Как узнать угол по синусу
Как найти синус любого целого угла
Этот вопрос мучает меня с того момента, как мы начали изучать тригонометрию. И спустя чуть больше года я нашел способ!
Порядок действий:
1) Найти синус и косинус 15°
2) Найти синус и косинус 18°
3) Зная синусы и косинусы 15° и 18°, найти синус 3° (используя формулу синуса разности аргументов)
4) Зная синус 3°, найти синус 1° (используя формулу тройного угла)
5) Зная синус 1°, мы можем найти синус любого целого угла (используя формулы двойного, тройного и т.д. углов)
Начнем с треугольника ACM. Пусть AC = 1.
Тогда: AM = 2, CM = √3.
Переходим к треугольнику AMB. Очевидно, что этот треугольник равнобедренный, значит: BM = AM = 2.
Заканчиваем треугольником ABC.
AC = 1, BC = MC + BM = 2 + √3. Мы знаем длины двух катетов, и необходимо найти гипотенузу. Искать будем по теореме Пифагора.
Нарисуем опять изначальный треугольник, только уже с известными сторонами.
Синус и косинус 15° успешно найдены!
Пункт 2. Найти синус и косинус 18°.
Тут я ничего вам авторского показать не могу, так что можете посмотреть видео как выводить синус 18°, а косинус можно найти из основного тригонометрического тожества
Не смотря на то, что видео не на русском языке там должно быть все понятно, а я буду использовать уже готовые значения синуса и косинуса 18°.
Пункт 3. Найти синус 3°.
Все вы знаете формулу синуса разности аргументов (я надеюсь).
В нашем случае α = 18°, а β = 15°. Говорить тут особо нечего, а просто писать и считать.
Для удобства я буду использовать следующие значения синуса и косинуса 15°.
(это тоже самое, что я вывел в П.1)
Тут даже сводить к общему знаменателю не надо, поскольку он и так общий. Сначала умножаем, потом вычитаем и в конце получаем выражение, на которое смотреть страшно!
Но если чуть чуть поиграться с этим выражением, то мы получим конфеточку.
Пункт 4. Найти синус 1°.
Будем использовать формулу синуса тройного угла
В нашем случае α = 1°.
Получаем кубическое уравнение относительно sin1° в каноническом виде.
Для удобства сделаем две замены, тогда наше уравнение имеет следующий вид:
(косинус 3° находим по основному тригонометрическому тождеству)
Теперь задание самым бешеным математикам: избавиться от мнимой части (если извлечь кубические корни, то для х1 мнимая часть сокращается, а для х2 и х3 она сократится при умножении на i√3).
И расставить корни в порядке убывания или возрастания, все равно sin1° будет посередине. Я делать этого не буду, т.к. это страшно и долго, и вообще моя задача показать сам процесс, а не выполнить его полностью.
Пункт 5. Находим синус любого целого угла по формулам синуса двойного, тройного и т.д. углов!
Если нашли ошибку или есть вопросы, то пишите в комментарии! А если хотите больше треша, то можете посмотреть два моих предыдущих поста про тригонометрию! (На первый пост не обращайте внимания, т.к. это была проверка как работает Пикабу!)
P.s. давайте соберём 100 плюсиков:)
Наука | Научпоп
6.1K постов 69.2K подписчиков
Правила сообщества
ВНИМАНИЕ! В связи с новой волной пандемии и шумом вокруг вакцинации агрессивные антивакцинаторы банятся без предупреждения, а их особенно мракобесные комментарии — скрываются.
Основные условия публикации
— Посты должны иметь отношение к науке, актуальным открытиям или жизни научного сообщества и содержать ссылки на авторитетный источник.
— Посты должны по возможности избегать кликбейта и броских фраз, вводящих в заблуждение.
— Научные статьи должны сопровождаться описанием исследования, доступным на популярном уровне. Слишком профессиональный материал может быть отклонён.
— Видеоматериалы должны иметь описание.
— Названия должны отражать суть исследования.
— Если пост содержит материал, оригинал которого написан или снят на иностранном языке, русская версия должна содержать все основные положения.
Не принимаются к публикации
— Точные или урезанные копии журнальных и газетных статей. Посты о последних достижениях науки должны содержать ваш разъясняющий комментарий или представлять обзоры нескольких статей.
— Юмористические посты, представляющие также точные и урезанные копии из популярных источников, цитаты сборников. Научный юмор приветствуется, но должен публиковаться большими порциями, а не набивать рейтинг единичными цитатами огромного сборника.
— Посты с вопросами околонаучного, но базового уровня, просьбы о помощи в решении задач и проведении исследований отправляются в общую ленту. По возможности модерация сообщества даст свой ответ.
— Оскорбления, выраженные лично пользователю или категории пользователей.
— Попытки использовать сообщество для рекламы.
— Многократные попытки публикации материалов, не удовлетворяющих правилам.
— Нарушение правил сайта в целом.
Окончательное решение по соответствию поста или комментария правилам принимается модерацией сообщества. Просьбы о разбане и жалобы на модерацию принимает администратор сообщества. Жалобы на администратора принимает @SupportComunity и общество пикабу.
На вид довольно просто. А что такое синус и зачем его искать?
Чё т мне кажется, что кому нужно что-то точнее брадиса или калькулятора на смарте, юзают всякие матлабы и тому подобные специализированные среды.
Мне по жизни хватало точности в уме представить синусоиду и в уме же отмерить(ну там 0.2-0.3 примерно).Я не математик, радиотехник.
Почитай про ряд Тейлора для тригонометрических функций. Не благодари.
А нафига мне синус 33 градусов? Мне надо синус угла в 33 градуса 7 минут 28 секунд. Долго считать будете?
Зачем этим заниматься? Какая практическая польза от этого?
Давайте соберём 100 плюсиков и найдём от них синус.
А таблица Брадиса чем не устраивает?
Приветствую, автор! Смею вас разочаровать, выразить синус угла, не кратного трём невозможно. Есть теорема, к сожалению, не могу вспомнить, чьё имя носит (мне казалось, имя Ванцеля), которая это утверждает. Разумеется есть доказательство. Поищите в интернете, формулировка точно была в Википедии, но без доказательства. А что касается разрешения уравнений третей степени в радикалах, то тут у вас и кроется подвох. Дело в том, что уравнение с тремя действительными корнями не разрешается в ВЕЩЕСТВЕННЫХ радикалах. Это неприводимый случай. Для его решения используется метод Виета, что по сути, не решает вашу задачу, а сводит ответ к тригонометрической форме (посмотрите 1 глава в книге Колосова «Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики»). Именно по этой причине трисекция угла в общем виде не разрешима. И синус угла, не кратного трём, найти в вещественных радикалах невозможно. Что, кстати, не противоречит тому, что алгебраических чисел больше, чем чисел, выраженных в радикалах.
Смотрите, если AM = x, то AC = x sin a, MC = x cos a
Далее BM = x (равнобедренный треугольник), BC = x + x cos a
AB^2 = x^2 (sin a)^2 + x^ 2 (1+cos a)^2
(sin a/2)^2 = (sin a)^2 / [(sin a)^2 + (1+cos a)^2] = (sin a)^2 / [(sin a)^2 + 1+ 2 cos a + (cos a)^2] =
Матан головного мозга
Николай Андреев – Мастер-класс по математике: «Проекты и знания, полезные учителям математики»
Мастер-класс «Проекты и знания, полезные учителям математики». Ведущий – Николай Николаевич Андреев, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, один из авторов проекта «Математические этюды».
В мастер-классе для учителей математики рассказывается о многих ценных ресурсах полезных педагогу как в классной, так и в проектной деятельности обучающихся, о разной методике преподавания математики в школе. Приводятся конкретные примеры и интересные математические факты, позволяющие увлечь и одновременно научить школьника.
Мастер-класс по математике состоялся 18 ноября 2019 года в Ростове-на-Дону на базе Регионального центра выявления и поддержки одарённых детей «Ступени успеха» при поддержке Научно-просветительского проекта НаукаPRO. В нём приняли участие 84 преподавателя из Аксайского, Песчанокопского, Красносулинского, Веселовского, Белокалитвинского, Зимовниковского, Куйбышевского, Тацинского, Матвеево-Курганского, Зерноградского, Тарасовского, Азовского, Мясниковского, Заветинского районов и городов: Ростова-на-Дону, Гуково, Батайска, Донецка, Шахт, Азова, Новошахтинска, Таганрога, Волгодонска, Новочеркасска.
Как узнать угол, зная его синус?
Вопрос специально для bezdelnik. Если кто другой ответит, я тоже не обижусь.
Ответ я знаю: 3 градуса = pi/60.
Вопрос в том, как этот ответ получить?
Вот сильно я сомневаюсь, что, не посчитавши прежде на калькуляторе, можно будет рыть преобразования в нужном направлении, особенно от синуса к углу. От угла к синусу проще, но вопрос по другому сформулирован. На мой взгляд подтасовка преобразований.
Задний радикал: группируем чётные и нечётные слагаемые
И распределяем восьмёрку (√(2-√3))/2) * √(10+2√5)/4
sin y = √(2-√3))/2 ; cos y = √(2+√3))/2 ; sin 2y = 2 sin y cos y = 1/2; 2y = pi/6; y = pi/12
Для нахождения угла по его синусу, косинусу и т. д. используются так называемые аркфункции: арксинус, арккосинус и т. д. Их обозначают arcsin a, arccos a и т. д.
Перепишем ваше неравенство следующим образом
Здесь sgrt2=2^(1/2) – квадратный корень из 2. Сокращение sgrt происходит от английских слов square root – квадратный корень. Так часто пишут в интернете. Удобно произвести такую замену
Тогда неравенство (1) запишется так cos(2A)-sgrt2*sinA>1. Вспомним хорошо известную в тригонометрии формулу для косинуса двойного угла cos(2A)=1-2sin^2(A), где sin^2(A) – синус А в квадрате. Тогда наше неравенство сводится к виду 1-2sin^2(A)-sgrt2*sinA>1.
Перепишем его так (единицы сокращаются)
Как узнать синус угла в треугольнике если известны синусы остальных углов?
Дан треугольник. Известны синусы двух других, как найти третий?
По синусу угла в треугольнике можно определить сам угол. Например, согласно таблицам Брадиса. Дальше известно, что сумма углов треугольника равняется 180 градусов и известно два угла. Исходя из этого, находим третий угол. И определяем его синус.
Если известны только углы, то
C=180-arcsin(sin A)-arcsin(sin B)
Если известна хоть одна сторона, то есть теорема синусов.
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Зная одну сторону и два синуса, можно найти и третий синус, и остальные две стороны.
И заодно радиус описанной окружности, но это уже другая задача.
Перво-напротив значение угла приводится в первый квадрант (для чего разработчика программ надо знать старые добрые формулы приведения) или даже в первый октант. Ясное дело, что вычислять sin10 куда муторнее, sin0,57522, а ведь это по сути один и тот же угол: отличие на 2пи.
Второй вариант, который существенно быстрее, но который требует больше памяти, напоминает «вычисления» по таблицам Брадиса. В этом случае в память заранее заносятся значения функции в каких-то реперных точках (например, через каждую 1/128 радиана), а значения в промежуточных точках вычисляются методом линейной или квадратичной интерполяции, что требует на порядок меньше действий, чем при прямом вычислении.
Чисто техническая безыдейная задача. Решение — труд физический.
Расстояние между точками касания легко считается:
(r₂ + r₁)² = (r₂ − r₁)² + d² => d = 2√r₁r₂.
Угол можно считать по-разному. Например:
tg(ª⁄₂) = (r₂ − r₁) / 2√r₁r₂ = (r₃ − r₂) / 2√r₃r₂ = 2r√q;
Можно положить r₁ = r, тогда r₂ = qr; r₃ = q²r; r₄ = q³r; r₅ = q⁴r;
где q = 2tg²(ª⁄₂) + 2tg(ª⁄₂) / cos(ª⁄₂) (А).
Из подобия прямоугольных треугольников (см. рис.) следует:
(r + 2qr) / r = (2rq² + 2rq³ + rq⁴) / rq⁴.
q³ = q + 1; q ≈ 1,3247.
Обозначим tg²(ª⁄₂) = x, тогда из (А) следует:
Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
В статье мы расскажем, как находить значения:
Как вычисляются синусы и косинусы углов?
Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла \(30^°\). Отложим на круге угол в \(30^°\) и найдем какая точка соответствует этому углу.
Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».
Обычно на осях не отмечают \(0,1\); \(0,2\); \(0,3\) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: \(±\frac<1><2>=±0,5\); \(±\frac<\sqrt<2>> <2>≈±0,707\); \(±\frac<\sqrt<3>> <2>≈±0,866\).
Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.
Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
Градусная мера окружности равна \(360^°\), полуокружности \(180^°\), а четверти \(90^°\);
Углы в \(0^°\), \(30^°\), \(45^°\) и \(60^°\) выглядят так:
Задание 1 . Отметьте на окружности точки соответствующие углам: \(720^°\), \(225^°\), \(300^°\), \(870^°\), \(900^°\), \(-330^°\), \(-630^°\), \(-210^°\).
Как находить синус и косинус любого угла?
\(-540^°\) на тригонометрическом круге совпадает с \(-1\) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: \((-1;0)\). Значит, \(\cos(-540^°)=-1\), а \(\sin(-540^° )=0\).
Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).
Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ
В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.
Пример . Найдите значение выражения \(54\sqrt<3>\cos(510^°)\).
Решение. \(510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.\)
Как находить синус угла
Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.
Игры с линейкой и карандашом
Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.
В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.
Найти синус для угла больше 90°
Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.
Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям
Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.
Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.
Как находить синус по трём сторонам треугольника
Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.