Как упростить модуль числа
Уравнения с модулем
Что такое уравнение с модулем
Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.
В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.
Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.
Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности
Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.
Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.
Разберем подробное решение квадратного уравнения:
Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:
На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:
Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:
x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4
Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:
Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:
Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:
9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2
Преобразуем сложное уравнение:
На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:
В результате получим:
При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:
Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:
Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:
Рассмотрим несколько иное уравнение:
В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:
Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов
Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:
Примеры решения задач с объяснением
Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.
Рассмотрим в качестве примера:
Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
Согласно первому свойству модуля:
Используя данное правило, решим уравнение:
По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:
Решим следующее уравнение:
Воспользуемся правилом и получим:
При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.
Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:
Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:
Рассмотрим еще несколько примеров.
Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:
Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:
Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.
Рассмотрим пример такого выражения:
Первый модуль имеет вид:
Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:
После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:
По аналогии выполним преобразования второго модуля:
Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.
Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:
Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.
С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.
В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:
В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:
Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:
Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:
Второй корень является решением:
Третий корень также является решением:
Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:
В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.
Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:
Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:
Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:
Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.
Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.
Раскроем сначала внутренние модули:
Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:
Задачи для самостоятельного решения
Найти корни уравнения:
Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:
Найдем корни квадратного уравнения:
В процессе потребуется сократить уравнение на 3:
Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:
Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:
Найти корни уравнения:
Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:
Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:
Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:
Нужно решить уравнение:
С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:
Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:
Корень соответствует определенному ранее промежутку.
Этот промежуток не имеет корней.
Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найдем корни квадратных уравнений:
Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:
Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним
В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.
Обобщённое понятие модуля числа
В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.
Что такое модуль?
Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3
Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:
Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:
Где x1 и x2 — числа на координатной прямой.
Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.
Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:
Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:
Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3
То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:
Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:
Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x1 до x2 равно расстоянию от x2 до x1.
Раскрытие модуля
Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.
Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x
Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5
В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0
Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.
Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:
А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:
Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,
Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид
x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4
На практике обычно рассуждают так:
«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».
Примеры:
|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0
Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:
В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0
Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3
Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.
Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:
Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9
Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11
Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.
Пример 3. Раскрыть модуль в выражении 
Как и прежде используем правило раскрытия модуля:
В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0
Перепишем решение так:
Пример 4. Раскрыть модуль в выражении 
Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x
Преобразование выражений с модулями
Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.
Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.
Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.
Решение
Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:
В итоге имеем следующее решение:
Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|
Решение
Уравнения с модулем
Что такое уравнение с модулем
Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.
В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.
Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.
Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности
Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.
Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.
Разберем подробное решение квадратного уравнения:
Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:
На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:
Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:
x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4
Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:
Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:
Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:
9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2
Преобразуем сложное уравнение:
На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:
В результате получим:
При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:
Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:
Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:
Рассмотрим несколько иное уравнение:
В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:
Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов
Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:
Примеры решения задач с объяснением
Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.
Рассмотрим в качестве примера:
Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
Согласно первому свойству модуля:
Используя данное правило, решим уравнение:
По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:
Решим следующее уравнение:
Воспользуемся правилом и получим:
При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.
Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:
Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:
Рассмотрим еще несколько примеров.
Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:
Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:
Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:
Воспользуемся стандартным алгоритмом:
При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.
Рассмотрим пример такого выражения:
Первый модуль имеет вид:
Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:
После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:
По аналогии выполним преобразования второго модуля:
Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.
Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:
Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.
С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.
В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:
В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:
Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:
Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:
Второй корень является решением:
Третий корень также является решением:
Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:
В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.
Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:
Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:
Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:
Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.
Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.
Раскроем сначала внутренние модули:
Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:
Задачи для самостоятельного решения
Найти корни уравнения:
Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:
Найдем корни квадратного уравнения:
В процессе потребуется сократить уравнение на 3:
Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:
Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:
Найти корни уравнения:
Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:
Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:
Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:
Нужно решить уравнение:
С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:
Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:
Корень соответствует определенному ранее промежутку.
Этот промежуток не имеет корней.
Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
Найдем корни квадратных уравнений:
Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:
Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:
Найти корни уравнения:
Найти корни уравнения:
3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним
В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.
Модуль числа — теория и решение задач
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
Ситуация первая
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая
Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?
Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.
Ситуация третья
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…