Как узнать модуль вектора

Модуль вектора. Длина вектора.

Определение длины вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Решение: | a | = √ 3 2 + (-4) 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Решение: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 = √ 4 + 16 + 16 = √ 36 = 6.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Решение: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Онлайн калькулятор. Модуль вектора. Длина вектора

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти длину вектора для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление модуля вектора и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора) по двум точкам

Размерность вектора:

Форма представления вектора:

Инструкция использования калькулятора для вычисления длины вектора

Ввод даных в калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора)

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел..

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления длины вектора (модуля вектора)

Вычисления длины вектора (модуля вектора)

Например, для вектора a = x; a_y; a_z> длина вектора вычисляется cледующим образом:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Длина вектора. Модуль вектора.

Этот калькулятор онлайн вычисляет длину (модуль) вектора. Вектор может быть задан в 2-х и 3-х мерном пространстве.

Онлайн калькулятор для вычисления длины (модуля) вектора не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

Вычислить длину (модуль) вектора

Немного теории.

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Определение вектора

Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение
Направленный отрезок называется вектором.

Будем обозначать вектор символом \( \overrightarrow \), причем первая буква означает начало вектора, а вторая — его конец.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается \( \vec <0>\) или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается \( |\overrightarrow| \) или \( |\vec| \).

Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна нулю, т.е. \( |\vec<0>| = 0 \).

Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение
Векторы \( \vec \) и \( \vec \) называются равными (\( \vec = \vec \)), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось \( u \) и некоторый вектор \( \overrightarrow \). Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси \( u \). Обозначим через А’ и В’ точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).

Замечание
Пусть \( \overrightarrow=\overrightarrow \) и задана какая-то ось \( u \). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем
\( Пр_u \overrightarrow = Пр_u \overrightarrow \)
т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор \( \overrightarrow \). Пусть, далее, \( X = Пр_u \overrightarrow, \;\; Y = Пр_u \overrightarrow, \;\; Z = Пр_u \overrightarrow \). Проекции X, Y, Z вектора \( \overrightarrow \) на оси координат называют его координатами. При этом пишут
\( \overrightarrow = (X;Y;Z) \)

Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), координаты вектора \( \overrightarrow \) определяются следующими формулами:

Замечание
Если вектор \( \overrightarrow \) выходит из начала координат, т.е. x₂ = x, y₂ = y, z₂ = z, то координаты X, Y, Z вектора \( \overrightarrow \) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.

Направляющие косинусы вектора

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
\( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Линейные операции над векторами и их основные свойства

Сложение двух векторов

Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора \( \vec,\;\; \vec, \;\; \vec \). Сложив \( \vec \) и \( \vec \), получим вектор \( \vec + \vec \). Прибавив теперь к нему вектор \( \vec \), получим вектор \( \vec + \vec + \vec \)

Произведение вектора на число

Основные свойства линейных операций

1. Переместительное свойство сложения
\( \vec + \vec = \vec + \vec \)

3. Сочетательное свойство умножения
\( \lambda (\mu \vec) = (\lambda \mu) \vec \)

4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
\( (\lambda +\mu) \vec = \lambda \vec + \mu \vec \)

5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
\( \lambda ( \vec+\vec) = \lambda \vec + \lambda \vec \)

Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».

Теоремы о проекциях векторов

Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
\( Пр_u (\vec + \vec) = Пр_u \vec + Пр_u \vec \)

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Разложение вектора по базису

Пусть векторы \( \vec, \; \vec, \; \vec \) — единичные векторы осей координат, т.e. \( |\vec| = |\vec| = |\vec| = 1 \), и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов \( \vec, \; \vec, \; \vec \) называется базисом.
Имеет место следующая теорема.

Теорема
Любой вектор \( \vec \) может быть единственным образом разложен по базису \( \vec, \; \vec, \; \vec\; \), т.е. представлен в виде
\( \vec = \lambda \vec + \mu \vec + \nu \vec \)
где \( \lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) — некоторые числа.

Источник

Как найти модуль вектора?

Добрый день. Нужен ответ на вопрос: «Как найти модуль вектора?». Кроме теории о модуле вектора на плоскости и в пространстве нужно показать на примерах, как он находится. Спасибо!

Если модуль вектора задан своими координатами, необходимо вычислить его длину, которая рассчитывается извлечением корня из суммы квадратов каждой его координаты.

Если вектор задан координатами , то модуль вектора находится по формуле:

Рассмотрим пример вычисления модуля вектора, заданного на плоскости.

Пример.
Найти модуль вектора .

Решение:
Чтобы вычислить модуль вектора используем формулу:

Подставим в данную формулу координаты данного вектора и получим:

Ответ: .

2. Как найти модуль вектора в пространстве

Координаты вектора в пространстве задают три координаты, то есть . Тогда его модуль будет вычисляться по формуле:

Найдем модуль вектора в пространстве.

Пример.
Известны координаты вектора: и . Найти модуль вектора .

Решение:
Для того, чтобы найти модуль вектора, нужно найти его координаты. Для этого из координат точки В вычтем координаты точки А:

Подставим координаты вектора и найдем его модуль:

Ответ:

Источник

Характеристики вектора: длина, направление, координаты

У любого вектора есть 2 главные характеристики:

Третья характеристика вектора – это его координаты.

Примечание:

Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.

Что такое координаты вектора

Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).

Координаты вектора указывают так:

\( a_ \) – это «x» координата вектора, проекция вектора \( \vec \) на ось Ox;

\( a_ \) — это «y» координата вектора, проекция вектора \( \vec \) на ось Oy;

Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:

«координата вектора» = «конец» — «начало»

Пример:

\( A \left( 1;1 \right) \) — начальная точка,

\( B \left( 4;3 \right) \) — конечная точка,

\[ \overrightarrow = \left\< AB_; AB_ \right\> \]

\[ \begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \\ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 \end \]

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

\( a_ \) и \( a_ \) — это числа, координаты вектора \( \vec \)

Для двухмерного вектора:

Для трехмерного вектора:

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:

— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

2). Если вектор не лежит вдоль линий:

— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

\( \Delta x \) — горизонталь; \( \Delta y \) — вертикаль;

— затем применяем формулу:

Как указать направление вектора

Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.

Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.

Для двумерного вектора

Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:

Словами указать направление вектора можно так:

Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.

Для трехмерного вектора

Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.

Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.

Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).

Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.

Для указания сферических координат принято использовать:

Источник