Докажите что гомотетия есть преобразование подобия 9 класс геометрия

Докажите что гомотетия есть преобразование подобия 9 класс геометрия

Вопрос 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Ответ. Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.

При гомотетии точки \(X\) и \(Y\) переходят в точки \(X’\) и \(Y’\) на лучах \(OX\) и \(OY\) соответственно, причем \(OX’ = k\cdot OX\), \(OY’ = k\cdot OY\). Отсюда следуют векторные равенства

\(\overline = k\overline,\, \overline = k\overline\).

Вычитая эти равенства почленно, получим:

\(\overline — \overline = k(\overline — \overline)\).

Так как \(\overline — \overline = \overline\), \(\overline — \overline = \overline\), то \(\overline = k\overline\). Значит, \(|\overline| = k|\overline|\), т.е. \(X’Y’ = kXY\). Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Вопрос 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Ответ. Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки \(A, B, C\), лежащие на одной прямой, переходят в три точки \(A_1, B_1, C_1\), также лежащие на одной прямой. Причем если точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\), то точка \(B_1\) лежит между точками \(A_1\) и \(C_1\). Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол \(ABC\) преобразованием подобия с коэффициентом \(k\) переводится в угол \(A_1B_1C_1\) (рис. 237). Подвергнем угол \(ABC\) преобразованию гомотетии относительно его вершины \(B\) с коэффициентом гомотетии \(k\). При этом точки \(A\) и \(C\) перейдут в точки \(A_2\) и \(C_2\). Треугольники \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\) равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\). Значит, углы \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 5. Какие фигуры называются подобными?

Ответ. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Вопрос 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?

Ответ. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: \(\sim\).

Запись \(F\sim F’\) читается так: «Фигура \(F\) подобна фигуре \(F’\)».

Запись подобия треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Вопрос 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Ответ. Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Пусть \(k = \frac\). Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle A_2 = \angle A_1\), \(\angle B_2 = \angle B_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle A = \angle A_2\), \(\angle B = \angle B_2\). Далее, \(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по второму признаку (по стороне и прилежищим к ней углам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Ответ. Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) и \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle C_2 = \angle C_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). Далее, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

Ответ. Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),

\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),

\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Треугольники \(ABC\) и \(CBD\) имеют общий угол при вершине \(B\). Следовательно, они подобны: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Источник

Докажите что гомотетия есть преобразование подобия 9 класс геометрия

Вопрос 3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.

Ответ. Теорема 11.1. Гомотетия есть преобразование подобия.

При гомотетии точки \(X\) и \(Y\) переходят в точки \(X’\) и \(Y’\) на лучах \(OX\) и \(OY\) соответственно, причем \(OX’ = k\cdot OX\), \(OY’ = k\cdot OY\). Отсюда следуют векторные равенства

\(\overline = k\overline,\, \overline = k\overline\).

Вычитая эти равенства почленно, получим:

\(\overline — \overline = k(\overline — \overline)\).

Так как \(\overline — \overline = \overline\), \(\overline — \overline = \overline\), то \(\overline = k\overline\). Значит, \(|\overline| = k|\overline|\), т.е. \(X’Y’ = kXY\). Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Вопрос 4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Ответ. Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки \(A, B, C\), лежащие на одной прямой, переходят в три точки \(A_1, B_1, C_1\), также лежащие на одной прямой. Причем если точка \(B\) лежит между точками \(A\) и \(C\), то точка \(B_1\) лежит между точками \(A_1\) и \(C_1\). Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Действительно, пусть угол \(ABC\) преобразованием подобия с коэффициентом \(k\) переводится в угол \(A_1B_1C_1\) (рис. 237). Подвергнем угол \(ABC\) преобразованию гомотетии относительно его вершины \(B\) с коэффициентом гомотетии \(k\). При этом точки \(A\) и \(C\) перейдут в точки \(A_2\) и \(C_2\). Треугольники \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\) равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов \(A_2BC_2\) и \(A_1B_1C_1\). Значит, углы \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 5. Какие фигуры называются подобными?

Ответ. Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.

Вопрос 6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?

Ответ. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: \(\sim\).

Запись \(F\sim F’\) читается так: «Фигура \(F\) подобна фигуре \(F’\)».

Запись подобия треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Вопрос 7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам.

Ответ. Теорема 11.2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle B = \angle B_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Пусть \(k = \frac\). Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 238). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle A_2 = \angle A_1\), \(\angle B_2 = \angle B_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle A = \angle A_2\), \(\angle B = \angle B_2\). Далее, \(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по второму признаку (по стороне и прилежищим к ней углам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Ответ. Теорема 11.3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(\angle C = \angle C_1\) и \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 240). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то \(\angle C_2 = \angle C_1\). А значит, у треугольников \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) \(\angle C = \angle C_2\). Далее, \(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\), \(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\). Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам.

Ответ. Теорема 11.4. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы 11.2). Пусть у треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) \(AB = kA_1B_1\), \(AC = kA_1C_1\), \(BC = kB_1C_1\). Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).

Подвергнем треугольник \(A_1B_1C_1\) преобразованию подобия с коэффициентом подобия \(k\), например гомотетии (рис. 242). При этом получим некоторый треугольник \(A_2B_2C_2\), равный треугольнику \(ABC\). Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:

\(A_2B_2 = kA_1B_1 = AB\),

\(A_2C_2 = kA_1C_1 = AC\),

\(B_2C_2 = kB_1C_1 = BC\).

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_2B_2C_2\) равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Так как треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники \(A_2B_2C_2\) и \(ABC\) равны и поэтому тоже подобны, то треугольники \(A_1B_1C_1\) и \(ABC\) подобны.

Вопрос 10. Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Ответ. У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 11.2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

Треугольники \(ABC\) и \(CBD\) имеют общий угол при вершине \(B\). Следовательно, они подобны: \(\triangle ABC \sim \triangle CBD\). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Источник

Преобразование подобия

Содержание:

Гомотетия и ее свойства

Пусть дан многоугольник ABCD (рис. 2.439).

1. Возьмем произвольную точку О.

2. Построим векторы и т. д.

3. Многоугольник будет подобным многоугольнику (рис. 2.439).

В этом построении использовалось требование, при котором точка X переходит в такую точку , что а точка о переходит в себя.

Таким образом, задача построения фигуры, подобной данной фигуре, приводит к новому виду преобразований, которое называют гомотетией.

Определение. Гомотетией с центром O и коэффициентом называют преобразование, при котором каждая точка X переходит в точку , такую, что

Если при гомотетии фигура переходит в фигуру , то эти фигуры называют гомотетичными.

Если k = 1, то каждая точка X перейдет сама в себя.

Если k > 0, то гомотетичные фигуры располагаются по одну сторону от центра гомотетии (рис. 2.440, 2.441).

Если k 0 (рис. 2.440), то точки X и лежат на прямой ОХ по одну сторону от центра гомотетии (так, векторы сонаправлены).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Докажите что гомотетия есть преобразование подобия 9 класс геометрия

Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».

Выберем ортонормированный репер (О, Е₁, E₂) так, чтобы точка О совпала с центром гомотетии. Если М (х, у) —произвольная точка плоскости, а точка M′ (х’, у’) — ее образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии:
. (3)

Рассмотрим простейшие свойства гомотетии.

1) Гомотетия с коэффициентом переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии, — в себя.

2) Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

Из этих свойств следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч в луч и полуплоскость в полуплоскость.

3) Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

□ Пусть ВАС — данный угол, а В′ А′ С’ — образы точек В, А и С. По формуле (2) получаем:

Отсюда следует, что

4) Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Таким образом, если М (х, у) — произвольная точка плоскости, а М'(х′, у’) — ее образ в преобразовании то

где =1, если — преобразование подобия первого рода, и = — 1, если — преобразование подобия второго рода. Используя формулы (7), докажем теорему.

Теорема 2. Любое преобразование подобия, отличное от движения, имеет одну и только одну неподвижную точку.

□ Пусть равенства (7) — аналитическое выражение данного преобразования подобия. Точка М (х, у) является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда

Итак, существует шесть типов преобразования подобия, которые приведены в следующей таблице:

Это отображение называется гомотетией с центром Мо и коэффициентом m. Для двух точек M₁ и М₂ и их образов и из формулы (1) получаем:

Отсюда и следует сформулированное выше утверждение.

Теорема 1, сформулированная и доказанная (см. выше), полностью переносится на пространство, т. е. любое преобразование подобия пространства с коэффициентом является произведением гомотетии с тем же коэффициентом и произвольным центром на некоторое движение. Отсюда следует, что подобие пространства переводит плоскость (прямую) в плоскость (прямую), параллельные плоскости (прямые) —в параллельные плоскости (прямые). Подобие сохраняет простое отношение трех точек, поэтому оно переводит отрезок в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость, полупространство — в полупространство. Подобие переводит угол в равный ему угол, взаимно перпендикулярные прямые (плоскости) — во взаимно перпендикулярные прямые (плоскости).
Точно так же, как и на плоскости, можно доказать, что любое преобразование подобия либо сохраняет ориентацию пространства, либо меняет ее. В первом случае оно называется преобразованием подобия первого рода, а во втором случае — преобразованием подобия второго рода. Таким образом, гомотетия с положительным коэффициентом является преобразованием подобия первого рода, а гомотетия с отрицательным коэффициентом (в частности, центральная симметрия, ) — преобразованием подобия второго рода.

Источник

Гомотетия. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников

Подобие – это понятие, характеризующее наличие одинаковой, не зависящей от размеров, формы у геометрических фигур.

Подобные фигуры – это фигуры, для которых существует взаимно-однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми парами их соответствующих точек изменяется в одно и то же число раз.

Гомотетия – это преобразование подобия. Это преобразование, в котором получаются подобные фигуры (фигуры, у которых соответствующие углы равны и стороны пропорциональны).

Свойства преобразования гомотетии:

1) При гомотетии прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки, углы – в углы.

2) Сохраняются углы между полупрямыми (соответственно, сохраняется параллельность прямых). Стороны гомотетичных фигур пропорциональны, а углы равны.

Подобные треугольники – это треугольники, у которых углы равны, а стороны пропорциональны.

Свойства подобных треугольников

1-й признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

\(\left. \begin \angle A=\angle A_1\\ \angle B=\angle B_1 \end \right \> \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1\)

2-й признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3-й признак подобия треугольников

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, а вершина C принадлежит стороне FK. Найдите сторону ромба, если AF = 21 см, AK = 24 см.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, сторонами AB = 4 см, BC = 8 см и высотой AK, найдите отрезки KB и KC.

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Источник