Как узнать параллельны ли прямые

Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых.

Эта статья о параллельных прямых и о параллельности прямых. Сначала дано определение параллельных прямых на плоскости и в пространстве, введены обозначения, приведены примеры и графические иллюстрации параллельных прямых. Далее разобраны признаки и условия параллельности прямых. В заключении показаны решения характерных задач на доказательство параллельности прямых, которые заданы некоторыми уравнениями прямой в прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Навигация по странице.

Параллельные прямые – основные сведения.

Напомним сначала определения параллельных прямых, которые были даны в статьях прямая на плоскости и прямая в пространстве.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат.

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то прямую линию в этой системе координат определяет уравнение прямой на плоскости некоторого вида. Аналогично прямую линию в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задают некоторые уравнения прямой в пространстве.

В этом пункте статьи мы сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от вида уравнений, определяющих эти прямые, а также приведем подробные решения характерных задач.

Для параллельности двух несовпадающих прямых на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, или нормальные векторы этих прямых были коллинеарны, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору второй прямой.

Если прямую a и прямую b в прямоугольной системе координат определяют канонические уравнения прямой на плоскости вида Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые, или параметрические уравнения прямой на плоскости вида Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыесоответственно, то направляющие векторы этих прямых имеют координаты Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые, а условие параллельности прямых a и b записывается как Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые.

Разберем решения нескольких примеров.

Параллельны ли прямые Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые?

нет, прямые не параллельны.

Являются ли прямые Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыепараллельными?

Приведем каноническое уравнение прямой Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыек уравнению прямой с угловым коэффициентом: Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Очевидно, что уравнения прямых Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыене одинаковые (в этом случае заданные прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, следовательно, исходные прямые параллельны.

Второй способ решения.

заданные прямые параллельны.

Чтобы доказать параллельность прямых в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве пользуются следующим необходимым и достаточным условием.

Для параллельности несовпадающих прямых в трехмерном пространстве необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы были коллинеарны.

Разберемся с применением условия параллельности прямых в пространстве при решении примера.

Докажите параллельность прямых Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые.

Нам заданы канонические уравнения прямой в пространстве вида Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи параметрические уравнения прямой в пространстве вида Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Направляющие векторы Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыезаданных прямых имеют координаты Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Так как Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые, то Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Таким образом, выполнено необходимое и достаточное условие параллельности двух прямых в пространстве. Этим доказана параллельность прямых Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые.

Источник

Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.

Следствие.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.

Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.

Источник

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Источник

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеКак узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеКак узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеКак узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые(Рис.8).

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Докажем, что Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Тогда Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые.

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые(Рис.11).

Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Тогда из Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеследует, что Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Из Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеи Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямыеследует, что Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть фото Как узнать параллельны ли прямые. Смотреть картинку Как узнать параллельны ли прямые. Картинка про Как узнать параллельны ли прямые. Фото Как узнать параллельны ли прямые

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *