Как узнать последовательность чисел

Числовая последовательность

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: \(2; 4; 6; 8; 10. \) А правило «первое число равно \(3\), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: \(3; 6; 12; 24; 48. \)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности \(3; 6; 12; 24; 48…\) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность \(3; 6; 12; 24; 48…\) обозначить как \(a_n\), то можно записать, что \(a_1=3\), \(a_2=6\), \(a_3=12\), \(a_4=24\) и так далее.

порядковый номер элемента

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

— I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

— II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: \(b_n=\frac\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: \(a_n=8+5n-n^2\). Вычислите \(a_9\).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер \(n=9\). Подставляем в формулу: \(a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28\).

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: \(c_1=4\), \(c_=c_n+3\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: \(c_1=4\).
Второй мы получим, подставив в формулу вместо \(n\) единицу: \(c_<1+1>=c_1+3\)
\(c_2=c_1+3=4+3=7\)
Третий (\(n=2\)): \(c_<2+1>=c_2+3 \)
\(c_3=c_2+3=7+3=10\).

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула \(c_=c_n+3\) требовала именно этого. В ней \(c_n\) – это предыдущий элемент, а \(c_\) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента \(z_1=2;\) \(z_2=5\). Так же известна формула следующего элемента \(z_=3z_-z_n\). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:

Так как формула дана для элемента с номером \(n+2\), то чтобы найти \(z_3\) нужно подставлять вместо \(n\) единицу:
\(z_<1+2>=3z_<1+1>-z_1\)
\(z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13\)

\(z_1\)\(z_2\)\(z_3\)\(z_4\)\(z_5\)\(. \)
\(2\)\(5\)\(13\)??\(. \)

Теперь найдем \(z_4\), подставив вместо \(n\) двойку:
\(z_<2+2>=3z_<2+1>-z_2\)
\(z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34\)

\(z_1\)\(z_2\)\(z_3\)\(z_4\)\(z_5\)\(. \)
\(2\)\(5\)\(13\)\(34\)?\(. \)
Наконец вычисляем \(z_5\), подставляя вместо \(n\) тройку:
\(z_<3+2>=3z_<3+1>-z_3\)
\(z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89\)
\(z_1\)\(z_2\)\(z_3\)\(z_4\)\(z_5\)\(. \)
\(2\)\(5\)\(13\)\(34\)\(89\)\(. \)
Готово. Можно писать ответ.

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности \(a_n=n^2-n\):

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

\(a_2=2^2-2=2\) – тоже не то.

Нужный элемент найден.

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

Если число \(3\) – член последовательности, то значит при некотором значении \(n\), формула \(\frac<51+2n>\) должна дать нам тройку. Найдем это \(n\) по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо \(a_n\).

Источник

Числовые последовательности для чайников: определение, формулы

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Какие бывают последовательности

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Сумма первых n членов прогрессии:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Источник

Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел
Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

где Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселi-ый член последовательности.

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

Последовательность простых чисел :

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Пример задания рекуррентной последовательности:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

В этой последовательности

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Пример стационарной последовательности:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

Найдем разность членов Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисели Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел
Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.(3)

Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (bn) является возрастающей и при каких, убывающей:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисели Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел
Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел. Тогда последовательность является убывающей. При a=10 Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел. Последовательность имеет одинаковые члены:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

т.е. имеем дело с последовательностью

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (yn) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что yn Определение 6. Последовательность (yn) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что yn>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (yn) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (an) является монотоннной и ограниченной:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисели Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел
Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (an) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Из выражения (7) видно, что при любых n an≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел. Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел
Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (yn), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n0, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n0 содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (yn), то пишут Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел( Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселстремится к k или Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселсходится к k).

Обозначают это так:

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел, при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел, где Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселрадиус этой окрестности ( Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел>0). По определению, существует номер n0, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Если же взять другую окресность Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел(пусть Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел), то найдется другой номер n1, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n1 > n0.

Пример 4. Дана полследовательность (yn):

Доказать, что Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

В качестве n0 берем 501. Имеем:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Далее, учитывая (13), имеем:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел. А по определению 8, это означает:

Пример 5. Дана полследовательность (yn):

Доказать, что Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n0 так, чтобы

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.
Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n0 натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселдля любого n0). Из неравенства (16) можно найти номер n0, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел. Тогда нужно брать n0=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Легко проверить, что Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел. Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Теорема. Если Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел, то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

2. Предел произведения равен произведению пределов:

3. Предел частного равен частному пределов:

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

Пример 7. Найти предел последовательности:

Решение. Так как Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел, то

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Пример 8. Найти предел последовательности:

Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим

Как узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чиселКак узнать последовательность чисел. Смотреть фото Как узнать последовательность чисел. Смотреть картинку Как узнать последовательность чисел. Картинка про Как узнать последовательность чисел. Фото Как узнать последовательность чисел.

Пример 9. Вычислить:

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *