Докажите что если биссектриса

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Построим следующее соотношение

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Построим следующее соотношение

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Из равенств (14) и (15) получаем:

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Источник

Если биссектриса треугольника является его высотой

Какой вывод следует из того, что биссектриса треугольника является его высотой?

Если в треугольнике биссектриса является также его высотой, то такой треугольник — равнобедренный.

Дано:

CD — биссектриса и высота.

Проведем анализ задачи.

Какой треугольник — равнобедренный? Треугольник, у которого две стороны равны. Значит, нам нужно доказать, что две стороны ∆ ABC равны: AC=BC.

Равенство сторон вытекает из равенства треугольников. Следовательно, задача сводится к доказательству равенства двух треугольников.

Докажем, что ∆ADC и ∆ BDC равны.

Что нам известно об этих треугольниках?

Поскольку CD — биссектриса ∆ ABC, то она делит угол ACB на два равных угла. Значит, углы ACD и BCD равны.

Так как CD — высота ∆ ABC, то она образует со стороной AB два прямых угла.

Таким образом, у треугольников ADC и BDC уже есть две пары равных углов.

Выделим эти треугольники разными цветами.

Этот прием дает возможность увидеть подсказку, что сторона CD — общая.

Три пары равных элементов для доказательства равенства треугольников есть.

Переходим непосредственно к доказательству.

Рассмотрим ∆ ADC и ∆ BDC.

1) ∠ACD=∠BCD (так как CD — биссектриса треугольника ABC по условию).

2) ∠ADC=∠BDC=90º (так как CD — высота треугольника ABC по условию).

3) Сторона CD — общая.

Следовательно, ∆ ADC = ∆ BDC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике совпадают биссектрисы и высоты, проведенные к каждой из сторон, то такой треугольник — равносторонний (по доказанному выше, у него каждый две стороны равны между собой, а значит, все три стороны равны).

Источник

Свойство точек биссектрисы угла:

По определению биссектриса угла делит угол пополам.

У биссектрисы есть еще одно важное свойство.

Теорема (о биссектрисе угла).

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.

В данной теореме два утверждения: прямое и ему обратное. Докажем каждое из этих утверждений отдельно.

1) Дано: AD — биссектриса

Доказательство:

Прямоугольные треугольники АКМ и ANM равны по гипотенузе и острому углу (гипотенуза AM — общая, KAM =NAM, так как AD — биссектриса). Катеты МК и MN равны как соответствующие в двух равных треугольниках.

2) Дано: BAC, МКAB, MNAC, МК = MN, MAD (рис. 272).

Доказать: луч AD — биссектриса BAC.

Доказательство:

Прямоугольные треугольники АКМ и ANM равны по катету и гипотенузе (гипотенуза AM — общая, МК = MN по условию). Углы КAM и NAM равны как соответствующие в двух равных треугольниках, откуда луч AD — биссектриса BAC. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что биссектриса является геометрическим местом точек плоскости, находящихся внутри угла и равноудаленных от сторон угла.

Пример:

В прямоугольном треугольнике ABC C = 90°, A = 40° (рис. 273). На катете АС взята точка К так, что КС=6 см и KBC = 25°. Найти расстояние от точки К до прямой АВ.

Решение:

Пример: (2-я замечательная точка треугольника).

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведем в АВС биссектрисы углов А и С. Пусть О — точка их пересечения (рис. 274).

Так как точка О лежит на биссектрисе АО угла А, то она равноудалена от сторон угла А, то есть равны перпендикуляры ON и ОК к сторонам угла А. Так как точка О лежит на биссектрисе СО угла С, она равноудалена от сторон угла С, то есть равны перпендикуляры ОК и ОМ к сторонам угла С. Тогда ОК = ОМ = ON. Так как перпендикуляры ON и ОМ равны, то точка О равноудалена от сторон угла В. Точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому биссектриса угла В пройдет через точку О, и, следовательно, все три биссектрисы пересекутся в одной точке.

Замечание. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности (рис. 275), которая касается всех трех сторон треугольника (имеет с каждой из сторон только одну общую точку).

Пример:

В треугольнике ABC биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. Через точку К проведен отрезок NM, параллельный стороне АС с концами на сторонах АВ и ВС соответственно; AN = 6 см, МС = 4 см. Найти отрезок NM.

Решение:

Так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то СК — биссектриса угла С (рис. 276).

Треугольник ANK — равнобедренный. Действительно, NAK =CAK, поскольку АК — биссектриса, CAK =AKN как накрест лежащие при параллельных прямых NM и АС и секущей АК, откуда NAK =AKN и треугольник ANК — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Тогда NK=AN=6 см. Аналогично доказываем, что треугольник KMC — равнобедренный и КМ=МС=4 см.

Искомый отрезок NM = NK + КМ = 6 + 4=10 (см).

Замечание. Решив задачу 3, мы доказали, что если NM || АС и отрезок NM проходит через точку пересечения биссектрис, то периметр NBM равен АВ+ВС.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник