Как упростить электрическую цепь

19.12.202319.09.2023 admin 0 Comments

Преобразование сложнозамкнутых электрических схем

В статье приводится описание методов эквивалентирования сложнозамкнутых электрических сетей, при расчёте параметров установившегося режима электрической сети.

Содержание

Общие положения

Для расчётов параметров установившихся режимов сложнозамкнутых электрических сетей может быть использован метод преобразования сети. Суть этого метода сводится к приведению сети к более простому виду. Упрощенная сеть рассчитывается с использованием известных методов расчёта разомкнутых сетей и сетей с двухсторонним питанием и затем производится обратное преобразование сети к исходному виду. При использовании метода преобразования применяются приемы разноса нагрузок по концам участка сети и из центра звезды, объединения концевых источников питания и нагрузок, преобразования пассивных частей схем электрической сети. Метод преобразования должен применяться с соблюдением условия неизменности параметров установившегося режима сети, внешней по отношению к преобразуемой ее части.

Преобразование пассивных элементов схемы

Приведение сопротивления к другому классу напряжения

Пусть коэффициент трансформации равен:

Если выразить сопротиление через ток и напряжения

[math]\displaystyle \underline = \frac<\dot U><\dot I>.[/math] [math]\displaystyle \underline_ <вн>= \frac<\dot U_<вн>><\dot I_<вн>>.[/math] [math]\displaystyle \underline_ <нн>= \frac<\dot U_<нн>><\dot I_<нн>>.[/math]

Возможно два случая:

В первом случае сопртивление можно представить.

[math]\displaystyle \underline_ <вн>= \underline_ <нн>\cdot \dot k^2.[/math]

Последовательное сложение элементов

При последовательном соединении:

Последовательное сложение резисторов

Последовательное сложение катушек индуктивности

Последовательное сложение конденсаторов

Параллельное сложение элементов

При параллельном соединении:

Параллельное сложение резисторов

где [math]\displaystyle g = \frac<1>[/math] — проводимость.

Параллельное сложение катушек индуктивности

Параллельное сложение конденсаторов

Преобразование треугольник-звезда

Преобразование треугольник-звезда — способ преобразования участка линейной электрической цепи в виде треугольника к эквивалентному участку цепи в виде звезды. Возможность данного преобразования обусловлена тем, что в обоих случаях потенциалы между одноименными точками, а также токи подтекающие к ним не изменятся.

Преобразование звезда-треугольник [math]\displaystyle \underline_<12>=\underline_<1>+\underline_<2>+\frac<\underline_ <1>\cdot \underline_<2>><\underline_<3>>[/math] [math]\displaystyle \underline_<13>=\underline_<1>+\underline_<3>+\frac<\underline_ <1>\cdot \underline_<3>><\underline_<2>>[/math] [math]\displaystyle \underline_<23>=\underline_<2>+\underline_<3>+\frac<\underline_ <2>\cdot \underline_<3>><\underline_<1>>[/math]

Исключение нагрузочных и генераторных узлов

Разнос нагрузок из любого узла сети должен выполняться так, чтобы преобразование электрической сети было эквивалентным. Эквивалентность преобразования соблюдается, если в результате не изменяются параметры режима в той части схемы, которая не подвергалась преобразованию.

Разнос нагрузок на магистральном участке сети

Пусть дан участок сети 1-2-3, представленный на рисунке 1.

В узлах даны токи инъекции. Выполним разнос нагрузки узла 2 между узлами 1 и 3.

Исходный участок сети:

Составим 1 закон Кирхгофа для 1 и 2 узлов,

Эквивалентный участок сети:

Составим 1 закон Кирхгофа для 1 узла,

Приравняем падение напряжения на обоих участках сети,

Подставим в последнее выражение найденные ранее соотношения,

Раскроем скобки и преобразуем выражение,

[math]\displaystyle \dot I_ <2′>\cdot (\underline Z_ <12>+ \underline Z_<23>) = \dot I_ <2>\cdot \underline Z_ <23>+ \dot I_ <1>\cdot \underline Z_ <23>+ \dot I_ \cdot \underline Z_ <23>— \dot I_ <1>\cdot \underline Z_ <23>— \dot I_ \cdot \underline Z_<23>\text< ; >[/math]

[math]\displaystyle \dot I_ <2′>\cdot (\underline Z_ <12>+ \underline Z_<23>) = \dot I_ <2>\cdot \underline Z_ <23>\text< ; >[/math]

[math]\displaystyle \dot I_ <2>\cdot \underline Z_ <12>+ \dot I_ <2>\cdot \underline Z_ <23>— \dot I_ <2′′>\cdot \underline Z_ <12>— \dot I_ <2′′>\cdot \underline Z_ <23>= \dot I_ <2>\cdot \underline Z_ <23>\text< ; >[/math]

[math]\displaystyle \dot I_ <2>\cdot \underline Z_ <12>= \dot I_ <2′′>\cdot (\underline Z_ <12>+ \underline Z_<23>) \text< ; >[/math]

Применим сопряжение с обеих сторон для каждой формулы и домножим на U,

Разнос нагрузки из центра звезды

Пусть дана исходная схема в виде звезды, изображенная на рисунке 2.

Выполним разнос нагрузки из центра. Ток будет распределяться по остальным узлам пропорционально проводимостям.

В общем случае разнос нагрузки из центра звезды выглядит следующим образом,

Общая формула разноса нагрузки многолучевой звезды в мощностях,

В частном случае, для трехлучевой звезды, эквивалентные токи равны,

Объединение источников питания

Пусть дан участок сети 1-2-n, представленный на рисунке 3.

Выполним эквивалентирование ЭДС.

Второй закон Кирхгофа для эквивалентной схемы,

Тогда эквивалентная ЭДС равна,

Методом наложения эквивалентный ток равен,

По второму закону Кирхгофа токи в исходной схеме равны,

Подставим полученные соотношения в выражение эквивалентной ЭДС,

Ввиду того, что [math]\displaystyle \underline G_ <э>= \underline G_ <1>+ \underline G_ <2>+ \underline G_ [/math] выполним упрощение выражения,

Общая формула имеет вид,

Частный случай для 2 ЭДС в сопротивлениях,

Частный случай для 3 ЭДС в сопротивлениях,

Источник

Метод преобразования схем электрических цепей

Метод преобразования схем:

Метод преобразования электрических схем применяют для расчета сложных цепей путем преобразований треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник.

Контур, состоящий из трех сопротивлений

Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений Ra, Rb и Rc, соединенных в одной узловой точке О, образует звезду сопротивлений (рис. 4.66).

Расчет некоторых сложных цепей значительно упрощается, если соединение звездой в них заменить соединением треугольником или наоборот.

Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при неизменном напряжении между точками А, В и С токи звезды и треугольника оставались без изменений.

Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, называются эквивалентными.

Для такого преобразования рекомендуется изображать схему цепи без заменяемого треугольника (или звезды), но с обозначенными вершинами А, В, и С и к этим обозначенным вершинам подсоединить эквивалентную звезду (или треугольник).

При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивления звезды определяются следующими выражениями:

Таким образом, каждое сопротивление эквивалентной звезды равно отношению произведения двух примыкающих к соответствующей узловой точке сопротивлений треугольника к сумме трех его сопротивлений.

При замене звезды эквивалентным треугольником каждое составление треугольника определяется следующими выражениями:

Каждое сопротивление эквивалентного треугольника равно сумме трех слагаемых: двух примыкающих к соответствующим точкам сопротивлений звезды и отношению произведения этих сопротивлений к третьему сопротивлению звезды.

Пример 4.4

Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 4.7а) при следующих сходных данных:

Решение

Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений, подключенных к точкам А, В и С, эквивалентной звездой, подученной к тем же точкам (рис. 4.76). Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:

Пример 4.6

Определить токи во всех ветвях цепи, схема которой приведена на рис. 4.8а, если задано:

Решение

Количество ветвей и соответственно различных токов в цепи (рис. 4.8а) равно пяти. Произвольно выбирается направление этих токов.

Расчетных схем две, так как в цепи два источника с ЭДС и . Вычисляются частичные токи, созданные в ветвях первым источником . Для этого изображается та же цепь, только вместо — его внутреннее сопротивление Направление частичных токов в ветвях указаны в схеме рис. 4.86.

Вычисление сопротивлений и токов производится методом свертывания.

Первые частичные токи в цепи (рис. 4.86), созданные источником Еи имеют следующие значения:

Вычисляются частичные токи, созданные вторым источником. Для этого изображается исходная цепь, в которой источник заменен его внутренним сопротивлением . Направления частичных токов в ветвях указаны на схеме рис. 4.8в. Сопротивления и токи определяются методом свертывания.

Вторые частичные токи в цепи (рис. 4.8в) имеют следующие значения:

Искомые токи в рассматриваемой цепи (рис. 4.8а) определяют алгебраической суммой частичных токов (см. рис. 4.8):

Ток имеет знак «минус», следовательно, его направлен противоположно произвольно выбранному, он направлен из точки А в точку В.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Метод свертывания электрической цепи

Метод свертывания:

Цепь со смешанным соединением включает в себя участки с последовательным и параллельным соединением потребителей, или сопротивлений (резисторов).

Расчет электрической цепи с одним источником и смешанным соединением резисторов методом свертывания проводится в следующей последовательности.

Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на примере 4.1 (рис. 4.1).

Пример 4.1

1. При заданных сопротивлениях всех потребителей цепи и напряжении U определить токи всех потребителей.

2. Определить, как изменяются эти токи, если к потребителю с сопротивлением

Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем.

Решение
1. В рассматриваемой цепи (рис. 4.1) определяются группы потребителей, соединенных последовательно или параллельно. Определяются эквивалентные сопротивления участков, а схема при этом «свертывается».

Очевидно, резисторы соединены параллельно, так как напряжение на них одинаковое. Следовательно, их общее сопротивление (рис. 4.2а)

Сопротивление группы соединено последовательно с резистором таким образом, общее сопротивление (рис. 4.26).

Сопротивление соединено параллельно с резистором (в точках В, С, следовательно, общее сопротивление (рис. 4.2в)

Сопротивление соединено последовательно с резистором т.е. общее сопротивление (рис. 4.2г). Это сопротивление подключено параллельно к резистору (в точках А, В), следовательно, общее сопротивление (рис. 4.2д)

Сопротивление соединено последовательно с резисторами и следовательно, общее (эквивалентное) сопротивление исследуемой цепи R определяется выражением (рис. 4.2е).

Последовательность метода свертывания рассматриваемой схемы можно проиллюстрировать схемами, изображенными на рис. 4.2.

Общий ток, который проходит по сопротивлениям и , определим, воспользовавшись законом Ома для замкнутой цепи (рис. 4.2д, е):

Ток создает на сопротивлении (в точках А, В) падение напряжения, величину которого определим по закону Ома

Это же напряжение можно определить, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа,

Напряжение необходимо для вычисления тока (рис. 4.2г) и остальных токов:

К точкам А, В подключено общее сопротивление , следовательно, ток, который проходит по резистору , т. е. , можно определить по закону Ома (рис. 4.2в):

Этот же ток можно определить, воспользовавшись первым законом Кирхгофа,

Ток создает падение напряжения на общем сопротивлении Напряжение между точками определяем по закону Ома (рис. 4.2в):

Это же напряжение можно определить по второму закону Кирхгофа:

Напряжение необходимо определить для вычисления тока (рис. 4.26) и остальных токов по закону Ома:

К точкам С, В подключено общее сопротивление , следовательно, ток, который проходит по резистору , т. е. , можно определить по закону Ома (рис. 4.2а):

Тот же ток можно определить по первому закону Кирхгофа:

Ток создает падение напряжения UCd на общем сопротивлении

Токи определяются по закону Ома (рис. 4.1):

Один из этих токов можно определить по первому закону Кирхгофа:

Таким образом, определены токи всех включенных в цепь (рис. 4.1) потребителей.

2. Рассмотрим динамический режим работы электрической цепи, т. е. режим изменения токов и напряжений в цепи. В примере 4.1 эти изменения вызваны подключением лампы накаливания R₉ параллельно резистору R₈ (рис. 4.3).
Очевидно, параллельное подключение лампы накаливания к сопротивлению R₈ уменьшает сопротивление участка между точками С, D (), следовательно, уменьшается и общее сопротивление цепи R (рис. 4.2б-е).

Уменьшение общего сопротивления приведет к увеличению общего тока цепи /, т. е. токов (выражение (1)). Увеличение этих токов вызовет уменьшение напряжения U_AB (выражение (3)), а следовательно, уменьшение тока (выражение (4)). Так как ток увеличился, а ток h уменьшился, то ток h увеличится (выражение (6)). Увеличение тока приведет к уменьшению напряжения U_Cb (выражение (8)), в результате чего уменьшится ток (выражение (9)). Уменьшение тока вызовет увеличение тока (выражение (11)), что приведет к уменьшению напряжения (выражение (13)). Следовательно, уменьшаются токи (выражение (15)).

Как видно, параллельное подключение лампы к резисторам с сопротивлением шунтирует их, т. е. уменьшает напряжение U_CD на этих сопротивлениях и токи в них.

Таким образом, подключение дополнительного потребителя в цепь вызывает соответствующие изменения режима работы всех участков цепи.

Для расчета электрической цели методом свертывания могут быть заданы либо ток, протекающий через определенный резистор, либо напряжение на одном из участков.

Методика расчета параметров таких цепей приведена в примерах 4.2 и 4.3.

Пример 4.2

Для цепи (рис. 4.4) заданы:

1.Определить ЭДС источника Е.

2.Определить токи в остальных ветвях.

3.Определить мощность на каждом резисторе.

4.Составить уравнение баланса мощностей в этой цепи.

Решение

Ток проходит через источник и создает падение напряжения на его внутреннем сопротивлении и на резисторе с сопротивлением , т.е. . Тот же ток создает падение напряжения между точками А и В, т. е. . ЭДС источника складывается из этих падений напряжения, т. е. Для определения напряжения между точками А и В ( U_AB) и токов произведем «свертывание» схемы (рис. 4.4) и определим общее сопротивление Rab.