Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Алгебра 8 класс Мерзляк Упражнения 1-26

Алгебра 8 класс УМК Мерзляк. Упражнения №№ 1 — 26 из учебника с ответами и решениями. Глава 1. Рациональные выражения. § 1. Рациональные дроби. Алгебра 8 Мерзляк Упражнения 1-26 + ОТВЕТЫ.

Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.

Алгебра 8 класс Мерзляк
§ 1. Упражнения №№ 1 — 26:

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 2. Чему равно значение дроби (c 2 – 4c)/(2c + 1), если: 1) с = –3; 2) с = 0?

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 3. Найдите значение выражения (2m – n)/(3m + 2n), если: 1) m = –1, n = 1; 2) m = 4, n = –5.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 4. Чему равно значение выражения: 1) (a 2 – 1)/(a – 5) при а = –4; 2) (х + 3)/у – у/(х + 2) при х = –5, у = 6?

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 5. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выражение: Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 6. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 7. Запишите рациональную дробь, которая содержит переменную х и имеет смысл при всех значениях х, кроме: 1) х = 7; 2) х = –1; 3) х = 0 и х = 4.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 8. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную у, допустимыми значениями которой являются:
1) все числа, кроме 5; 3) все числа, кроме 3, –3 и 6;
2) все числа, кроме –2 и 0; 4) все числа.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 9. Автомобиль проехал по шоссе а км со скоростью 75 км/ч и по грунтовой дороге b км со скоростью 40 км/ч. За какое время автомобиль проехал весь путь? Составьте выражение и найдите его значение при а = 150, b = 20.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 10. Ученик купил тетради по 8 р., заплатив за них m р., и по 14 р., заплатив за них n р. Сколько тетрадей купил ученик? Составьте выражение и найдите его значение при m = 24, n = 56.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Задание № 11. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной х значение дроби: 1) 1/x 2 положительное; 2) (x 2 + 1)/(6x – 9 – x 2 ) отрицательное.

Источник

Алгебра 8 Мордкович (упр. 1.1 — 1.41)

Алгебра 8 класс. Часть 2 (Задачник) УМК Мордкович ( 2018-2020 ). Глава I Алгебраические дроби. § 1. Основные понятия. ОТВЕТЫ на упражнения 1.1 — 1.41. Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ.

Алгебра 8 Мордкович (упр. 1.1 — 1.41)

§ 1. Основные понятия

Является ли алгебраической дробью выражение:

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.2. а) (7a 2 + 4)/14; б) (2f 2 + 6f + 15)/2f – 5f; в) 3t – p 2 /t 2 ; г) (6nm + 3m 2 n 2 )/(7n – 12m).

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Найдите значение алгебраической дроби:

№ 1.3. а) (x – 2)/x при x = 3; б) (t – 7) 2 /2s при t = 4, s = –1; в) (y + 6)/(y – 2) при y = 4; г) (x – 5)/(2y + 3) 2 при x = 2, y = –2.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.4. а) (p + 8) 2 /(p 2 + 4) при p = –2; б) …

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Установите, при каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:

№ 1.5. а) (а – 5)/(а + 5); б) 5с/(4 + 10с); в) …

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.6. a) 9х 2 /(x(x + 2)); б) …

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.7. a) (3а 2 + 5) / ((а + 2)(а + 3)); б) …

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.8. Найдите допустимые значения переменной для заданной алгебраической дроби:
Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.9. Придумайте примеры алгебраических дробей, которые имели бы смысл при: а) х ≠ 3; б) у ≠ 0, у ≠ 12; в) z ≠ –4, z ≠ –7, z ≠ 0; г) любом значении х.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Найдите значения переменной, при которых алгебраическая дробь равна нулю (если такие значения существуют):

№ 1.10.
Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.11.
Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.12. Зная, что a – 2b = 3, найдите значение выражения: а) 2b – а; б) 2а – 4b; в) (4b – 2a)/3; г) 6/(2a – 4b). Составьте математическую модель ситуации, описанной в условии задачи:

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.13. Туристы прошли 6 км по лесной тропе, а затем 10 км по шоссе, увеличив при этом свою скорость на 1 км/ч. На весь путь они затратили 3,5 ч.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.14. Прогулочный катер двигался по реке, скорость течения которой 2 км/ч. По течению реки он проплыл 18 км, а против течения 14 км, затратив на весь путь 1 ч 20 мин.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.15. Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 120 км от пункта А, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого, поэтому он приехал в пункт В на 1 ч раньше.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.16. Из города в посёлок, находящийся на расстоянии 40 км от города, выехал грузовик, а через 10 мин вслед за ним отправился легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузовика. В посёлок они прибыли одновременно.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.17. С двух турбаз одновременно вышли две группы туристов, которые должны были встретиться на берегу реки. До этого места первой группе нужно идти 12 км, а второй – 10 км. Известно, что скорость первой группы была на 1 км/ч меньше скорости второй и что она прибыла на берег реки на 1 ч позже второй группы.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

№ 1.18. Моторная лодка, собственная скорость которой равна 30 км/ч, прошла по течению реки расстояние 48 км и против течения 42 км. Какова скорость течения реки, если известно, что на путь по течению лодка затратила столько же времени, сколько на путь против течения?

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

№ 1.19. Автобус проходит расстояние 160 км за время, которое автомобиль тратит на прохождение 280 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 30 км/ч меньше скорости автомобиля.

Источник

Область допустимых значений функции

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Допустимые и недопустимые значения переменных

В 7 классе заканчивается математика и начинается ее-величество-алгебра. Первым делом школьники изучают выражения с переменными.

Мы уже знаем, что математика состоит из выражений — буквенных и числовых. Каждому выражению, в котором есть переменная, соответствует область допустимых значений (ОДЗ). Если игнорировать ОДЗ, то в результате решения можно получить неверный ответ. Получается, чтобы быстро получить верный ответ, нужно всегда учитывать область допустимых значений.

Чтобы дать верное определение области допустимых значений, разберемся, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Рассмотрим все необходимые определения, связанные с допустимыми и недопустимыми значениями переменной.

Выражение с переменными — это буквенное выражение, в котором буквы обозначают величины, принимающие различные значения.

Значение числового выражения — это число, которое получается после выполнения всех действий в числовом выражении.

Выражение с переменными имеет смысл при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных можно вычислить его значение.

Выражение с переменными не имеет смысла при данных значениях переменных, если при этих значениях переменных нельзя вычислить его значение.

Теперь, опираясь на данные определения, мы можем сформулировать, что такое допустимые и недопустимые значения переменной.

Допустимые значения переменных — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Если при переменных выражение не имеет смысла, то значения таких переменных называют недопустимыми.

В выражении может быть больше одной переменной, поэтому допустимых и недопустимых значений может быть больше одного.

Пример 1

Рассмотрим выражение Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

В выражении три переменные (a, b, c).

Запишем значения переменных в виде: a = 1, b = 1, c = 2.

Такие значения переменных являются допустимыми, поскольку при подстановке этих значений в выражение, мы легко можем найти ответ: Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Таким же образом можем выяснить, какие значения переменных — недопустимые.

Подставим значения переменных в выражение Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

На ноль делить нельзя.

Что такое ОДЗ

ОДЗ — это невидимый инструмент при решении любого выражении с переменной. Чаще всего, ОДЗ не отображают графически, но всегда «держат в уме».

Область допустимых значений (ОДЗ) — это множество всех допустимых значений переменных для данного выражения.

Пример 2

Рассмотрим выражение Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Пример 3
Рассмотрим выражение Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

ОДЗ такого выражения будет выглядеть вот так: b ≠ c; a — любое число.

Такая запись означает, что область допустимых значений переменных b, c и a = это все значения переменных, при которых соблюдаются условия b ≠ c; a — любое число.

Как найти ОДЗ: примеры решения

Найти ОДЗ — это значит, что нужно указать все допустимые значения переменных для выражения. Часто, чтобы найти ОДЗ, нужно выполнить преобразование выражения.

Чтобы быстро и верно определять ОДЗ, запомните условия, при которых значение выражения не может быть найдено.

Мы не можем вычислить значение выражения, если:

Теперь, приступая к поиску ОДЗ, вы можете сверять выражение по всем этим пунктам.

Давайте потренируемся находить ОДЗ.

Пример 4

Найдем область допустимых значений переменной выражения a 3 + 4 * a * b − 6.

В куб возводится любое число. Ограничений при вычитании и сложении нет. Это значит, что мы можем вычислить значение выражения a 3 + 4 * a * b − 6 при любых значениях переменной.

ОДЗ переменных a и b — это множество таких пар допустимых значений (a, b), где a — любое число и b — любое число.

Ответ: (a и b), где a — любое число и b — любое число.

Пример 5

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной выражения Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Здесь нужно обратить внимание на наличие нуля в знаменатели дроби. Одним из условий, при котором вычисление значения выражения невозможно явлется наличие деления на ноль.

Это значит, что мы может сказать, что ОДЗ переменной a в выражении Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8— пустое множество.

Пустое множество изображается в виде вот такого символа Ø.

Пример 6

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменных в выражении Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Если есть квадратный корень, то нам нужно следить за тем, чтобы под знаком корня не было отрицательного числа. Это значит, что при подстановке значений a и b должны быть условия, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Ответ: ОДЗ переменных a и b — это множество всех пар, при которых a + 3 * b + 5 ≥ 0.

Пример 7

Найдем ОДЗ переменной a в выражении Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Прежде всего, нам нужно подобрать такое условие, при котором в знаменателе дроби не будет ноля — Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Мы знаем, что выражение под знаком корня должно быть положительным. Это дает нам второе условие: a + 1 ≥ 0.

Мы не можем вычислить логарифм отрицательного выражения. Получаем третье условие: a 2 + 2 > 0.

Выражении в основании логарифма не должно быть отрицательным и не должно равняться единице. Получаем условие 4: a + 6 > 0.

Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Как видите, записывая ОДЗ, мы ставим квадратные и круглые скобки.

Запомните

Например, если х > 6, но х

Зачем учитывать ОДЗ при преобразовании выражения

Иногда выражение просто невозможно решить, если не выполнить ряд тождественных преобразований. К ним относятся: перестановки, раскрытие скобок, группировка, вынесение общего множителя за скобки, приведение подобных слагаемых.

Кроме того, что видов таких преобразований довольно много: нужно понимать, в каких случаях какое преобразование возможно. В этом может помочь определение ОДЗ.

Тождественное преобразование может:

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Пример 8

Поскольку мы должны следить за тем, чтобы в выражении не возникало деление ноль, определяем условие a ≠ 0.

Это условие отвечает множеству (−∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞).

В выражении есть подобные слагаемые, если привести подобные слагаемые, то мы получаем выражение вида a.

ОДЗ для a — это R — множество всех вещественных чисел.

Преобразование расширило ОДЗ — добавился ноль.

Пример 9

Рассмотрим выражение a 2 + a + 4 * a

ОДЗ a для этого выражения — множество R.

В выражении есть подобные слагаемые, выполним тождественное преобразование.

После приведения подобных слагаемых выражение приняло вид a 2 + 5 * a

ОДЗ переменной a для этого выражения — множество R.

Это значит, что тождественное преобразование никак не повлияло на ОДЗ.

Пример 10

Рассмотрим выражение Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Решить такое неравенство можно методом интервалов, что дает нам ОДЗ (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞).

Затем выполним преобразование исходного выражения по свойству корней: корень произведения = произведению корней.

Приведем выражение к виду Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Смотреть картинку Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Картинка про Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8. Фото Докажите что значение данной дроби при всех допустимых значениях х равно 8

Решив систему линейных неравенств, получаем множество [4; + ∞).

Отсюда видно, что тождественные преобразования сузили ОДЗ.
От (−∞; 1] ∪ [4 ; +∞) до [4; + ∞).

Решив преобразовать выражение, внимательно следите за тем, чтобы не допустить сужение ОДЗ.

Запомните, что выполняя преобразование, следует выбирать такие, которые не изменят ОДЗ.

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Понятие рационального выражения

В 5 и 6 классе мы уже изучали дроби и действия над ними. В 7 классе рассматривались рациональные числа, которые, по сути, и являются дробями. Однако до этого мы изучали только так называемые числовые дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят какие-то числа либо выражения с числами, но не переменные величины.

Следующие дроби являются числовыми:

Однако нередко в алгебре приходится иметь дело и с дробями, которые содержат переменные. В качестве примера подобных выражений можно привести:

Так как деление на ноль является недопустимой операцией в алгебре, то некоторые дроби могут не иметь смысла. Так, дробь

бессмысленна, так как ее знаменатель 21 – 3•7 равен нулю.

Если дробь содержит переменные величины, то ее значение зависит от этих переменных. Так, дробь

при у = 4 принимает значение, равное 9. Если же у = 3, то эта дробь окажется бессмысленной.

Значения переменных величин, при которых дробь сохраняет свой смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Пример. Укажите множество допустимых значений величин х и у для дроби

Решение. Недопустим только случай, при котором в знаменателе находится ноль, то есть когда выполняется равенство

или равносильное ему равенство

Следовательно, допустимыми значениями являются все такие пары (х; у), что х ≠ у.

Пример. Каковы допустимые значения величин а и b в дроби

Решение. В данной записи есть три дробных черты, а значит, и три знаменателя:

Ни один из знаменателей не должен равняться нулю, поэтому

Перенесем в последнем неравенстве 2-ое слагаемое вправо, изменив знак (правила преобразований выражений со знаком ≠ точно такие же, как и у равенств):

По свойству пропорции имеем:

Итак, допустимыми являются все значения a и b, при которых а ≠ 0, b≠ 0, a≠b.

Пример. Найдите множество допустимых значений х для дроби

Ясно, что знаменатель должен отличаться от нуля:

Чтобы найти, при каких значениях неизвестной величины знаменатель обращается в ноль, надо решить уравнение

Представим полином в левой части как произведение, применив формулу квадрата разности:

Получаем, что исходная дробь сохраняет смысл при любых х, отличных от – 5 и 5.

Порою дроби, содержащие переменные, могут встречаться в тождествах.

Пример. Докажите тождество

Решение. У дроби в левой части знаменатель всегда положителен, поэтому все допустимыми являются все значения c. Согласно свойству операции деления, делимое равно произведению делителя и частного, поэтому для доказательства тождества надо лишь показать справедливость равенства

(с 3 – 2с 2 + с – 2) = (с – 2)(с 2 + 1)

Раскроем скобки в правой части:

(с – 2)(с 2 + 1) = с 3 – 2с 2 + с – 2

Получили одинаковое выражение и для левой, и для правой части тождества, следовательно, оно верное.

Теперь сформулируем понятие рационального выражения.

Среди рациональных выражений выделяют целые и дробные выражения.

Приведем примеры целых рациональных выражений:

А вот несколько примеров дробных рациональных выражений:

Стоит заметить, что дробь и дробное выражение – это два разных понятия. Для иллюстрации приведем два примера:

Отдельно отметим, что дробь равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель нет. Если же и знаменатель равен нулю, то получается недопустимое действие – деление на ноль, поэтому дробь не будет иметь смысла.

Пример. Найдите все корни уравнения

Решение. На первый взгляд уравнение кажется сложным, особенно из-за знаменателя. Однако он здесь почти не играет роли. В левой части находится дробь, значит, нулю равен ее знаменатель:

х – 1 = 0 или х + 2 = 0

Получили два корня. Осталось убедиться, что при этих значениях х дробь не становится бессмысленной, то есть ее знаменатель не обращается в ноль. При х = 1 имеем знаменатель

2•1 4 – 3•1 3 + 5•1 – 4 = 2 – 3 + 5 – 4 = 0

поэтому число 1 НЕ является корнем уравнения. Теперь проверим знаменатель при х = – 2:

2•(– 2) 4 – 3•( – 2) 3 + 5•( – 2) – 4 =

Получается, что единственное корень уравнения – это ( – 2).

Сокращение рациональных выражений

Узнав, какие выражения являются рациональными, мы приступим к изучению их преобразований. Напомним главное свойство дроби:

Оно означает, что числитель и знаменатель можно умножить на произвольное число (кроме нуля), то значение дроби останется прежним:

Это правило остается верным и в том случае, когда вместо чисел используются переменные величины.

Например, возможны такие преобразования рациональных выражений:

Например, пусть надо привести дробь

6а 2 b 2 = 2а 2 b•3b

Поэтому выражения над и под дробной чертой надо умножить на 3b:

Использованный нами множитель 3b называют дополнительным множителем.

Обратная операция, при которой из знаменателя и числителя убирают совпадающие множители, называется сокращением дроби:

Это тождество означает, что дроби можно сокращать, убирая общий множитель, например:

Аналогичные действия можно совершать не только с числовыми дробями, но и с дробными выражениями:

В последнем примере мы вынесли общие множители за скобки (2х и 7у), чтобы над и под чертой появилась одинаковая сумма х + 3у, которую можно сократить.

Однако при сокращении дробей важно учитывать область ее допустимых значений, ведь из-за изменения знаменателя она может измениться. Например, пусть требуется построить график функции

В числителе стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители:

Казалось бы, мы получили линейную функцию

чей график нам известен – это прямая. Но она определена при всех возможных х, в то время как исходная дробь бессмысленна при х = 2, ведь тогда знаменатель становится равен нулю. Поэтому график функции будет выглядеть как прямая, однако одна из ее точек, с координатами (2; 4), будет «выколотой» точкой, и исключенной:

Данный рисунок означает, что графиком функции – прямая линия, кроме точки (2; 4)

Выколотая точка на графике изображается маленьким незакрашенным кружочком.

Следующее важное свойство дроби связано со знаком минус. Знак, стоящий перед дробью, можно перенести либо в знаменатель, либо в числитель:

Также напомним, что можно поменять местами уменьшаемое и вычитаемое в скобках, если изменить перед ней знак:

Применение этих правил позволяет упрощать некоторые дроби, например:

Более сложный пример:

Рассмотрим такое понятие, как однородный многочлен. Так называют тот полином, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.

Подробнее о степени одночлена можно узнать в этом уроке. Если коротко, то степень одночлена – эта сумма степеней у всех переменных, входящих в его буквенную часть. Например, у следующих мономов степень равна 4:

В отношении однородных полиномов, состоящих из двух переменных, можно применять особый прием. Достаточно поделить его на одну из переменных в степени полинома, и получится выражение, зависящее только от одной дроби. Поясним это на примере. Пусть надо вычислить значение отношения

если известно другое отношение:

В исходной дроби представляет собой отношение двух однородных полиномов третьей степени. Поэтому поделим их на y 3 (можно было делить и на х 3 ). При этом значение дроби не изменится, ведь мы делим числитель и знаменатель на одинаковый моном:

Получили выражение, которое зависит только от отношения

Попытаемся найти эту величину из условия

Отсюда следует, что

Теперь подставим найденное отношение в формулу(1):

До этого мы рассматривали примеры дробных выражений, состоящие из полиномов с целыми коэффициентами. Если же используются дробные числа, то от них всегда можно избавиться, домножив дробь на какое-нибудь число.

Например, дана дробь

Коэффициенты при у и у 2 дробные. Избавимся от них. Для этого используем дополнительный множитель 12:

Далее рассмотрим сложение и вычитание дробных выражений. Проще всего эту операцию проводить в том случае, когда у дробей совпадают знаменатели. В такой ситуации используются уже нам известные правила:

Сложим две величины:

В их знаменателе стоит одинаковый полином, а потому операция будет выглядеть так:

Здесь мы в числителе использовали формулу квадрата разности.

Теперь вычтем из выражения

У них совпадают знаменатели, поэтому проблем с вычитанием не возникает:

Заметим, что обычно у дробных выражения стараются сокращать до тех пор, пока не получится несократимая дробь.

Если у дробей различные знаменатели, то приводят к общему знаменателю, домножая их на какой-нибудь дополнительный множитель.

Рассмотрим следующий пример:

Есть и более простой способ найти общий знаменатель, для этого достаточно просто перемножить знаменатели дробей-слагаемых. Однако дальнейшие преобразования будут более долгими. Решим таким путем тот же пример:

В числителе возможно вынесение общего множителя 2ху за скобки:

Видно, что конечный результат операции не изменился.

Если в знаменателях складываемых дробей стоят многочлены, то стоит попробовать разложить их на множители. За счет этого порою удается найти более простой общий знаменатель.

Пусть надо сложить выражения

Вынесем в знаменателях за скобки множители х и у:

В знаменателях есть похожие множители, (3х – у) и (у – 3х). Чтобы они оказались одинаковыми, надо поменять местами вычитаемое и уменьшаемое в одних скобках. Для этого перед ними надо добавить знак «минус»:

Общим множителем этих дробей является произведение ху(3х – у):

Осталось разложить числитель, где стоит разность квадратов:

Следующий важный навык, который может потребоваться при работе с рациональными выражениями – это выделение целой части из дроби.

Продемонстрируем эту операцию на примере

Перепишем дробь, поменяв порядок слагаемых в числителе:

И в знаменателе, и в числителе есть сумма х 2 + 1. Теперь можно произвести выделение целой части:

В справедливости данного преобразования можно убедиться, выполнив его «в обратную сторону»:

Любой многочлен можно сделать дробью, если приписать ему числитель, равный 1. Пусть надо упростить формулу

Заменим 2х – 1 на дробь и произведем вычитание:

Упростить далее эту дробь довольно сложно, но всё же возможно. Для этого надо заменить одночлен (– 3х 2 ) на разность (– х 2 – 2х 2 ), а 14х на сумму (6х+8х). Посмотрим, что получится в результате:

Складывать можно и более двух дробей. Пусть надо упростить сумму

Будем складывать слагаемые последовательно, то есть сначала сложим два первых слагаемых, потом к результату добавим третье, а далее и 4-ое слагаемое:

Представление дроби в виде суммы дробей

Сумму двух дробей можно представить в виде несократимой дроби единственным образом, например:

Однако у обратной задачи, разложения одной дроби на сумму нескольких других, есть бесконечной множество решений:

То же самое верно в отношении дробных выражений. Например,

можно разложить так:

С другой стороны, это же выражение можно представить в следующем виде:

Для раскладывания дроби на сумму дробей можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов, предложенным Рене Декартом в 1637 году. Покажем, как его использовать, на примере. Пусть надо представить в виде суммы двух дробей отношение

Заметим, что знаменатель х 2 – 4 можно записать как произведение полиномов первой степени (х – 2)(х + 2):

Это означает, что исходное выражение можно представить как сумму дробей со знаменателями (х – 2) и (х + 2). Обозначим числители в этих дробях как неизвестные величины aи b (они и носят название неопределенных коэффициентов). Тогда можно записать, что

Задача сводится к тому, чтобы найти a и b. Для этого преобразуем сумму дробей:

Полученная дробь должна равняться исходной дроби:

У правой и левой части равны знаменатели, а значит, должны равняться и числители:

(a + b)x + (2a– 2b) = 2x + 6

Это тождество может быть верным только тогда, когда справа и слева равны коэффициенты перед переменной х, а также свободные члены, поэтому можно записать систему:

Решив эту систему, мы сможем найти значения a и b. Используем метод подстановки, выразив а из первого уравнения:

Подставим эту формулу во второе уравнение:

а = 2 – b = 2 – (– 2,5) = 2 + 2,5 = 4,5

Итак, получили, что a = 4,5 и b = – 2,5. Это значит, исходную дробь можно разложить следующим образом:

Теперь рассмотрим, как производится умножение и деление дробных выражений. Эти действия аналогичны операциям с обычными числами, которые уже изучались в 5 классе. Напомним две основные формулы:

Пусть требуется перемножить величины

Эта операция осуществляется так:

Теперь посмотрим, как выполняется деление:

Деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю:

Для упрощения выражений часто используют формулы сокращенного умножения:

При возведении дроби в степень надо отдельно возводить в степени знаменатель и числитель:

Вообще для любого натурального числа nбудет верным тождество:

Пусть надо возвести в 4-ую степень дробь

Выглядеть это будет так:

Преобразование рациональных выражений

Если у дроби в знаменателе и числителе записаны полиномы, то ее называют рациональной дробью. В виде рациональной дроби можно записать любое рациональное выражение.

Пусть надо записать в виде рациональной дроби выражение

Сначала выполним вычитание в скобках, а потом и деление:

Обратим внимание, что выражение

представляет собой не что иное, как разность квадратов, для которой можно применить формулу сокращенного умножения:

(2а + 1) 2 – (2а – 1) 2 = (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – (2а – 1)) =

= (2а + 1 + 2а – 1)( 2а + 1 – 2а + 1).

Используя это, продолжим работать с дробью:

Однако иногда удобнее не производить вычисления в скобках, а использовать распределительный закон умножения:

Пусть требуется упростить произведение:

Сначала раскроем скобки:

Часто проблемы возникают с так называемыми «многоэтажными» дробями. Так называют дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят другие дробные выражения. Выглядят они внушительно, однако правила работы с ними такие же, как и с другими выражениями. Каждая дробная черта просто означает операцию деления.

Пусть требуется выполнить преобразование дробного рационального выражения

Сначала представим эту дробь как операцию деления:

Теперь в каждой из скобок произведем сложение:

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *