектору ?

Допустим, что вектор ненулевой, а точки A и B – его начало и конец.

Среди построенных векторов выберите тот, что сонаправлен с вектором , он и будет являться искомым вектором, равным вектору . К тому же такой вектор только один, что следует из построения.

А если вектор – нулевой? Ответьте самостоятельно.

Итак, от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору , и при том только один.

1)Векторы и .

3)От точки A отложите вектор , равный вектору .

4)От точки B отложите вектор , равный вектору .

5)Вектор .

Докажем, что если и , то .

а) ;

б) ;

в)Соединим точки A и , B и , C и ;

2)  – параллелограмм  ;

3)  – параллелограмм  ;

4)Из 2) и 3)   – параллелограмм;

5)Значит, . Доказано.

Вывод: при необходимости можно работать как с данными векторами, так и с равными им.

Законы сложения векторов.

Для любых векторов , и справедливы равенства:

(переместительный закон)

(сочетательный закон)

Доказательство законов проведите самостоятельно, опираясь на подсказки:

Для доказательства первого закона можете достроить треугольник до параллелограмма и работать как с самими векторами, так и с равными им.

Для доказательства второго закона достаточно несколько раз применить правило треугольника для сложения векторов, последовательно отложенных от концов предыдущих векторов.

1)Произвольная точка A ;

2)Неколлинеарные векторы и ;

3) От точки A отложите вектор , равный вектору .

4)От точки A отложите вектор , равный вектору .

5)Постройте параллелограмм ABCD ;

6) .

Вы построили сложение векторов и по правилу параллелограмма сложения неколлинеарных векторов.

Как сложить несколько векторов?

Последовательное применение правила треугольника для сложения векторов даёт возможность сложить любое количество векторов. Причём порядок сложения не важен. Сложение нескольких векторов производится следующим образом: два вектора складываются, получившаяся сумма складывается с третьим и т.д.

Выполните сложение пяти любых векторов, используя то, что несколько векторов можно расположить таким образом: первый вектор откладывается от любой точки, второй – от конца первого и т.д. Сумма всех векторов – вектор, направленный от начала первого вектора к концу последнего.

Подумайте, чему будет равна сумма векторов, если начало первого вектора совпадает с концом последнего?

Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Вектор называется противоположным вектору , если векторы и имеют равные длины и противоположно направлены. Обозначение: . .

Докажите, что . Для этого воспользуйтесь определением разности векторов и прибавлением к обеим частям равенства вектора.

На прямой p от любой точки O отложите вектор , от конца вектора отложите вектор . Длина построенного суммарного вектора, равна или .

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при k  0 и противоположно направлены при k .

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Из определения следует:

1)произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2)для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны.

Свойства умножения вектора на число.

(сочетательный закон)

(первый распределительный закон)

(второй распределительный закон)

На прямой p от произвольно выбранной точки O отложите: вектор , длиной 1 см; вектор , сонаправленный с вектором , длиной 2 см; вектор , противоположно направленный с вектором , длиной 3 см.

Попробуем выразить векторы и через вектор .

Во сколько раз длины этих векторов отличаются от длины вектора ?

; ;

 ,  , т. е. векторы , и коллинеарны друг другу, значит, можно воспользоваться леммой.

Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число k , что .

Итак, можем выразить: , .

Если  , то

Если , то векторы и называются перпендикулярными.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Напишите формулу скалярного произведения для случаев, когда:

;

;

.

Сделайте вывод, о том, в каком случае скалярное произведение двух векторов равно нулю.

Итак, перечислите все операции над векторами.

№ 3.Решая задачи, заполните пустые ячейки в таблице.

точки M и N совпадают

точка C принадлежит прямой AB

, или
, или

точка С – середина отрезка AB

точка D разбивает отрезок AC так, что AD : DC = m : n

Заполняя таблицу, вы пользовались векторным методом решения задач.

Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач.

Для решения задач элементарной геометрии с помощью векторов необходимо, прежде всего, научиться «переводить» условие геометрической задачи на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык. В этом и состоит сущность векторного метода решения геометрических задач.

Далее вам необходимо самостоятельно решать задачи. После решения каждой задачи делайте вывод о её значимости. Если результат задачи возможно использовать для решения других, то заносите его в таблицу № 3. Таким образом, вы получите набор базовых задач, на основании которых решаются более сложные.

1)Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна её половине.

2)Докажите, что средняя линия трапеции параллельна её основанию и её длина равна полусумме длин её оснований.

3)Если средняя линия четырёхугольника равна полусумме длин её оснований (сторон, не имеющих общей точки со средней линией), то этот четырёхугольник является трапецией или параллелограммом.

5)Докажите, что биссектриса угла треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Выразите биссектрису через угол треугольника, который она делит пополам, и через стороны этого угла.

7)В треугольнике ABC через M обозначена точка пересечения медиан. Докажите, что .

11)Докажите, что центр описанной окружности

12)Докажите, что если точки пересечения диагоналей четырёхугольника и середины двух его противоположных сторон лежат на одной прямой, то этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.

13)Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

14)Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

15)Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

16)Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

17)Докажите, что в произвольном четырёхугольнике средние линии (т. е. отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) точкой их пересечения делятся пополам.

19)Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

25)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

26)Докажите, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции равна сумме квадратов длин её боковых сторон плюс удвоенное произведение длин оснований.

27)Доказать, что большей медиане треугольника соответствует меньшая сторона и обратно.

28)Докажите, диагонали прямоугольника равны между собой.

29)Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

45)Докажите, что точки пересечения диагоналей трапеции, боковых сторон, а также середины оснований лежат на одной прямой.

49)Докажите, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, и продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в одной точке.

50)На сторонах параллелограмма заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры этих параллелограммов совпадают.

51)На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.

53)Найдите косинус угла между медианами прямоугольного равнобедренного треугольника, проведёнными к его катетам.

54)Найти косинус угла между медианами равнобедренного треугольника, проведёнными к его боковым сторонам, при условии, что угол при вершине равен α.

55)Найти косинус угла при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к его боковым сторонам, а) перпендикулярны; б) образую угол .

56)В треугольнике две стороны равны 2 и 4, а угол между ними равен . Найти угол ψ между короткой стороной и медианой, проведённой к третьей стороне.

Список использованной литературы

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2003.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. – М.: Просвещение, 2009.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Шестаков С.А., Юдина И.И. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач. – Минск: Вышэйш. школа, 1965.

Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия 7-9 кл. – М.: МЦНМО, 2006.

Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 кл. – М.: Просвещение, 1979.

Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. – М.: Просвещение, 1992.

Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal. – Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008.

Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7 – 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. завед. – М.: Дрофа, 2001.

Шарыгин И.Ф. Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.

Шестаков С. А. Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии. – М.: МЦНМО, 2005.

Источник