Как узнать длину биссектрисы

Биссектриса треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти биссектрису треугольника. Для нахождения длины биссектрисы треугольника введите длины сторон треугольника, выберите сторону, к которой проведена биссектриса и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Определение 1. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника (Рис.1).

Биссектриса треугольника также называют биссектрисей угла треугольника или биссектрисей внутреннего угла треугольника.

Биссектриса внешнего угла треугольника − это биссектриса угла, которая является смежным с внутренним углом треугольника (Рис.2).

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Теорема 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Проведем биссектрисы AA₁, BB₁ и обозначим через O точку их пересечения (Рис.3). Из точки O проведем перпендикуляры OK, OM и OL по сторонам треугольника ABC. По теореме 1 статьи Биссектриса угла. Свойства − OK=OL OK=OM. Следовательно OL=OM. Но последнее равенство означает, что точка O равноудалена от сторон AC и BC, т.е. находится на биссектрисе CC₁ (Определение 2 статьи Биссектриса угла. Свойства).

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром треугольника. Инцентр треугольника является центром вписанной в треугольник окружности (Рис.4).

Доказательство следует из теоремы 1, поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC и, следовательно, является центром окружности равной OK=OL=OM.

Длина биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник на Рис.5.

Длина биссектрисы треугольника можно вычислить следующими формулами:

,

Доказательство. 1) Из теоремы Стюарта следует:

А из теоремы о биссектрисе треугольника следует, что если l_c является биссектрисей треугольника ABC (Рис.5), то имеет место следующее соотношение:

Поскольку то (2) можно переписать так:

Подставим (4) и (5) в (1):

Доказательство. 2) Подставим (4) и (5) в (6):

,

Доказательство. 3) Сделаем следующее обозначение:

Сделаем преобразования формулы (7), учитывая (9):

.

Доказательство. 4) Для доказательства четвертой формулы, снова обратимся к рисунке Рис.5. Запишем формулы площадей треугольников ABC, ADC и BDC:

Учитывая, что , получим:

Для \( \small \sin C \) применим формулу синуса двойного угла:

Подставляя (12) в (11) получим:

.

Доказательство. 5) Докажем пятую формулу. Из вершины C проведена вершина CH. Имеем прямоугольный треугольник CHD, для которого имеет место следующее равенство:

Остается показать, что .

Поскольку биссектриса l_c делит угол C пополам, то:

Источник

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Биссектриса — свойства, признаки и формулы

Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.

Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.

Что такое биссектриса в геометрии

Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).

Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.

Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

Площадь описанного многоугольника равна:

где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;

6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

Все формулы биссектрисы в треугольнике

В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:

Примеры решения задач

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.

Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.

Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.

Это означает, что CA : AB = 1 : 2.

Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.

Задача №2

Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.

По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.

Источник

Основные сведения о биссектрисе в треугольнике

Биссектриса треугольника

Биссектриса — луч, проведенный из вершины угла, делящий этот угол пополам.

Внутренняя биссектриса треугольника — отрезок, делящий угол треугольника пополам. У каждого треугольника 3 угла, значит, в каждом треугольнике можно провести 3 биссектрисы.

BE — биссектриса угла B. Причем E — основание этой биссектрисы. Основание биссектрисы — точка на одной из сторон треугольника, которую пересекает биссектриса.

Внешняя биссектриса треугольника — луч, который делит пополам смежный угол с одним из углов треугольника.

Биссектрисы треугольника свойства

Свойство 1 (теорема о биссектрисе треугольника)

Биссектриса любого угла треугольника делит его в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон.

Для приведенного выше треугольника можно составить следующую пропорцию: A E C E = A B C B или A E A B = C E C B

Свойство 2 (о вписанной окружности)

Точка пересечения трех биссектрис любого треугольника является центром вписанной в этот треугольник окружности

Точка О — центр вписанной окружности

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

A O D O = A B + A C B C

C O F O = C A + C B A B

B O E O = B C + B A A C

Свойство 4 (формула биссектрисы треугольника)

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Источник

Основы геометрии: что это такое биссектриса треугольника

Треугольник в геометрии основная фигура, которую нельзя разделить на составляющие. Отрезок прямой линии, соединяющий вершину с противоположной стороной, при условии разделения угла пополам, это биссектриса треугольника. Так как данная фигура содержит 3 угла, соответственно, из каждого можно провести линию, делящую его на равные компоненты.

Свойства биссектрисы

Равносторонняя треугольная фигура характеризуется не только равенством сторон, но внутренние углы также одинаковы, при этом они составляют 60° каждый.

Поэтому проведенная биссектриса одновременно является высотой, медианой. Она обладает не только своими качествами, но и характеристиками высоты, медианы треугольника:

Это интересно! Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

Наиболее простая формула, определяющая, как найти биссектрису треугольника, выражается через радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности:

Характеристика внутренних линий

Основное свойство биссектрисы треугольника с равными боковинами: отрезок, опущенный из вершины, одновременно является медианой, высотой.

При этом, кроме разделения угла на 2 равные части, линия характеризуется следующими качествами:

Важно! Биссектрисы равных углов у основания также равны между собой по длине.

При этом верно обратное утверждение: когда 2 биссектрисы равны между собой, то треугольник считается равнобедренным.

Если вершина содержит 90° (прямой угол), то отрезки, опущенные на катеты, пересекаются под 45°. В этом случае определить размер искомого отрезка помогает теорема Пифагора.

Это интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

Пример

В треугольнике АВС вершина А содержит 90°. Отрезок АД служит высотой, биссектрисой и медианой одновременно. Образованы 2 прямоугольные трехсторонние фигуры: АВД и АСД, у которых равны основания (ВД=СД). Требуется найти длину отрезка АД.

По теореме Пифагора АД2 = АВ2-ВД2. Отсюда АД = √АВ2-ВД2.

Это интересно! Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

Соотношение со сторонами треугольника

Слово, в переводе с латинского языка, обозначает «сечение поперек». Чем отличается биссектриса от других главных и второстепенных отрезков треугольной фигуры, было известно еще Архимеду, который в своих трудах активно использовал ее свойства для определения сторон многоугольников. При этом количество сторон должно быть кратным трем. Классическая теорема о биссектрисе гласит, что линия разделяет противоположную сторону на 2 отрезка, отношение которых друг к другу такое же, как соотношение двух соприкасающихся к основанию сторон.

Пример

Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена биссектриса АД, разделяющая сторону ВС на 2 отрезка (ДВ и ДС). Смысл теоремы сводится к равенству нескольких величин: ВД/АВ=СД/АС и ВД/ДС=АВ/АС. Лучше понять формулу помогает фото треугольника с проведенной линией.

Способы построения

Зная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

Важно! Если известны только размеры биссектрис, то построить по данным параметрам возможно бесконечное количество подобных фигур.

Полезное видео

Подведем итоги

Зная значение и характеристики главных линий в треугольной фигуре, можно решать много задач, определять величину углов, длину, изучать соотношение сторон.

Источник