Докажите что если для положительной бесконечной десятичной дроби все приближения

Натуральные числа − числа, используемые при счете (перечислении) предметов: N =

1,2. Натуральные числа с включенным нулем − числа, используемые для обозначения количества предметов: N₀ =

Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные.

Множество действительных чисел обозначается – R

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 751 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Бесконечные дроби и иррациональные числа

теория по математике 📈 числа и вычисления

При переводе обыкновенной дроби в десятичную можно получить конечную периодическую или бесконечную десятичные дроби (кроме простой десятичной, разумеется).

Конечная десятичная дробь

Конечная десятичная дробь – десятичная дробь с конечным числом знаков после запятой, то есть когда у аналога обыкновенной дроби числитель без остатка делится на знаменатель.

Пример №1. ¾ — делим 3 на 4 и получаем 0,75.

Пример №2. 31 /₅₀ делим 31 на 50 и получаем 0,62.

Пример №3. 3 /₂₅ делим 3 на 25 и получаем 0,12.

Периодическая десятичная дробь

Периодическая десятичная дробь – дробь, у которой после запятой (в дробной части) присутствует бесконечный повтор одной цифры или сочетания нескольких одинаковых цифр.

Пример №4. 7 /₁₂ При делении 7 на 12 получается 0,5833333…, где постоянно повторяется цифра 3, запись делают следующим образом: 0,58(3); читается эта дробь следующим образом: нуль целых пятьдесят восемь сотых и три в периоде.

Пример №5. 1 /₁₁ При делении 1 на 11 получается 0,090909… и так до бесконечности повторяются цифры 0 и 9. Данную дробь записывают в виде 0,(09) и читают как нуль целых и нуль десять в периоде. Иррациональные числа

Иррациональные числа — числа, которые не могут быть представлены в виде обыкновенной дроби.

Значение какого из выражений является рациональным числом?

В данном задании у нас проверяют навыки операций с иррациональными числами.

Разберем каждый вариант ответа в решении:

√6 само по себе является иррациональным числом, для решения подобных задач достаточно помнить, что рационально извлечь корень можно из квадратов натуральных чисел, например, 4, 9, 16, 25…

При вычитании из иррационального числа любого другого, кроме его же самого, приведет вновь к иррациональному числу, таким образом, в этом варианте получается иррациональное число.

При умножении корней, мы можем извлечь корень из произведения подкоренных выражений, то есть:

Но √15 является иррациональным, поэтому данный вариант ответа не подходит.

При возведении квадратного корня в квадрат, мы получаем просто подкоренное выражение (если уж быть точнее, то подкоренное выражение по модулю, но в случае числа, как в данном варианте, это не имеет значения), поэтому:

Данный вариант ответа нам подходит.

Данное выражение представляет продолжение 1 пункта, но если √6-3 иррациональное число, то никакими известными нам операциями перевести в рациональное его нельзя.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Какое из данных чисел является рациональным?

Для решения этой задачи нужно действовать следующим образом:

Сначала разберемся, степень какого числа рассмотрена в данном примере — это число 9, так как его квадрат 81, и это уже чем-то похоже на выражения в ответах. Далее рассмотрим формы числа 9 — это могут быть:

Рассмотри каждое из них:

Следовательно, число √0,81 является рациональным, остальные же числа

хотя и похожи на форму 9 в квадрате, не являются рациональными.

Таким образом, правильный ответ третий.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Значение какого из данных ниже выражений является наибольшим?

Для решения данного задания нужно привести все выражения к общему виду — представить выражения в виде подкоренных выражений:

Переносим 3 под корень:

Переносим 2 под корень:

2√11 = √(2² • 11) = √(4 • 11) =√44

Переносим 2 под корень:

2√10 = √(2² • 10) = √(4 • 10) =√40

Возводим 6,5 в квадрат:

Посмотрим на все получившиеся варианты:

Следовательно, правильный ответ первый.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для решения этого задания достаточно представлять себе значения чисел меньше и больше заданного, корни которых подлежат вычислению.

Значит, нам подходит третий вариант ответа — √38.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Докажите что если для положительной бесконечной десятичной дроби все приближения

Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.

Подсказка

Рассмотрите отдельно те цифры, которые встречаются конечное число раз и те, которые встречаются бесконечно много раз.

Решение

Дробь выражает рациональное число в том и только случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака. Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр. Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса – каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут являться предпериодом дроби. Далее запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять её бесконечное число раз. Таким образом, мы выпишем искомую периодическую дробь.

Источники и прецеденты использования

Источник

0. Десятичные дроби и действительные числа

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десяти, называются десятичными дробями. Записываются они особым образом:

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной иногда приводит к бесконечной десятичной дроби. Например, разделив «уголком», получим:

В этом случае бесконечная последовательность цифр содержит период – один и тот же повторяющийся набор цифр. Такие дроби называются бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби.

Рассмотрим на примере, как найти последнюю. Превратим в обыкновенные дроби числа Q = 0,777… и Р = 0,999… Умножим на 10, получим:

1) 10Q = 7,777(7), откуда 10Q = 7 + Q; т. е. 9Q = 7, или .

2) 10Р = 9,999(9), откуда 10Р = 9 + Р, т. е. 9Р = 9, или Р = 1.

Замечание. Число 1 можно записать в виде 1,000…, т. е. с периодом 0; аналогично 0,24 = 0,24000… и т. д.

Имеют ли смысл бесконечные непериодические десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, длина катетов которого равна 1. Обозначим длину гипотенузы Х. По теореме Пифагора

Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числами. Предположим противное, что корнем (1) является дробь (A, B – целые числа). Если дробь можно сократить, сделаем это, и далее будем считать, что дробь уже является несократимой. Подставим в (1), получим , или

Т. к. в правую часть (2) входит множитель 2, то А2 – число четное, следовательно, число А – также четное, его можно записать в виде А = 2×С. Подставим это выражение в (2), получим (2×С)2 = 2×B2, или, сократив на 2, 2×С2 = B2. Отсюда следует, что число B2 также четное, следовательно, B – тоже четно. Поскольку А и B четные, дробь является сократимой. Это противоречит предположению о несократимости дроби . Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сделано неверное предположение о рациональности корня уравнения (1). Значит, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1). Квадратный корень из 2 не является рациональным числом, т. е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Найдем приближенные значения числа . Ясно, что 1 2. С точностью до 0,1 Х»1,4. Аналогично 1,41 2. С точностью до 0,01 имеем Х»1,41. Аналогично 1,414 2,381529

На первых четырех позициях соответствующие цифры одинаковы, а 6>5.

Единственное исключение из этого правила – не рассматривать периодические дроби с периодом 9. всякую такую дробь можно заменить равной ей конечной десятичной дробью, например: 0,999…=1; 0,42999…=0,43; 2,65999…=2,66.

Свойства операций сложения и умножения действительных чисел:

Правило округления десятичных дробей, например, до сотых:

0,811»0,81; 0,812»0,81;…; 0,815»0,82; 0,816»0,82;…; 0,819»0,82.

Действия со степенями:

По определению: А0 = 1, АN = A×A×A×…×A (N сомножителей); .

Число, которое при возведении в степень N даёт а, называется корнем степени N из А. Если число N нечетное, то существует только один действительный корень степени N из числа А; его обозначают , или . Если N четное, а число А – положительное, то действительных корней будет два. Например, . Положительный корень называется арифметическим, и именно он обозначается или .

Степень с дробным показателем определяется так:

Имеют смысл и выражения вида Ах, где Х – любое действительное число, например, . Действия с такими степенями производятся по тем же правилам, что и с натуральными степенями, например, .

Стандартная форма записи чисел реализуется в виде произведения двух множителей, первый из которых – между 1 и 10, а второй является степенью десяти, например

243507 = 2,43507×105; 0,184 = 1,84×10-1 и т. д.

Такая форма используется при вычислениях с калькулятором, особенно если не хватает разрядов для точных вычислений. Она также используется в компьютерах.

Источник

1.2. Десятичные дроби и действительные числа

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т. е. 10, 102 = 100, 103 = 1000 и т. д., называются Десятичными дробями. Записываются они особым образом:

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде де­сятичной дроби приводит иногда к Бесконечной десятич­ной дроби. Например, разделив «уголком», мы получим:

Как видно, получающаяся бесконечная последователь­ность цифр содержит так называемый Период — один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому получен­ные десятичные дроби называют Бесконечными перио­дическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде беско­нечной периодической десятичной дроби. Обратное так­же верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример. Превратим в обыкновенные дроби числа Q = 0,777. и Р = 0,999.

Умножив на 10, получаем:

1) 10Q = 7,777. = 7 + Q, откуда 9Q = 7 и Q = .

Проверьте результат, превратив 7/9 в десятичную дробь.

2) 10P = 9,999. = 9 + р, откуда 9Р = 9 и Р = 1. Заме­тим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятич­ной дроби с периодом 0: 1,000. ; аналогично, 0,24 = 0,24000. 3,5 = 3,5000. и т. п.

8. С помощью калькулятора и «вручную» превратите данную обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите период: , , , , .

9. Превратите бесконечную периодическую десятич­ную дробь в обыкновенную: 1,888. ; 0,1212. ; 0,444.

Решив эти примеры, каждый будущий юрист задаст себе вопрос: а имеют ли смысл бесконечные Непериоди­ческие десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треуголь­ник, длина катетов которого равна единице. Обозначим длину гипотенузы через Х. По теореме Пифагора

. (1)

Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числами. В самом деле, предположим противное, т. е. что корнем уравнения (1) является дробь (А и B — целые числа). Если дробь можно сократить, сделаем это, и будем полагать далее, что дробь является уже несократимой.

Подставляя в уравнение (1), получим = 2 или

. (2)

Так как в правую часть равенства (2) входит множитель 2, то А2 — число четное. Следовательно, число А также четное и его можно записать в виде А = 2С. Подставив в (2), получим (2С)2 = 2B2 или, сократив на 2, 2С2 = B2. Отсюда следует, что число B2 также является четным. Но тогда четным будет и число B. Теперь, поскольку оба числа А и B получились четными, дробь является сократимой. Это противоречит сделанному выше предпо­ложению, что дробь — несократимая. Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сде­лано неверное предположение — корнем уравнения (1) является рациональное число — дробь . Следовательно, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1), что и требовалось доказать.

Результат наших рассуждений можно сформулиро­вать иначе: квадратный корень из числа 2 не является рациональным числом, т. е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Будем искать приближенные значения числа Х = . Ясно, что 1 2 = Х2, то 1,4 2. Следовательно, с точнос­тью до 0,01 получаем Х » 1,41. Применив еще раз тот же прием, найдем, что 1,414 2,381529. т. к. на первых четырех пози­циях соответствующие цифры одинаковы, а 6 > 5. Опи­санное правило сравнения работает при одном (и един­ственном) соглашении: не рассматривать периодические дроби с периодом 9. При этом множество действительных чисел, образно говоря, не сузится, т. к. всякую беско­нечную периодическую дробь с периодом 9 можно заме­нить равной ей Конечной десятичной дробью, например:

0,999. = 1, 0,42999. = 0,43, 2,65999. = 2,66 и т. п. (см. пример на с. 15).

Напомним свойства операций сложения и умноже­ния действительных чисел:

Переместительность или коммутативность:

Сочетательность или ассоциативность (для сложе­ния):

Сочетательность или ассоциативность (для умножения):

Распределительность или дистрибутивность:

Числовые множества N, Z, Q, R являются примера­ми так называемых Числовых систем, которые имеют специальные названия. Например, говорят Кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел. Эти термины мы обсуждаем в восьмой главе. Там мы покажем, в частности, что поле действительных чи­сел можно расширить и получить так называемые Комп­лексные числа.

ПРАВИЛО ОКРУГЛЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Поясним на примере. Следующие десятичные дроби мы округляем до сотых долей:

10. Вычислите с помощью калькулятора и округлите до тысячных:

, , , , , , , , , .

11. Найдите 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, 81, 9!, 10!.

12. Расставьте правильно знаки > или 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ

Из этого определения следует, что для любых натураль­ных чисел Т И п справедливы следующие формулы:

Am an = am+n, (an)m = amn, an bn = (Ab)N.

Число, которое при возведении в степень П дает A, на­зывается корнем степени N из А. Если число П нечетное, то существует только один корень степени П из числа А, Который обозначается или . Если N четное, а число А — положительное, то корней будет два. Напри­мер, числа 3 и –3 будут корнями четвертой степени из 81, т. к. 34 = 81 и (–3)4 = 81. Положительный корень на­зывается арифметическим и именно он обозначается символом или .

Степень с дробным показателем определяется так:

Оказывается, что имеют смысл и выражения вида Aх, Где Х — любое действительно число, например . Дей­ствия с такими степенями производятся по тем же пра­вилам, что и с натуральными степенями, например, .

При различных вычислениях большие числа удобно записывать в так называемой Стандартной форме, т. е. в виде произведения двух множителей, первый из кото­рых заключен между числами 1 и 10, а второй пред­ставляет собой степень десятки: 243507 = 2,43507 • 105, 0,184 = 1,84 • 10–1 и т. д. Стандартную форму использу­ют при работе с калькулятором, в особенности тогда, когда не хватает разрядов для точных вычислений. На­пример,

243507 • 1385462 = 2,43507 • 105 • 1,385462 • 106 = (2,43507 • 1,385462) • 1011 » 3,37369695 • 1011;

317 = 316 • 3 = (34)4 • 3 = (81)4 • 3 = (6581)2 • 3 = 3 • (6,581 • 103)2 = 3 • (6,581)2 • (103)2 » 129,140163 • 106.

2. Вычислите, округляя в каждом действии резуль­тат до тысячных; окончательный результат округлите до сотых:

3. Найдите корни квадратного уравнения и округли­те результат до сотых:

Одна сотая доля какого-либо количества называется Процентом. Например, в городе N всего 300 судей, сле­довательно, 3 судьи — это 1%, 6 судей — 2% и т. д.

Подумайте, сколько тверских судей составляют 4% от их общего числа? (В Твери 145 судей.)

Другой пример. Некто утаил прибыль в размере 10 млн. руб. Какую сумму недополучила казна, если налог на прибыль составляет 22%?

Решение: 10 млн • = 2,2 млн.

4. За год в области совершено 6720 преступлений. Из них тяжких — 33; в состоянии алкогольного опьянения — 3262; связанных с дорожно-транспортными происшествиями — 1310. После завершения следствия переданы в суд 4520 дел; по 3816 из них уже вынесены приговоры, причем половина из последних — обвини­тельные; из всех обвинительных приведены в исполне­ние 40%. Заполните до конца следующую таблицу:

В первом столбце проставьте соответствующие абсолютные значения, а во втором укажите, какой процент они составляют от общего числа преступлений.

Источник