Как узнать относительную частоту

18.12.202318.09.2023 admin 0 Comments

Относительная частота события
и статистическое определение вероятности

Сегодня мы завершаем изучение первого раздела теории вероятностей, который посвящён основным подходам к определению вероятности, теоремам сложения и умножения событий, а также их основным следствиям. В учебной литературе статистическое определение вероятности обычно рассматривается в первой же главе, но вот мне показалось удачным отложить этот вопрос на заключительный урок по теме. Давайте вспомним, с чего всё начиналось:

Вероятность наступления события в некотором испытании – есть отношение , где:

– общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

О некоторых недостатках классического определения вероятности заходила речь в статье Геометрическое определение вероятности, но это только верхушка айсберга, и сейчас данный вопрос получит интереснейшее продолжение. Начнём опять же с бесхитростных примеров 1-го урока по теории вероятностей:

– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена трефа

Внимательный читатель заметил, что все комментарии о вероятностях сформулированы в будущем времени. И это не случайность – классическое определение, как правило, оценивает вероятность ДО проведения испытаний и даже без их фактического проведения. То есть, монета ещё не подброшена, а вероятность появления орла мы уже прекрасно знаем. Можно дать зарок никогда не брать в руки кубик либо колоду карт, однако, вероятности событий беспроблемно рассчитываются и без этого.

Примечание: однако, в отсутствии информации о результате испытания фразу «Вероятность того, что монета упала орлом» (например) всё же нельзя признать некорректной. То есть классическое определение может оценивать вероятность и после реального опыта.

Почему такое возможно? Такое возможно потому, что все элементарные исходы известны и подсчитаны заранее:

орёл и решка – итого 2 элементарных исхода;
1, 2, 3, 4, 5, 6 – 6 элементарных исходов;
6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т каждой масти – всего 36 карт.

Кроме того, для применения классического определения вероятности необходима равновозможность элементарных исходов (см. определение). Равновозможность выпадения граней монеты либо кубика обуславливается симметрией и несмещённым центром тяжести, колода же карт должна быть полной, некраплёной и хорошо перемешанной.

И всё было бы ладно, но в реальной жизни подобные модели встречаются нечасто. В большинстве ситуаций элементарные исходы перечислить затруднительно или невозможно, и ещё труднее обосновать их равновозможность. Простой пример:

Штирлиц пошёл в лес за грибами. Найти вероятность того, что он найдёт подберёзовик.

Кстати, каверзная задачка на счёт равновозможности была в конце урока о теоремах Лапласа. Краткая суть состоит в следующем: если в городе проживает примерно равное количество мужчин и женщин (которых подсчитать значительно проще =)), то это ещё не значит, что вероятность встретить на улице мужчину либо женщину равна 1/2.

Вновь обратим внимание на шаблонные формулировки стандартных задач:

«Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8»;
«Вероятность изготовления бракованной детали на данном станке составляет 0,05».

Возникает вопрос, откуда взялись эти значения? И ответ здесь один: данные вероятности могли получиться только на основе ранее проведённых опытов.

Относительная частота события и статистическая вероятность

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний , в которых данное событие появилось, к общему числу фактически проведённых испытаний:
, или короче:

Относительная частота наряду с вероятностью является одним из ключевых понятий тервера, но если классическое либо геометрическое определение вероятности не требуют проведения испытаний, то относительная частота рассчитывается исключительно ПОСЛЕ опытов на основе фактически полученных данных.

В том случае, если серии испытаний проводятся в неизменных условиях, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, то есть колеблется около определённого значения.

Пусть некий профессиональный стрелок произвёл 100 выстрелов по мишени и попал 83 раза. Тогда относительная частота поражения цели составит: .

Предположим, что тот же самый стрелок в точно такой же «форме» и в приблизительно таких же условиях снова провёл серию из 100 выстрелов. Вероятно ли, что он снова попадёт 83 раза? Не очень. Но количество попаданий вряд ли будет сильно отличаться от предыдущего результата. Пусть, например, стрелок попал 79 раз. Тогда относительная частота поражения цели составит: .

В третьей серии из 100 выстрелов, проведённой при похожих обстоятельствах, данный стрелок попал 81 раз, и т.д.

Иногда могут случаться блестящие серии более 90 попаданий, иногда «провалы», но среднее количество попаданий будет варьироваться около 80. И когда количество фактически проведённых испытаний станет достаточно большим, то речь зайдёт о статистической вероятности. Если в одинаковых (примерно одинаковых) условиях проведено достаточно много испытаний, то за статистическую вероятность события принимают относительную частоту данного события либо близкое число.

Предположим, что на протяжении нескольких лет наш спортсмен, сохраняя стабильный уровень подготовки, совершил 10000 выстрелов и попал 8037 раз. Относительная частота поражения цели составит: и за статистическую вероятность его результативности целесообразно принять , которая становится теоретической оценкой, например, перед грядущими соревнованиями.

Представьте, что во время лекции этот профессионал зашёл с винтовкой в аудиторию и прицелился. Теперь вам должен стать окончательно понятен смысл фразы «Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8» =) =)

Именно так собирается богатая спортивная статистика в различных видах спорта.

Аналогичная история с утверждением «Вероятность изготовления бракованной детали на данном станке равна 0,05». Эту оценку невозможно получить с помощью классического определения вероятности – она следует только из практики! Если на станке произведены десятки тысяч деталей и на каждую, скажем, тысячу выпущенных деталей, приходится в среднем 50 бракованных, то в качестве статистической вероятности брака принимается значения .

В Задаче 2 урока Локальная и интегральная теоремы Лапласа фигурировала вероятность рождения мальчика . Откуда взялось данное число? Из многолетнего подсчёта фактически рождённых детей в определённом регионе. В указанной статье мы выяснили, что это вовсе не значит, что среди 100 новорожденных будет ровно 52 мальчика. В следующей сотне рождённых их может оказаться, например, 45, и относительная частота будет далека от истины. Но если рассмотреть выборку в тысячи и десятки тысяч младенцев, то отклонится от совсем-совсем незначительно. И это уже не случайность. Как известно, такое соотношение новорожденных сложилось эволюционно – по причине бОльшей смертности мужчин.

В учебном пособии В.Е. Гмурмана есть весьма удачный пример, в котором продемонстрировано, как при подбрасывании монеты относительная частота появления орла приближается к своей вероятности (полученной по классическому определению):

Какой можно сделать вывод? С увеличением количества независимых испытаний случайность превращается в закономерность. Однако следует помнить, что порядок выпадения орлов непредсказуем, о чём я подробно рассказывал на уроке Независимые испытания и формула Бернулли.

Вернёмся к европейской рулетке с 18 красными, 18 чёрными секторами и 1 зеро. В самом примитивном варианте игры: ставим на «красное» или «чёрное», и если шарик остановился на секторе другого цвета (вероятность ) – ставка проигрывается. В случае успеха – удваиваемся (вероятность ).

В отдельно взятом сеансе игры отдельно взятый человек может выиграть, причём выиграть по-крупному. Это случайность. Но, совершая миллионы оборотов, рулетка на протяжении веков приносит неизменную прибыль владельцам казино. И это – закономерность. Существует байка о том, что крупный выигрыш не отдадут, а если и отдадут, то «вы с ним не дойдёте до дома». Чистая «киношная» фантазия. Да, кому-то повезло, но сколько проиграется?! К тому же человек, посещающий подобные заведения, с большой вероятностью придёт снова и «сольёт» ещё больше. А чтобы он вернулся, казино, скорее наоборот – создаст максимальный комфорт и безопасность для «счастливчика».

Другой, во многом условный, пример: пусть в некой лотерее приняло участие билетов, из которых выиграли хоть какой-то приз. Таким образом, относительная частота выигрыша составила: . Поскольку билетов продано очень много, то с большой вероятностью можно утверждать, что в будущем при сопоставимых объемах продаж доля выигравших билетов будет примерно такой же, и за статистическую вероятность выигрыша удобно принять значение .

Организатор лотереи знает, что из миллиона проданных билетов выиграют около 300 тысяч с небольшим отклонением. И это закономерность. Но всем участникам лотереи достаётся…. – правильно, случайность! То есть, если вы купите 10 билетов, то это ещё не значит, что выиграют 3 билета. Так, например, выигрыш только по одному билету – есть событие очень даже вероятное, по формуле Бернулли:

А если учесть тот факт, что львиная доля выигрышей – сущая мелочь, то картина вырисовывается совсем унылая, ибо маловозможные события не происходят. Ситуацию спасают красочные телевизионные розыгрыши и различные психологические трюки.

Желающие могут самостоятельно исследовать вероятность выигрыша в различные лотереи – вся статистика есть в свободном доступе. Особо рекомендую подсчитать вероятность крупного выигрыша.

Практическая часть урока будет тесно связана с только что изложенным материалом:

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности

Вероятность того, что в независимых испытаниях относительная частота события отклонится от вероятности (появления данного события в каждом испытании) не более чем на , приблизительно равна:
, где – функция Лапласа.

Собственно, эта формула и выведена из интегральной теоремы Лапласа.

Итак, расклад следующий: в распоряжении имеется вероятность наступления события , которая предварительно получена с помощью классического/геометрического определения или посредством серьёзной статистической оценки. Планируется провести независимых испытаний, в которых событие может наступить некоторое количество раз, причём значение , разумеется, предсказать нельзя. Полученная относительная частота может оказаться как больше, так и меньше вероятности (поэтому нужен знак модуля).

Требуется найти вероятность того, что в серии из независимых испытаний, расхождение между относительной частотой и теоретической вероятностью , будет не больше, чем заранее заданное число, например, не больше, чем (один процент).

Начнём с самых маленьких :=)

В некотором регионе в результате многолетнего статистического исследования установлена вероятность рождения мальчика . С какой вероятностью можно утверждать, что среди следующей тысячи новорожденных, относительная частота появления мальчика отклонится от соответствующей вероятности не более чем на 0,02?

Решение: используем формулу

По условию:

Таким образом:
– искомая вероятность.

Напоминаю, что значения функции Лапласа можно найти по соответствующей таблице или с помощью расчётного макета (пункт 5).

Ответ:

Каков смысл полученного результата? Если рассмотреть достаточно много групп по 1000 новорожденных в каждой, то примерно в 79,6% этих групп доля мальчиков будет находиться в пределах:

Или, умножая все три части на тысячу: от 500 до 540 мальчиков.

На самом деле рассмотренная задача эквивалентна следующей: «Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет от 500 до 540 мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,52». А эта задача как раз и решается через известную вам интегральную теорему Лапласа.

Посмотрим на правую часть формулы и проанализируем, как при прочих равных условиях рассматриваемая вероятность зависит от размера выборки?

При росте «эн», дробь будет увеличиваться, а, как вы знаете, . То есть, вероятность отклонения рано или поздно приблизится к единице. И это неудивительно – как неоднократно показано в предыдущих примерах, при росте относительная частота события всё ближе и ближе стремится к вероятности данного события, а значит, при достаточно большом количестве испытаний разница практически достоверно будет не больше наперёд заданного числа .

Наоборот – при уменьшении «эн» дробь тоже будет уменьшаться, следовательно, значение будет приближаться к нулю . Нетрудно понять, что при слишком малой выборке теорема Лапласа работать перестанет. И действительно – ведь все детей в семье могут вообще оказаться девочками. Такое бывает.

Пара задач для самостоятельного решения:

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие может появиться с вероятностью 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях раз. Определить вероятность того, что в 800 независимых испытаниях относительная частота появления события отклонится от вероятности не более чем: а) на 0,05, б) на 0,03

Условие сформулировано в общем виде, как оно чаще всего и бывает. Ещё раз повторим суть задания: проводится опытов, в результате чего событие наступит раз – сколько именно, предугадать невозможно. Относительная частота составит . С другой стороны, известна вероятность события , которая установлена ранее с помощью классического/геометрического определения или путём сбора солидной статистики. Требуется найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности, не более чем на : В чём смысл? С найденной вероятностью можно утверждать, что относительная частота будет заключена в следующих пределах:

Или в абсолютном количестве появлений события :

Надо сказать, что границы достаточно вольные и вероятность должна получиться большой. Если же наперёд заданная точность составит , то промежуток сократится: , и, понятно, что вероятность данного события будет меньше.

Следующий пример для самых мудрых участников лотереи 🙂

Вероятность выигрыша в лотерею равна 0,3. Продано 600000 билетов. Найти вероятность того, что относительная частота выигрыша отклонится от вероятности выигрыша не более чем на .

Иными словами, требуется найти вероятность того, что относительная частота выигрыша будет находиться в пределах: (то есть выиграют от до билетов).

Эта информация очень важнА для корректного распределения призового фонда. Но, повторюсь, пример достаточно условный, т.к. не учитывает правила и ограничения той или иной лотереи.

Краткое решение и ответы в конце урока.

На практике не менее популярна и обратная задача:

Как определить, сколько нужно провести испытаний
чтобы с заранее заданной вероятностью обеспечить желаемую точность ?

В предыдущем примере получена довольно высокая вероятность того, что количество выигравших билетов окажется в достаточно узком интервале: билетов относительно наивероятнейшего количества .

Но, конечно же, хочется, чтобы вероятность была побольше:

Вероятность выигрыша в лотерею равна 0,3. Сколько билетов должно участвовать в розыгрыше, чтобы с вероятностью не меньшей чем , можно было ожидать, что относительная частота выигрыша отклонится от теоретической вероятности не более чем на ?

Решение: используем ту же формулу .

В нашем распоряжении находятся следующие величины:

По условию, требуется найти такое количество билетов , чтобы с вероятностью не меньшей чем разница составила не более чем . Ну, а коль скоро с вероятностью «не меньшей», то задачу следует разрулить через нестрогое неравенство:

Подставляем известные значения:

Делим обе части на два:

По таблице значений функции либо с помощью расчётного макета (пункт 5*) по известному значению функции находим соответствующий аргумент: . Таким образом:

Возведём обе части в квадрат:

И финальный штрих:

Ответ: для того, чтобы с вероятностью не меньшей чем , можно было ожидать, что , в розыгрыше должно участвовать не менее 1397844 билетов.

Но это ещё нужно столько продать =) Или же аппетит придётся поубавить. Или пожертвовать точностью, то есть увеличить .

Представим ответ в абсолютных значениях:

То есть, в 99% аналогичных розыгрышей количество выигравших билетов будет заключено в пределах от до .

Кстати, выполним проверку, решив прямую задачу:
, что и требовалось проверить.

Заключительная миниатюра для самостоятельного решения:

Проводится некоторый опыт, в котором случайное событие может появиться с вероятностью 0,4. Определить, сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от не более чем на 0,05

Не ленимся 😉 Ответ в таких задачах следует округлять до бОльшего натурального значения! Краткое решение и ответ внизу страницы.

Первый цикл уроков по теории вероятностей подошёл к концу и даже начал плавно переходить в математическую статистику, так, если в рассмотренной задаче значение не известно, то это уже статистическая задача об оценке этой вероятности.

И я уже хотел поставить традиционное пожелание «Везения в главном», но вдруг задумался…. Имеет ли в нашей жизни значение случайность? Безусловно! Нет, я не преуменьшаю значение системной и упорной работы, после которой следуют закономерные результаты. Однако и везение играет немаловажную роль: встретить хороших друзей, встретить «своего» человека, найти деятельность по душе и т.д. – всё это нередко происходит благодаря случаю….

Жду вас снова и до скорых встреч!

Задача 2: Решение: используем формулу .
В данной задаче:

а) Если , то:
– вероятность, того, что при 800 испытаниях относительная частота появления события отклонится от вероятности данного события не более чем на 0,05.

Это событие является практически достоверным.

б) Если , то:
– вероятность, того, что при 800 испытаниях относительная частота появления события отклонится от вероятности данного события не более чем на 0,03.

Ответ:

Задача 3: Решение: используем формулу .
В данной задаче:
Таким образом:
– вероятность, того, что относительная частота выигрыша отклонится от теоретической вероятности не более чем на 0,001.
Ответ: