Как упростить комплексное выражение
Выражения, уравнения и системы уравнений
с комплексными числами
Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока Комплексные числа для чайников, и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться:
Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж.
Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.
…Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился…
Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место:
А сейчас ключевое правило:
НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.
В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда!
На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.
Примечание: строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ). Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже.
Обозначим наше достижение буквой
Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас:
Вычислим модуль комплексного числа:
Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.
Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.
Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.
Выполним проверку:
, в чём и требовалось убедиться.
Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице.
Ответ:
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку».
Краткое решение и ответ в конце урока.
Нередко задача допускает не единственный путь решения:
Делая дробь правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.):
Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.
В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому:
Ответ:
Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме:
Краткое решение и ответ в конце урока.
Выражения – хорошо, а уравнения – лучше:
Уравнения с комплексными коэффициентами
Чем они отличаются от «обычных» уравнений? Коэффициентами =)
В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера:
Решение, в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду :
Уверенно упрощаем среднюю дробь:
Результат переносим в правую часть и находим разность:
По правилу пропорции выражаем «зет»:
Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход:
Ответ:
В целях проверки подставим полученное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:
– получена правая часть исходного уравнения, таким образом, корень найден верно.
…Сейчас-сейчас… подберу для вас что-нибудь поинтереснее… держите:
Конечно же… как можно без него прожить:
Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
На уроке Комплексные числа для чайников мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай:
Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны). При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными).
Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и «школьное» уравнение, с некоторыми отличиями в технике вычислений:
Найти корни квадратного уравнения
Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.
Для удобства выпишем коэффициенты:
Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде :
А вот и главное препятствие:
Применение общей формулы извлечения корня (см. последний параграф статьи Комплексные числа для чайников) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:
Возведём обе части в квадрат:
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:
Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:
Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:
Не помешает промежуточная проверка:
что и требовалось проверить.
В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:
Находим корни, не забывая, кстати, что :
Ответ:
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :
Таким образом, решение найдено правильно.
По мотивам только что разобранной задачи:
Найти корни уравнения
А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом 🙂
Решить уравнение и выполнить проверку
Решения и ответы в конце урока.
Заключительный параграф статьи посвящён
системе уравнений с комплексными числами
Расслабились и… не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Решить систему уравнений. Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже.
Систему реально решить «детским» способом (выразить одну переменную через другую), однако гораздо удобнее использовать формулы Крамера. Вычислим главный определитель системы:
, значит, система имеет единственное решение.
Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно:
Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень:
Перед тем, как продолжать дальше, целесообразно проверить решение. Подставим найденные значения в левую часть каждого уравнения системы:
Получены соответствующие правые части, ч.т.п.
Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы:
1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем:
Ответ:
Решить систему уравнений
Найти произведение корней и представить его в тригонометрической форме.
Краткое решение совсем близко.
И в заключение ответим на экзистенциальный вопрос: для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерно-технических расчетах на практике.
На этом курс Опытного пользователя комплексных чисел завершён – сертификат вам на стену и новых достижений!
Пример 4: Решение:
Пример 6: Решение:
Умножим обе части уравнения на :
Ответ:
Проверка: подставим в исходное уравнение :
верное равенство;
верное равенство.
Что и требовалось проверить.
Пример 11: Решение: систему решим методом Крамера:
Таким образом, система имеет единственное решение.
Найдём произведение корней:
Представим результат в тригонометрической форме:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам
Выражения, уравнения и системы уравнений
с комплексными числами
Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока Комплексные числа для чайников, и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться:
Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж.
Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.
…Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился…
Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место:
А сейчас ключевое правило:
НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.
В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда!
На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.
Примечание: строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ). Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже.
Обозначим наше достижение буквой
Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас:
Вычислим модуль комплексного числа:
Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.
Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.
Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.
Выполним проверку:
, в чём и требовалось убедиться.
Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице.
Ответ:
Аналогичный пример для самостоятельного решения:
Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку».
Краткое решение и ответ в конце урока.
Нередко задача допускает не единственный путь решения:
Делая дробь правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.):
Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.
В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому:
Ответ:
Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме:
Краткое решение и ответ в конце урока.
Выражения – хорошо, а уравнения – лучше:
Уравнения с комплексными коэффициентами
Чем они отличаются от «обычных» уравнений? Коэффициентами =)
В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера:
Решение, в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду :
Уверенно упрощаем среднюю дробь:
Результат переносим в правую часть и находим разность:
По правилу пропорции выражаем «зет»:
Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход:
Ответ:
В целях проверки подставим полученное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:
– получена правая часть исходного уравнения, таким образом, корень найден верно.
…Сейчас-сейчас… подберу для вас что-нибудь поинтереснее… держите:
Конечно же… как можно без него прожить:
Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
На уроке Комплексные числа для чайников мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай:
Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны). При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными).
Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и «школьное» уравнение, с некоторыми отличиями в технике вычислений:
Найти корни квадратного уравнения
Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.
Для удобства выпишем коэффициенты:
Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде :
А вот и главное препятствие:
Применение общей формулы извлечения корня (см. последний параграф статьи Комплексные числа для чайников) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:
Возведём обе части в квадрат:
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:
Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:
Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:
Не помешает промежуточная проверка:
что и требовалось проверить.
В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:
Находим корни, не забывая, кстати, что :
Ответ:
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :
Таким образом, решение найдено правильно.
По мотивам только что разобранной задачи:
Найти корни уравнения
А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом 🙂
Решить уравнение и выполнить проверку
Решения и ответы в конце урока.
Заключительный параграф статьи посвящён
системе уравнений с комплексными числами
Расслабились и… не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Решить систему уравнений. Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже.
Систему реально решить «детским» способом (выразить одну переменную через другую), однако гораздо удобнее использовать формулы Крамера. Вычислим главный определитель системы:
, значит, система имеет единственное решение.
Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно:
Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень:
Перед тем, как продолжать дальше, целесообразно проверить решение. Подставим найденные значения в левую часть каждого уравнения системы:
Получены соответствующие правые части, ч.т.п.
Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы:
1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем:
Ответ:
Решить систему уравнений
Найти произведение корней и представить его в тригонометрической форме.
Краткое решение совсем близко.
И в заключение ответим на экзистенциальный вопрос: для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерно-технических расчетах на практике.
На этом курс Опытного пользователя комплексных чисел завершён – сертификат вам на стену и новых достижений!
Пример 4: Решение:
Пример 6: Решение:
Умножим обе части уравнения на :
Ответ:
Проверка: подставим в исходное уравнение :
верное равенство;
верное равенство.
Что и требовалось проверить.
Пример 11: Решение: систему решим методом Крамера:
Таким образом, система имеет единственное решение.
Найдём произведение корней:
Представим результат в тригонометрической форме:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам
cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5
Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам
Комплексные числа
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Аналогично выполним вычитание чисел:
Выполнить умножение и деление комплексных чисел:
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:
Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Вычисляем значение модуля:
Найдем чем равен аргумент:
$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$
Записываем в тригонометрическом виде:
Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:
Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:
Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени: