Как узнать линейную функцию

Линейная функция « y = kx + b » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

Запишем полученные результаты в таблицу.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1

−

−2 = 1

(неверно)

Как найти точки пересечения графика с осями

Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.

Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:

Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:

Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Источник

Общие сведения

В математике существует определение линейной функции, которое частично ее характеризует. Однако этого недостаточно для построения графика и дальнейшего исследования. На основании определений формулируются теоремы. Последние необходимо доказывать, а полученный результат применять для решения различных задач.

Функцией называется зависимость одной величины от другой, которая может быть выражена простым или сложным законом. Зависимая величина называется значением функции. Аргументом является любое значение независимой переменной, но при условии, что в результате подстановки она не обращает функцию в неопределенность.

Простым примером может быть выражение z = 1 / p (гипербола). Величина p может принимать любые значения, кроме 0. Примером линейной функции является тождество z = 4 * v. Следует отметить, что v может принимать любые значения. Если v = 0, то на графике следует отметить точку в центре координат (v = 0; z = 4 * 0 = 0).

После небольшого вступления необходимо разобрать прямоугольную систему координат, так как в ней нужно выполнять построение функции линейной зависимости.

Декартова система координат

Для построения графиков функций применяется специальный инструмент. Он называется координатной системой или плоскостью. Пользуется высокой популярностью прямоугольная декартова система координат (рис. 1), состоящая из двух осей. Последние пересекаются под прямым углом. Горизонтальная называется осью абсцисс, а вертикальная — ординат. Значения последней зависят от первой, хотя их можно поменять местами. Чтобы не было путаницы, нужно придерживаться первого варианта.

Рисунок 1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости (ДПСКП).

Ось ординат часто обозначают OY, а абсцисс — OX. Точкой их пересечения считается О. Названия осей можно изменить. Кроме того, подобную операцию можно осуществить и с их центром. Например, его можно обозначить G, O’, O1 и т. д. Этот прием используется для решения задач с несколькими системами. Например, одна из них находится в другой, то есть применяется для решения упражнений на повороты и подобия фигур.

Прямоугольная система разделена на четыре четверти. Если функция находится в первой (I), то она является положительной. Координаты также имеют свой знак (положительный или отрицательный). Эту особенность следует учитывать для решения задач. Например, пусть дана абсцисса t и ордината v. Специалисты рекомендуют разобрать свойства четвертей, используя такие обозначения и свойства знаков:

В первом случае угол f является острым, то есть он меньше 90 градусов, а во втором — тупым. Если к = 0, то, выполнив необходимые математические преобразования, можно сделать вывод о том, что он параллелен оси OX. Важным элементом, который применяется для построения графика, считается предварительное исследование искомой функции.

Элементы исследования функции

Исследование функции применяется для анализа (объяснения) ее свойств и построения графика с учетом характерных особенностей. Операцию следует выполнять строго по алгоритму. В некоторых случаях допускается опускать отдельные элементы, которые не нужны по условию задачи. Необходимо выяснить характер поведения функции. Анализируется она по такому перечню: поиск области определения и допустимых значений, нулей и знаковых промежутков, периодичности, монотонности и экстремумов. Также проводится анализ на четность.

Далее строится график с учетом результатов исследования, на основании которых можно построить даже приближенное графическое представление. Перед тем как приступить к исследованию, необходимо разобрать правила записи интервалов в математике. Этот момент является очень важным, поскольку от него зависит правильность построения и анализа функции. Существует такая международная форма их записи:

Нужно разобрать несколько примеров. Промежуток вида [2;5) означает, что в интервал входят следующие числа: 2, 3 и 4. Следует отметить, что бесконечность может быть положительной и отрицательной. В первом случае перед значком не указывается знак +, хотя при желании это можно сделать, поскольку эта форма записи не считается ошибкой. Отрицательная большая величина обозначается -inf, -бесконечность или -∞. Далее следует подробно рассмотреть область определения и понятие о допустимых значениях.

Области определения

Область определения функции — допустимый интервал значений, которые принимает ее аргумент. Иными словами, это значения независимой переменной, при подстановке которых выражение продолжает существовать и не считается неопределенностью. Простой пример: p = 1 / s. Это выражение является неопределенностью только при значении s = 0, поскольку на 0 делить нельзя. Обозначать область определения следует таким образом: D(имя функции). Для функции p = 1 / s запись производится в таком виде: D(p) = (-∞;0) U (0; ∞).

Следующим элементом является область допустимых значений функции (E(p)), которая представляет промежуток значений выражения на заданном интервале. Однако не следует путать эти два термина, поскольку вычисляются они по разным алгоритмам. Если D(p) записывается некоторым промежутком аргумента, то поиск E(p) сводится к определению точек экстремума и дальнейшей проверке их соответствия искомому интервалу.

Нулевые значения и знаковые интервалы

Нулями функции вида у = k * х + b называются все значения зависимой и независимой величин, при которых график пересекается с осями прямоугольной системы координат. Выполняется операция нахождения нулей по таким формулам:

Интервалом знакопостоянства называется совокупность определенных промежутков, на которых функция меняет знак на противоположный. Для этого применяется частичное исследование:

У линейной зависимости нет точек разрыва, поскольку ее геометрической интерпретацией является прямая. Промежутки знакового поведения указываются таким образом:

На ОХ следует обозначать только значения, которые входят в D(z). Все остальные нужно отсеивать, поскольку они являются ложными.

Характер периодичности и четности

Чтобы проверить четность, нужно применить другую формулу: z(p) = z(-p). Для реализации проверки нужно подставить сначала положительное значение аргумента, а затем отрицательное. Далее следует сравнить ответы. Если равенство соблюдается, то можно сделать вывод о четности искомого тождества. Для определения нечетности существует другая формула: -z(p) = z(-p). Однако бывают случаи, когда ни одно из равенств не выполняется. Тогда математики говорят, что искомая функция не является четной и нечетной.

Монотонность, минимум и максимум

Монотонностью функции называется ее способность к возрастанию или убыванию на всей области допустимых значений. Для определения этого параметра существует элементарный алгоритм:

Для поиска минимального и максимального значений (экстремумов) на необходимом промежутке или всей числовой оси нужно применить такую инструкцию:

Математики рекомендуют учитывать каждую точку. Кроме того, необходимо отсеять ложные корни. Для этого следует подставить полученные значения переменной в уравнение, а затем произвести расчеты. Должно быть соответствие левой и правой частей.

Свойства зависимости

Перед тем как решать задачи, нужно обратить внимание на свойства линейной функции. Существуют два положения, которые зависят от коэффициента k. При k > 0 функция обладает такими свойствами:

Источник

Содержание:

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными

где и —заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел и .

удовлетворяют следующие пары:

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению , нужно придать произвольное числовое значение и подставить в уравнение , тогда получит определенное числовое значение. Например, если . Очевидно, что пара чисел и удовлетворяет уравнению. Так же и в случае уравнения (1) можно придать произвольное числовое значение и получить для соответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то называют независимой переменной величиной или аргументом.

Для получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения ; поэтому называют зависимым переменным или функцией.

Функцию , определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением , при следующих значениях независимого переменного: .

Решение:

Если ; если ; если .

Покажем, что если принять пару чисел и , удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

В самом деле, рассмотрим точку и точки и , координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е. . Обозначим проекции точек , и на ось через , и , тогда , Проведем из точки прямую, параллельную оси . При этом получим

Предположим, что точки и , не лежат на родной прямой. Соединяя точку с точками , и , получим два прямоугольных треугольника и , из которых имеем:

Но так как и удовлетворяют уравнению (1), то

Выражения и являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для углов и . Следовательно, и — а поэтому и так как углы острые. Это значит, что точки и лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки и лежат на одной прямой. Обозначим угол через . Этот угол образован прямой с положительным направлением оси .

Так как и — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси отрезок и образующей с положительным направлением оси угол такой, что .

Число называется начальной ординатой, число — угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна , а угловой коэффициент .

Например, линейная функция определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси отрезок —4 и наклоненную к оси под углом в 60°, так как .

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси отрезок и наклоненную к оси под углом тангенс которого равен , то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение .

Очевидно, имеет место и такое предложение: Всякой прямой, отсекающей на оси отрезок и наклоненной к оси под углом, тангенс которого равен числу , соответствует линейная функция .

Координаты любой, точки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение называют уравнением прямой.

Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1. Пусть , т. е. линейная функция определяется уравнением

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь пропорционален , т. е. если увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2. Пусть , т. е. , откуда . Линейная функция определяется уравнением

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси и отстоящая от нее на расстояние .

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Пример:

Даны точки и . Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки в уравнение, получим . Это тождество, следовательно, точка лежит на прямой. Подставляя координаты точки , получаем . Отсюда видно, что точка не лежит на прямой.

Пример:

Построить прямую, уравнение которой

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим произвольное значение, например , и найдем из уравнения значение . Значит, точка лежит на прямой. Это первая точка. Теперь дадим какое-нибудь другое значение, например , и вычислим у из уравнения . Получим. Точка лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки и (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию . Найдем значение этой функции при :

Здесь первое и второе значения различны, они отличаются друг от друга на величину Величину разности , на которую изменяется при переходе от к , назовем приращением независимого переменного . Эту величину часто будем обозначать через , так что . Найдем, насколько изменилось значение при изменении , на . Для этого вычтем из значение :

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции.

Заметим, что , может быть больше, а может быть и меньше, чем . Поэтому может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине.

Пример:

Найдем приращение функции , если приращение независимого переменного .

Решение:

По основному свойству . Приращение этой же функции , если , будет равно . В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.

Пример:

Найдем приращение функции при изменении на . Решение:

Задачи на прямую

Пример:

Найти угол между двумя прямыми, заданными уравнениями

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Угол является внешним по отношению к треугольнику , поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е. откуда Но углы и , непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы. Поэтому напишем

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями . Здесь ;

Решение:

Применяя формулу (1), получим:

Если же будем считать, что то

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы и , равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. . Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй ) обратны по величине и противоположны по знаку.

Решение:

Следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Пример:

Даны две точки: , где , (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси ). Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси , поэтому ее уравнение можно написать в виде . Значит, для решения задачи надо определить числа и . Так как прямая проходит через точки , и , то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению , т. е.

В уравнениях и все числа, кроме и , известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно и .

Решая систему, находим:

Подставляя найденные выражения в уравнение , получим

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси . Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку и образующей с осью угол .

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла . Обозначим . Значит, уравнение прямой можно написать в виде , где пока число неизвестно.

Так как прямая должна проходить через точку , то координаты точки удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Находим отсюда неизвестное , получим . Подставляя найденное в уравнение , будем иметь

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку , то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение , в котором переменное, а и не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку .

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол 45°.

Решение:

Так как , то угловой коэффициент равен 1; . Уравнение прямой запишется в виде

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Решим его относительно :

т. е. мы получили линейную функцию, где ,

Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел и , удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой. Рассмотрим особо случай, когда , так как на нуль делить нельзя. Уравнение (1) примет вид или , откуда . Поэтому, каков бы ни был всегда равен . Это имеет место для прямой, параллельной оси ; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу. Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если ) можно определить , т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке). Рассмотрим систему двух уравнений

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как и определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решение:

Решая эту систему, получим: т. е. прямые пересекаются в точке (1, 2) (рис. 17).

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решение:

Решая эту систему, получим: Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Решение:

Решая эту систему, получим:

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении . Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Примеры применения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения , где — начальное расстояние, —скорость, — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде , где — напряжение, — сопротивление и —ток. Если не изменяется, то является линейной функцией тока .

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна руб. за километр, то стоимость провоза единиц товара на км равна

Если же стоимость товара на месте равна руб., то после перевозки за него надо заплатить

Здесь — линейная функция .

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Пример:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А к В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В —200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через . Тогда расстояние от города В до С равно 300 — . Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в А равна руб., а перевозки 400 т—400 руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через , будет выражаться так:

Это линейная функция. Если примем за абсциссу, а за ординату точки, то полученная линейная функция опредеяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен , т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина заключена между 0 и 300, т. е. . При величина у принимает значение 60000а, а при — значение 120000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе А; если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к А, тем выгодней.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник