Как упростить сложный радикал
Урок алгебры по теме «Двойной радикал». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели урока:
Оборудование: компьютер, проектор.
Ход урока
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы
До восьмого класса мы осуществляли над числами пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях, мы активно использовали различные свойства этих операций.
В курсе алгебры восьмого класса была введена новая операция – извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня, называются иррациональными.
В большом толковом словаре можно найти следующее определение иррациональности:
С философской точки зрения иррациональность – недоступность разуму, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное». С математической точки зрения иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.
Действительно ли понятие иррациональности – это что-то «уму не постижимое, несоизмеримое, немыслимое»?
На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.
3 этап работы. Повторение ранее изученного материала
1) Свойства квадратного корня
Чтобы успешно выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, нужно знать свойства этой операции.
Вспомним эти свойства:
1) Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.
2) Если a≥0, b>0, то справедливо равенство
3) Если a≥0 и n – натуральное число, то
4) При любом a справедливо тождество
Если хорошо знать приёмы преобразования рациональных выражений, приёмы преобразования алгебраических дробей, усвоить определение понятия корня и свойства квадратного корня, уметь вносить множитель под знак квадратного корня, выносить множитель из – под знака квадратного корня, то можно выполнить преобразование любого выражения, содержащего операцию извлечения квадратного корня.
2) Способы преобразования радикалов
Кроме перечисленных теорем при преобразовании радикалов применяются некоторые специальные приёмы, тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого навыка.
Первый называется уничтожением иррациональности в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться с такой дробью не совсем удобно. Смысл этого приёма заключается в том, что надо подобрать такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель не содержало корней.
4 этап работы. Ввести понятие двойного радикала и доказатьформулу сложного радикала.
Выражения вида 
и 
называют двойными радикалами или сложными радикалами. Преобразовать двойной радикал
это значит избавиться от внешнего радикала.
=
= 
При 
каждое подкоренное выражение неотрицательно.
Докажем эти равенства(доказывает ученик):
Для этого возведём в квадрат обе части данных выражений, воспользовавшись при этом формулой квадрата суммы (разности) двух чисел и формулой разности квадратов.
Возведем в квадрат левую часть:
= 
Возведем в квадрат правую часть:
= 
∙
= = 
= 
= = 
= 
= 
Заметим, что доказанное тождество позволяет существенно облегчить вычисления и преобразования, если выражение 
представляет полный квадрат.
5 этап работы. Рассмотрим способы преобразования двойного радикала.
1 способ:
Можно выполнить алгебраические действия в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.
Примеры:
= 
= 
= 
= = 
= 
= 
= 
= 
= =
= 
= 
= 
= 
= = 
= 
2 способ
Можно привести подкоренное выражение к полному квадрату.
Примеры:
Таким образом, если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Попробуем решить 
НЕ УДАЕТСЯ.
3 способ
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, то можно использовать готовую формулу сложного радикала
= 
Примеры:
6 этап работы. Закрепление изученного материала.
Преобразуйте выражения, содержащие двойные радикалы:
7 этап работы. Вывод урока.
Преобразовать двойные радикалы можно следующим образом:
8 этап работы. Домашнее задание.
Дома вы преобразуете двойные радикалы разными способами (раздать листы с заданиями).
Урок алгебры в 8-м классе на тему: «Преобразование двойных радикалов»
Разделы: Математика
Цели урока:
1) Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.
2) Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения и по формулам двойного радикала.
3) Развивать умения и навыки работы с квадратными корнями, выявить закономерности и обобщить учебный материал.
1) Развитие внимания учащихся.
2) Развитие умения слушать товарища, доводить начатое дело до конца.
3) Развитие интереса к изучению алгебры и навыки самостоятельной и исследовательской работы.
1) Воспитание чувства коллективизма.
2) Продолжить формирование чувства ответственности за результат работы.
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Устный счёт.
а) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:
б) Имеет ли смысл выражение:
в) Упростите выражение:
г) Выполни умножение:
Вводим понятие двойного радикала:
Выражения вида 
и 
называют двойными радикалами или сложными радикалами.
Преобразовать двойной радикал – это значит избавиться от внешнего радикала.
Обратим внимание, что во время устного счёта мы с вами уже преобразовывали двойные радикалы. Преобразование двойных радикалов произошло во время алгебраических действий с квадратными корнями.
Преобразовать выражение в тетради:
1) 
На этом примере мы убедились, что мы уже умеем преобразовывать двойные радикалы в процессе выполнения алгебраических действий.
2) Вместо “?” поставить числа так, чтобы получилось верное равенство:
Преобразовать следующие выражения, используя формулы полного квадрата:
Вывод: Если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Работаем в тетрадях примерам 1;2;3;5 с листа контрольных заданий.
Последний пример пытаются выполнить и не получается.
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, можно использовать готовые формулы:
При данных условиях каждое подкоренное выражение не отрицательно. Докажем справедливость одной из формул.
Возведём обе части первого равенства в квадрат. Имеем:(доказывает ученик):
Применяя данные формулы решить примеры 7;8;10;17; 21 с листа контрольных заданий.
7) 
Вывод урока: преобразовать двойные радикалы можно
1) при выполнении алгебраических действий в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.
2) приводя подкоренное выражение к полному квадрату;
3) по формулам сложного радикала.
Дома вы преобразуете двойные радикалы с контрольного листа разными способами.
Сложные радикалы. Освобождение от внешнего корня в сложном радикале
Освобождение от внешнего корня в сложном радикале
Выделение полного квадрата под корнем
Если подкоренное выражение в сложном радикале 
представляет собой полный квадрат, то можно освободиться от внешнего корня, применив тождество 
Освободиться от внешнего радикала в выражении 
.
Метод неопределенных коэффициентов
Если устный подбор полного квадрата под внешним корнем сложного радикала затруднителен, можно попытаться выделить полный квадрат методом неопределенных коэффициентов
Освободиться от внешнего радикала в выражении
методом неопределенных коэффициентов.
Пусть существуют целые х и у такие, что
Возведем уравнение системы в квадрат:
Тогда 
Для целых х и у возможны 4 варианта: (3;1), (1;3), (-3;-1), (-1;-3), второй и третий из которых не удовлетворяют неравенству 
.
Рассмотрим первый и четвертый варианты:
1. 
2. 
Решений нет.
Следовательно, х = 3, у = 1 и
Применение формул сложных радикалов
В некоторых примерах удается освободиться от внешнего корня с помощью формул сложных радикалов:
В случае если 
является точным квадратом, эти формулы позволяют представить сложный радикал в виде суммы двух простых радикалов.
Представьте сложный радикал 
в виде суммы двух простых радикалов.
Урок по алгебре: «Преобразования двойных радикалов» (8 класс)
1) Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.
2) Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения и по формулам двойного радикала.
3) Развивать умения и навыки работы с квадратными корнями, выявить закономерности и обобщить учебный материал.
1) Развитие внимания учащихся.
2) Развитие умения слушать товарища, доводить начатое дело до конца.
3) Развитие интереса к изучению алгебры и навыки самостоятельной и исследовательской работы.
1) Воспитание чувства коллективизма.
2) Продолжить формирование чувства ответственности за результат работы.
1 этап работы. Организационный момент.
2 этап работы. Устный счёт.
а) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:
б) Имеет ли смысл выражение: 
в) Упростите выражение: 
г) Выполни умножение:
Вводим понятие двойного радикала:
Выражения вида 
и 
называют двойными радикалами или сложными радикалами.
Преобразовать двойной радикал – это значит избавиться от внешнего радикала.
Обратим внимание, что во время устного счёта мы с вами уже преобразовывали двойные радикалы. Преобразование двойных радикалов произошло во время алгебраических действий с квадратными корнями.
Преобразовать выражение в тетради:
1) 
На этом примере мы убедились, что мы уже умеем преобразовывать двойные радикалы в процессе выполнения алгебраических действий.
2) Вместо “?” поставить числа так, чтобы получилось верное равенство:
Преобразовать следующие выражения, используя формулы полного квадрата:
Вывод: Если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.
Работаем в тетрадях примерам 1;2;3;5 с листа контрольных заданий.
Последний пример пытаются выполнить и не получается.
В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, можно использовать готовые формулы:
При данных условиях каждое подкоренное выражение не отрицательно. Докажем справедливость одной из формул.
Возведём обе части первого равенства в квадрат. Имеем:(доказывает ученик):
Применяя данные формулы решить примеры 7;8;10;17; 21 с листа контрольных заданий.
7) 
Вывод урока: преобразовать двойные радикалы можно
1) при вып-ии алгебраич-х действий в некот выражении, содержащем двойные радикалы.
2) приводя подкоренное выражение к полному квадрату;
3) по формулам сложного радикала.
Дома вы преобразуете двойные радикалы с контрольного листа разными способами.
Сложный радикал
Сложный радикал
Сложный радикал
Преобразование сложного квадратного корня (радикала)
Выражения вида называются сложными квадратными корнями (радикалами). Для их преобразования пользуются формулой
Смотреть что такое «Сложный радикал» в других словарях:
сложный радикал — sudėtinis radikalas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. compound radical vok. zusammengesetztes Radikal, n rus. сложный радикал, m pranc. radical composé, m … Fizikos terminų žodynas
Радикал в химии — (химич. radical, radicale) слово, впервые введенное в научную химическую литературу, по видимому, Гитоном де Морво. В докладе французской Академии наук [ M émoire sur le Développement des Principes de la Nomenclature Mé thodique (18 апр. 1787).… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Радикал, в химии — (химич. radical, radicale) слово, впервые введенное в научную химическую литературу, по видимому, Гитоном де Морво. В докладе французской Академии наук [ Mémoire sur le Développement des Principes de la Nomenclature Méthodique (18 апр. 1787).… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Алканы — Эта статья о химических соединениях. О канадской алюминиевой компании см. Rio Tinto Alcan … Википедия
Какодил — Общие Систематическое наименование диметиларсин Химическая формула (СН3)2As Физические свойства Молярная масса 209.937 г/моль … Википедия
compound radical — sudėtinis radikalas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. compound radical vok. zusammengesetztes Radikal, n rus. сложный радикал, m pranc. radical composé, m … Fizikos terminų žodynas
radical composé — sudėtinis radikalas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. compound radical vok. zusammengesetztes Radikal, n rus. сложный радикал, m pranc. radical composé, m … Fizikos terminų žodynas
sudėtinis radikalas — statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. compound radical vok. zusammengesetztes Radikal, n rus. сложный радикал, m pranc. radical composé, m … Fizikos terminų žodynas
zusammengesetztes Radikal — sudėtinis radikalas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. compound radical vok. zusammengesetztes Radikal, n rus. сложный радикал, m pranc. radical composé, m … Fizikos terminų žodynas
Окисле́ние пе́рекисное — сложный многостадийный цепной процесс окисления кислородом липидных субстратов, главным образом полиненасыщенных жирных кислот, включающий стадии взаимодействия липидов со свободнорадильными соединениями и образования свободных радикалов липидной … Медицинская энциклопедия