Как узнать составное число
Простое число или составное?
Как определить, простое число или составное? Любое ли число обязательно или простое или составное? Чтобы ответить на эти вопросы, надо знать, какое число называется простым, и какое число называется составным.
1. Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.
2. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух делителей.
3. Единица не является ни простым, ни составным числом.
Теперь, когда мы знаем определение простого числа и определение составного числа, отличить простое число от составного для нас не составит труда. Кроме того, мы выяснили, что есть число, которое не является ни простым, ни составным. Это единица. Она имеет только один делитель — себя.
И еще одно замечание. Так как любое четное число делится на два, то все четные числа — составные. Единственное простое четное число — двойка. Она имеет только два делителя: единицу и себя.
8 Comments
Существует, ли 100% способотличия, одного от другого.
Проверка делимости — это и есть способ отличить простое число от составного. Простое число обязательно нечётное (единственное исключение — 2) и не делится на 5. Следовательно, если запись натурального числа оканчивается на 0, 2, 4, 5, 6 или 8, то оно точно не является простым. Дальше проверяем делимость на 3, 7, 11 и т.д.
Двойка делится на самое себя, как и любое число. В то же время двойка делится на двойку как четное число.
Поэтому ошибочно причислять двойку к простым числам.Это логическая несуразица.
Сколько делителей имеет двойка? Два: единицу и себя. Следовательно, соответствует определению простого числа.
Если число четное,то составное. Если нечетное то простое
Латифа, не совсем так. Есть одно чётное простое число — 2. Среди нечётных чисел бесконечно много составных: 9, 15, 21 и т.д.
Дело в том, что если делить двойку на саму себя, это то же, что делить двойку на двойку, ведь 2=2 по этому у нее два делителя: 1 и 2.
Да, число 2 имеет ровно два делителя. Поэтому оно является простым числом.
Простые и составные числа.
Число 1 имеет только один делитель — единицу. Любое другое натуральное число а имеет по крайней мере два делителя — единицу и само число а. Действительно, а:1 = а, а :а = 1.
Число 5 имеет только два делителя — числа 1 и 5. Только два делителя имеют также, в частности, числа 2, 7, 11, 13. Такие числа именуются простыми.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два натуральных делителя: единицу и само это число.
Простых чисел бесчисленное множество. Максимального простого числа не бывает.
У чисел 6, 15, 49, 1000 есть больше двух делителей.
Натуральное число принято называть составным, если у него бывает больше двух натуральных делителей.
Поскольку единица имеет только один делитель, то ее не относят ни к простым, ни к составным числам.
Составное число 105 можно различными методами отобразить в виде произведения его делителей.
105 = 15 • 7 = 35 • 3 = 5 • 21 = 3 • 5 • 7.
Отличительной чертой конечного произведения выступает то, что все его множители — простые числа. Указывают, что число 105 разложено на простые множители. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, то есть разложить на простые множители.
Заметим, что любые два разложения числа на простые множители состоят из одних и тех же множителей и могут отличаться только их последовательностью. Как правило, произведение одинаковых множителей в разложении числа на простые множители заменяют степенью.
При разложении числа на простые множители целесообразно использовать схему, которую продемонстрируем на примере разложения числа 2940:
1) 2940 поделится на 2, 2940 : 2 = 1470;
2) 1470 поделится на 2, 1470 : 2 = 735;
3) 735 не поделится на 2, но поделится на 3, 735 : 3 = 245;
4) 245 не поделится на 3, но поделится на 5, 245 : 5 = 49;
5) 49 не поделится на 5, но поделится на 7, 49 : 7 = 7;
6) 7 поделится на 7, 7 : 7 = 1.
Если простые числа записать в порядке их возрастания, то образуется последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…….
Последовательность простых чисел имеет много интересных свойств и тайн. Например, ученые Древней Эллады отметили, что среди простых чисел много таких разность которых равна двум, например: 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19 и т.д. Подобные пары чисел именуют простыми числами близнецами. Уже более 25 веков ученные стараются найти существуют ли максимальное число близнец, но до сих пор ответ на этот вопрос не найден.
Лекция 8. 22.04.20.ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Лекция 8. Простые и составные числа. Их свойства
Определение. Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно делится только на себя и на 1 (т. е. имеет ровно два разных делителя). Натуральное число называется составным, если оно имеет более 2 разных делителей.
Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 – простые, а число 18 – составное (1, 2, 3, 6, 9, 18 – его делители). Число 1 имеет только один делитель и не является ни простым, ни составным.
Таким образом, множество целых неотрицательных чисел N0 можно разделить на четыре непересекающихся подмножества:
1) <0>– множество, состоящее из одного элемента, числа 0:;
2) <1>– множество, состоящее из одного элемента, числа 1;
1) Если простое число p делится на натуральное число q ≠ 1, то q совпадает с числом p (q = p).
Доказательство. Действительно, если бы число p делилось на q и не совпадало с числом q, то оно имело бы три делителя: 1, p, q, что противоречит определению простого числа. Поэтому p = q.
2) Если p и q – разные простые числа, то p не делится на q.
Доказательство. Поскольку p – простое число, то оно делится только на 1 и p. По условию p ≠ q и q – простое число, значит, q ≠ 1. Отсюда следует, что p не делится на q.
3) Всякое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель, причем этот делитель наименьший.
Доказательство. Если число а – простое, то таким делителем числа а является само это число.
Последнее неравенство противоречит условию, что d – наименьший делитель числа а. Значит, допущение о том, что число d – составное, ошибочно.
Таким образом, наименьший делитель натурального числа а – всегда простое число.
Доказательство. Пусть число а – составное и d – его наименьший простой делитель (он существует на основании свойства 3).
Число 381 – составное, поскольку делится на 3 по признаку делимости.
Решето Эратосфена
Эратосфен – древний греческий ученый математик и астроном, который жил в III в. до н. э. Считают, что он первый составил таблицу простых чисел. В древности греки писали палочками на восковых досках. Записав некоторую последовательность натуральных чисел, Эратосфен прокалывал дырку, где стояли составные числа. Составные числа как бы «просеивались», а оставались только простые. Дощечка выглядела подобно решету. Отсюда, возможно, и название метода Эратосфена отсеивать составные числа.
Решение. Запишем последовательность натуральных чисел от 2 до 40.
Простые и составные числа: определения и примеры
Простые и составные числа: Freepick
Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.
Простые числа и их особенности
Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.
Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:
Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.
Числа в математике: Freepick
Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:
Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.
Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?
Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:
На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).
Что такое составные числа
Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.
Рассмотрим это на примере:
Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.
Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.
Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.
Математические расчеты: Freepick
Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.
Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.
Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.
Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.
Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора